Appendix A1. Detector geometry and coordinate transforms¶

本页用公式定义 IPAnalyzer 将平板探测器（IP、CCD/CMOS）上的像素位置映射为衍射角时所使用的坐标系、IP 倾斜校正与像素形状校正。关于坐标系的概览，另请参阅附录首页与 0. Overview。

Coordinate system and parameters¶

IPAnalyzer 在内部始终使用右手坐标系。

将 X 射线或电子束与 IP 相交的点（direct spot）取为原点 \((0,0,0)\)，并令 \(Z\) 轴与束流传播方向一致。
将样品视为无限小，样品与原点之间的距离定义为相机长度 \(\mathrm{CL}\)。因此样品位置为 \((0,\ 0,\ -\mathrm{CL})\)。
当 IP 未倾斜时，\(X\) 轴与读出激光的扫描方向（图像的向右方向）一致。因此 \(Y\) 轴在屏幕上指向下方。
锥角为 \(2\theta\) 的衍射环，在未倾斜的 \(XY\) 平面上，观察为半径 \(\mathrm{CL}\tan 2\theta\) 的正圆。

三维物体的自由旋转本质上需要三个轴，但由于 Debye 环的分布在绕 \(Z\) 轴旋转下保持不变，\(X\) 轴可以任意选取。这消除了一个自由度，因此 IP 倾斜可以用两个变量 \(\varphi,\ \tau\) 来表示。

Correspondence with (WIN)PIP

旧版软件 PIP 用另一对角度 \((\beta,\ \Phi)\) 来表示倾斜。从 \((\beta,\ \Phi)\) 到 IPAnalyzer 的 \((\varphi,\ \tau)\) 的转换为 \((\beta,\ \Phi)\rightarrow(270^\circ-\beta,\ \Phi)\)。详情请参阅 0. Overview 中的 "Relationship with (WIN)PIP"。

IP tilt correction¶

IP 相对于光轴（\(Z\) 轴）的倾斜，由一个旋转表示，其旋转轴是一条经过原点且位于 \(XY\) 平面内的直线。该旋转可写成旋转矩阵 \(R = R_2\,R_1\,R_2^{-1}\)，即沿着一个已绕 \(Z\) 轴旋转了 \(\varphi\)（\(R_2\)）的轴旋转 \(\tau\)（\(R_1\)）的操作。

\[ R_2 = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\tau & -\sin\tau \\ 0 & \sin\tau & \cos\tau \end{pmatrix} \]

这等价于绕在 \(XY\) 平面内与 \(X\) 轴成 \(\varphi\) 角的单位向量 \(\mathbf{n} = (\cos\varphi,\ \sin\varphi,\ 0)\) 旋转角度 \(\tau\)，展开后得到

\[ R = R_2\,R_1\,R_2^{-1} = \begin{pmatrix} \cos^2\varphi + \cos\tau\,\sin^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) & \sin\varphi\sin\tau \\ \cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) & \cos^2\varphi\,\cos\tau + \sin^2\varphi & -\cos\varphi\sin\tau \\ -\sin\varphi\sin\tau & \cos\varphi\sin\tau & \cos\tau \end{pmatrix} \]

Forward transform (untilted plane → tilted IP)¶

未倾斜 \(XY\) 平面上的点 \(P_1 = (X,\ Y,\ 0)\) 映射到倾斜 IP 上的 \(P_2 = R\,P_1\)。

\[ P_2 = \begin{pmatrix} X\,(\cos^2\varphi + \cos\tau\sin^2\varphi) + Y\,\cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) \\ X\,\cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) + Y\,(\cos^2\varphi\cos\tau + \sin^2\varphi) \\ -X\,\sin\varphi\sin\tau + Y\,\cos\varphi\sin\tau \end{pmatrix} \]

Projection (tilted IP → untilted plane)¶

实际需要的是反方向，即"在倾斜 IP 上观察到的像素"在没有倾斜时所应占据的 \(XY\) 平面坐标。这由中心（透视）投影给出，它求出连接倾斜 IP 上的某点与样品 \((0,0,-\mathrm{CL})\) 的直线与 \(XY\) 平面的交点 \(P_3\)。由于这是以样品为投影中心的射影变换，

\[ P_3 = \frac{\mathrm{CL}}{\mathrm{CL} + (P_2)_z}\,\big((P_2)_x,\ (P_2)_y,\ 0\big) \]

即为所求结果。由于整个倾斜校正是一个线性（在齐次坐标下为射影）变换，每个像素的位置都可以在计算机上快速计算。

Pixel-shape correction¶

IP 的像素形状被视为一个平行四边形，沿 \(X\) 轴长度为 \(\mathrm{PixSizeX}\)，沿 \(Y\) 轴长度为 \(\mathrm{PixSizeY}\)，并带有偏离直角的偏差（畸变角）\(\xi\)。\(\xi\) 非零意味着读出激光扫描的起始位置存在偏移，本软件假定该偏移沿 \(Y\) 轴为恒定值。

从中心像素起算、在 \(X\) 方向上相距 \(\mathrm{PixNumX}\)、在 \(Y\) 方向上相距 \(\mathrm{PixNumY}\) 的像素，其实际坐标 \(P\) 由下式给出

\[ P = \begin{pmatrix} \mathrm{PixSizeX} & \mathrm{PixSizeY}\,\sin\xi & 0 \\ 0 & \mathrm{PixSizeY} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{PixNumX} \\ \mathrm{PixNumY} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{PixNumX}\cdot\mathrm{PixSizeX} + \mathrm{PixNumY}\cdot\mathrm{PixSizeY}\,\sin\xi \\ \mathrm{PixNumY}\cdot\mathrm{PixSizeY} \\ 0 \end{pmatrix} \]

将这一像素形状校正与上述倾斜校正相结合，倾斜 IP 上的任何像素都可以映射到未倾斜 \(XY\) 平面上的正确位置。此映射是下一章参数确定以及 A3. Image integration 的基础。