Appendix A1. 検出器の幾何と座標変換¶

このページでは、IPAnalyzer が平面検出器（IP・CCD/CMOS）上の画素位置と回折角を対応づけるために用いる 座標系・IP の傾き補正・画素形状補正 を数式で定義します。座標系の概観は付録トップと 0. 概要も参照してください。

座標系とパラメータ¶

IPAnalyzer は内部で一貫して 右手系 を採用します。

X 線あるいは電子線が IP と交わる点（ダイレクトスポット）を原点 \((0,0,0)\) とし、\(Z\) 軸をビームの進行方向に一致させます。
サンプルを無限小とみなしたときの、サンプルと原点との距離を カメラ長 \(\mathrm{CL}\) と定義します。したがってサンプル位置は \((0,\ 0,\ -\mathrm{CL})\) です。
\(X\) 軸は、IP が傾いていないときの読み取りレーザーの走査方向（画像の右方向）に一致させます。よって \(Y\) 軸は画面下向きになります。
円錐角 \(2\theta\) の回折リングは、傾きのない \(XY\) 平面上では半径 \(\mathrm{CL}\tan 2\theta\) の真円として観察されます。

3 次元物体の自由回転には本来 3 軸が必要ですが、デバイ環の分布は \(Z\) 軸まわりの回転に対して不変なので、\(X\) 軸を恣意的に選ぶことができます。このため自由度が 1 つ減り、IP の傾きは 2 つの変数 \(\varphi,\ \tau\) で表現できます。

(WIN)PIP との対応

旧ソフト PIP では傾きを別の角度 \((\beta,\ \Phi)\) で表します。\((\beta,\ \Phi)\) から IPAnalyzer の \((\varphi,\ \tau)\) への変換は \((\beta,\ \Phi)\rightarrow(270^\circ-\beta,\ \Phi)\) です。詳細は 0. 概要の「(WIN)PIP との関係」を参照してください。

IP の傾き補正¶

IP の光軸（\(Z\) 軸）に対する傾きは、原点を通り \(XY\) 平面上にある直線を回転軸とする回転で表します。この回転は、\(Z\) 軸まわりに \(\varphi\) 回した軸（\(R_2\)）に沿って \(\tau\) だけ回す（\(R_1\)）操作として、回転行列 \(R = R_2\,R_1\,R_2^{-1}\) で書けます。

\[ R_2 = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\tau & -\sin\tau \\ 0 & \sin\tau & \cos\tau \end{pmatrix} \]

これは、\(XY\) 平面内で \(X\) 軸と角 \(\varphi\) をなす単位ベクトル \(\mathbf{n} = (\cos\varphi,\ \sin\varphi,\ 0)\) を軸とする角 \(\tau\) の回転に等しく、展開すると

\[ R = R_2\,R_1\,R_2^{-1} = \begin{pmatrix} \cos^2\varphi + \cos\tau\,\sin^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) & \sin\varphi\sin\tau \\ \cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) & \cos^2\varphi\,\cos\tau + \sin^2\varphi & -\cos\varphi\sin\tau \\ -\sin\varphi\sin\tau & \cos\varphi\sin\tau & \cos\tau \end{pmatrix} \]

となります。

順変換（傾きのない面 → 傾いた IP）¶

傾きのない \(XY\) 平面上の点 \(P_1 = (X,\ Y,\ 0)\) は、傾いた IP 上では \(P_2 = R\,P_1\) に写ります。

\[ P_2 = \begin{pmatrix} X\,(\cos^2\varphi + \cos\tau\sin^2\varphi) + Y\,\cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) \\ X\,\cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) + Y\,(\cos^2\varphi\cos\tau + \sin^2\varphi) \\ -X\,\sin\varphi\sin\tau + Y\,\cos\varphi\sin\tau \end{pmatrix} \]

射影（傾いた IP → 傾きのない面）¶

実際に必要なのは逆向き、すなわち「傾いた IP 上で観測された画素」が、傾きがなければ受け持つはずの \(XY\) 平面上の座標です。これは、傾いた IP 上の点とサンプル \((0,0,-\mathrm{CL})\) を結ぶ直線が \(XY\) 平面と交わる点 \(P_3\) を求める 中心投影（透視投影） で与えられます。サンプルを投影中心とする射影変換なので、

\[ P_3 = \frac{\mathrm{CL}}{\mathrm{CL} + (P_2)_z}\,\big((P_2)_x,\ (P_2)_y,\ 0\big) \]

の形にまとまります。傾き補正全体は線形（同次座標では射影）変換なので、各画素の位置をコンピュータ上で高速に計算できます。

画素形状の補正¶

IP の画素形状は、\(X\) 軸方向の長さ \(\mathrm{PixSizeX}\)、\(Y\) 軸方向の長さ \(\mathrm{PixSizeY}\)、および直角からのずれ（歪み角）\(\xi\) をもつ 平行四辺形 として扱います。\(\xi \neq 0\) は、読み取りレーザーのスキャン開始点の位置にずれがあることを意味し、本ソフトではこのずれは \(Y\) 軸方向に対して一定であると仮定します。

中心画素から数えて \(X\) 方向に \(\mathrm{PixNumX}\)、\(Y\) 方向に \(\mathrm{PixNumY}\) だけ離れた画素の実座標 \(P\) は、

\[ P = \begin{pmatrix} \mathrm{PixSizeX} & \mathrm{PixSizeY}\,\sin\xi & 0 \\ 0 & \mathrm{PixSizeY} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{PixNumX} \\ \mathrm{PixNumY} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{PixNumX}\cdot\mathrm{PixSizeX} + \mathrm{PixNumY}\cdot\mathrm{PixSizeY}\,\sin\xi \\ \mathrm{PixNumY}\cdot\mathrm{PixSizeY} \\ 0 \end{pmatrix} \]

で与えられます。この画素形状補正と、上で述べた傾き補正を組み合わせることで、傾いた IP 上の任意の画素を、傾きのない \(XY\) 平面上の正しい位置へ対応づけられます。この対応づけが、次章のパラメータ決定と A3. 画像の積算の前提になります。