Appendix A1. 偵測器幾何與座標變換¶

本頁以方程式定義 IPAnalyzer 用來將平板偵測器（IP、CCD/CMOS）上的像素位置對應到繞射角的座標系、IP 傾斜校正與像素形狀校正。關於座標系的概觀，另請參閱附錄首頁與 0. Overview。

座標系與參數¶

IPAnalyzer 在內部一致地使用右手座標系。

將 X 射線或電子束與 IP 相交之點（direct spot）取為原點 \((0,0,0)\)，並使 \(Z\) 軸與束流傳播方向對齊。
將樣品視為無限小，並將樣品與原點之間的距離定義為相機長度 \(\mathrm{CL}\)。因此樣品位置為 \((0,\ 0,\ -\mathrm{CL})\)。
當 IP 未傾斜時，\(X\) 軸與讀取雷射的掃描方向（影像的向右方向）對齊。因此 \(Y\) 軸在螢幕上指向下方。
錐角為 \(2\theta\) 的繞射環，在未傾斜的 \(XY\) 平面上，會被觀測為半徑 \(\mathrm{CL}\tan 2\theta\) 的正圓。

3D 物體的自由旋轉本質上需要三個軸，但由於 Debye 環的分布在繞 \(Z\) 軸旋轉下不變，故 \(X\) 軸可任意選取。這移除了一個自由度，因此 IP 傾斜可用兩個變數 \(\varphi,\ \tau\) 表示。

與 (WIN)PIP 的對應

舊版軟體 PIP 以另一組角度 \((\beta,\ \Phi)\) 表示傾斜。從 \((\beta,\ \Phi)\) 至 IPAnalyzer 的 \((\varphi,\ \tau)\) 的換算為 \((\beta,\ \Phi)\rightarrow(270^\circ-\beta,\ \Phi)\)。詳情請參閱 0. Overview 中的「Relationship with (WIN)PIP」。

IP 傾斜校正¶

IP 相對於光軸（\(Z\) 軸）的傾斜，由一個旋轉表示，其旋轉軸為通過原點且位於 \(XY\) 平面內的一條直線。此旋轉可寫為旋轉矩陣 \(R = R_2\,R_1\,R_2^{-1}\)，此運算是沿著（\(R_1\)）一個已繞 \(Z\) 軸旋轉 \(\varphi\)（\(R_2\)）的軸，旋轉 \(\tau\)。

\[ R_2 = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\tau & -\sin\tau \\ 0 & \sin\tau & \cos\tau \end{pmatrix} \]

這等同於繞著單位向量 \(\mathbf{n} = (\cos\varphi,\ \sin\varphi,\ 0)\)（其在 \(XY\) 平面內與 \(X\) 軸夾角為 \(\varphi\)）旋轉角度 \(\tau\)，展開後得到

\[ R = R_2\,R_1\,R_2^{-1} = \begin{pmatrix} \cos^2\varphi + \cos\tau\,\sin^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) & \sin\varphi\sin\tau \\ \cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) & \cos^2\varphi\,\cos\tau + \sin^2\varphi & -\cos\varphi\sin\tau \\ -\sin\varphi\sin\tau & \cos\varphi\sin\tau & \cos\tau \end{pmatrix} \]

正向變換（未傾斜平面 → 傾斜 IP）¶

未傾斜 \(XY\) 平面上的一點 \(P_1 = (X,\ Y,\ 0)\)，對應到傾斜 IP 上的 \(P_2 = R\,P_1\)。

\[ P_2 = \begin{pmatrix} X\,(\cos^2\varphi + \cos\tau\sin^2\varphi) + Y\,\cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) \\ X\,\cos\varphi\sin\varphi\,(1-\cos\tau) + Y\,(\cos^2\varphi\cos\tau + \sin^2\varphi) \\ -X\,\sin\varphi\sin\tau + Y\,\cos\varphi\sin\tau \end{pmatrix} \]

投影（傾斜 IP → 未傾斜平面）¶

實際所需的是相反方向，亦即「在傾斜 IP 上觀測到的某像素」若無傾斜時所應佔據的 \(XY\) 平面座標。這由中心（透視）投影給出，即求出連接傾斜 IP 上一點與樣品 \((0,0,-\mathrm{CL})\) 的直線與 \(XY\) 平面相交之點 \(P_3\)。由於這是以樣品為投影中心的射影變換，故得到

\[ P_3 = \frac{\mathrm{CL}}{\mathrm{CL} + (P_2)_z}\,\big((P_2)_x,\ (P_2)_y,\ 0\big) \]

由於整個傾斜校正是線性的（在齊次座標下為射影）變換，每個像素的位置都能在電腦上快速計算。

像素形狀校正¶

IP 的像素形狀被視為一個平行四邊形，沿 \(X\) 軸長度為 \(\mathrm{PixSizeX}\)、沿 \(Y\) 軸長度為 \(\mathrm{PixSizeY}\)，並具有偏離直角的量（畸變角）\(\xi\)。\(\xi\) 非零意味著讀取雷射掃描的起始位置存在偏移，且本軟體假設此偏移沿 \(Y\) 軸為常數。

從中央像素起算、在 \(X\) 方向偏離 \(\mathrm{PixNumX}\)、在 \(Y\) 方向偏離 \(\mathrm{PixNumY}\) 的像素，其實際座標 \(P\) 由下式給出

\[ P = \begin{pmatrix} \mathrm{PixSizeX} & \mathrm{PixSizeY}\,\sin\xi & 0 \\ 0 & \mathrm{PixSizeY} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{PixNumX} \\ \mathrm{PixNumY} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{PixNumX}\cdot\mathrm{PixSizeX} + \mathrm{PixNumY}\cdot\mathrm{PixSizeY}\,\sin\xi \\ \mathrm{PixNumY}\cdot\mathrm{PixSizeY} \\ 0 \end{pmatrix} \]

將此像素形狀校正與上述傾斜校正結合，傾斜 IP 上的任一像素都能對應到其在未傾斜 \(XY\) 平面上的正確位置。此對應是下一章參數決定以及 A3. Image integration 的基礎。