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Formation de l'image HRTEM

L'image HRTEM se forme à partir de la fonction d'onde à la surface de sortie — les coefficients de transmission \(T_{\mathbf g}\) issus du cœur dynamique — en la faisant passer à travers la lentille objectif. ReciPro propose deux modèles : l'approximation rapide quasi-cohérente et le modèle plus rigoureux du coefficient de transmission croisé (TCC). Voir aussi la page de l'interface Simulateur HRTEM.

Symboles

Symbole Signification
\(\mathbf R\) composante X–Y dans l'espace réel (plan image)
\(\mathbf K\) composante X–Y du vecteur d'onde incident
\(\mathbf G, \mathbf H\) composantes X–Y des vecteurs du réseau réciproque
\(\mathbf u\) fréquence spatiale (p. ex. \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) fonction d'aberration de la lentille
\(A(\mathbf u)\) fonction du diaphragme objectif
\(\Delta f\) valeur de défocalisation
\(C_s\) coefficient d'aberration sphérique
\(C_c\) coefficient d'aberration chromatique
\(\beta\) demi-angle d'éclairement (taille finie de la source)
\(\Delta E\) largeur à \(1/e\) des fluctuations d'énergie de l'électron
\(\Delta_0\) largeur à \(1/e\) de l'étalement de défocalisation (gaussien), \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

Fonction d'aberration de la lentille et diaphragme

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

Modèle quasi-cohérent

Une approximation rapide : chaque faisceau diffracté est modulé par le transfert de la lentille et amorti par les enveloppes de cohérence, puis sommé de manière cohérente.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

avec les enveloppes de cohérence temporelle et spatiale

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

Modèle du coefficient de transmission croisé (TCC)

Le traitement rigoureux de la cohérence partielle : chaque paire de faisceaux \((\mathbf g, \mathbf h)\) interfère par l'intermédiaire du coefficient de transmission croisé.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

avec les enveloppes de cohérence mixtes

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

Dans la limite \(\mathbf u' \to \mathbf u\), le TCC se réduit aux enveloppes quasi-cohérentes ci-dessus.

Réduction du coût du modèle TCC

La double somme du modèle TCC évalue \(\mathrm{TCC}\) une fois par paire de faisceaux, ce qui est coûteux. Comme l'intensité de l'image \(I(\mathbf R)\) est réelle, le coût peut être approximativement réduit de moitié.

Premièrement, les faisceaux situés hors du diaphragme objectif (\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)) ne contribuent pas, de sorte qu'il suffit de sommer uniquement sur les faisceaux situés à l'intérieur du diaphragme (\(A=1\)).

Deuxièmement, le TCC est hermitien,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) est réel ; \(E_c, E_s\) sont des fonctions réelles invariantes sous \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\) ; le terme de phase \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) est conjugué complexe). Conjointement avec \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) et \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\), les termes \((\mathbf g,\mathbf h)\) et \((\mathbf h,\mathbf g)\) sont conjugués complexes l'un de l'autre, de sorte que leur somme vaut le double de la partie réelle :

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

La double somme se réduit donc à la diagonale plus le triangle supérieur (un seul côté, une fois qu'un ordre arbitraire est attribué aux faisceaux), réduisant de moitié le nombre d'évaluations de \(\mathrm{TCC}\) :

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

Pour le terme diagonal, on a \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), c'est-à-dire \(|T_{\mathbf g}|^2\) à l'intérieur du diaphragme.

De plus, le facteur de phase \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) prend de nombreuses fois la même valeur au sein de cette somme. Le stockage et la réutilisation de ces valeurs accélèrent davantage le calcul.

Voir aussi