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Formación de la imagen HRTEM

La imagen HRTEM se forma a partir de la función de onda en la superficie de salida —los coeficientes de transmisión \(T_{\mathbf g}\) obtenidos del núcleo dinámico— haciéndola pasar a través de la lente objetivo. ReciPro ofrece dos modelos: la rápida aproximación cuasi-coherente y el modelo más riguroso del coeficiente de transmisión cruzada (TCC). Véase también la página de la interfaz del simulador HRTEM.

Símbolos

Símbolo Significado
\(\mathbf R\) componente X–Y en el espacio real (plano de la imagen)
\(\mathbf K\) componente X–Y del vector de onda incidente
\(\mathbf G, \mathbf H\) componentes X–Y de los vectores de la red recíproca
\(\mathbf u\) frecuencia espacial (p. ej. \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) función de aberración de la lente
\(A(\mathbf u)\) función del diafragma objetivo
\(\Delta f\) valor de desenfoque
\(C_s\) coeficiente de aberración esférica
\(C_c\) coeficiente de aberración cromática
\(\beta\) semiángulo de iluminación (tamaño finito de la fuente)
\(\Delta E\) anchura \(1/e\) de las fluctuaciones de energía del electrón
\(\Delta_0\) anchura \(1/e\) de la dispersión del desenfoque (gaussiana), \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

Función de aberración de la lente y diafragma

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

Modelo cuasi-coherente

Una aproximación rápida: cada haz difractado se modula por la transferencia de la lente y se amortigua por las envolventes de coherencia, y luego se suma coherentemente.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

con las envolventes de coherencia temporal y espacial

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

Modelo del coeficiente de transmisión cruzada (TCC)

El tratamiento riguroso de la coherencia parcial: cada par de haces \((\mathbf g, \mathbf h)\) interfiere a través del coeficiente de transmisión cruzada.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

con las envolventes de coherencia mixtas

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

En el límite \(\mathbf u' \to \mathbf u\) el TCC se reduce a las envolventes cuasi-coherentes anteriores.

Reducción del coste del modelo TCC

La suma doble del modelo TCC evalúa \(\mathrm{TCC}\) una vez por cada par de haces, por lo que resulta costosa. Como la intensidad de la imagen \(I(\mathbf R)\) es real, el coste se puede reducir aproximadamente a la mitad.

En primer lugar, los haces situados fuera del diafragma objetivo (\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)) no contribuyen, de modo que basta con sumar solo sobre los haces situados dentro del diafragma (\(A=1\)).

En segundo lugar, el TCC es hermítico,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) es real; \(E_c, E_s\) son funciones reales, invariantes bajo \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\); el término de fase \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) se conjuga complejamente). Junto con \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) y \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\), los términos \((\mathbf g,\mathbf h)\) y \((\mathbf h,\mathbf g)\) son complejos conjugados entre sí, de modo que su suma equivale al doble de la parte real:

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

Por tanto, la suma doble se reduce a la diagonal más el triángulo superior (un solo lado, una vez asignado un orden arbitrario a los haces), reduciendo a la mitad el número de evaluaciones de \(\mathrm{TCC}\):

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

Para el término diagonal se cumple \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), es decir, \(|T_{\mathbf g}|^2\) dentro del diafragma.

Además, el factor de fase \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) toma muchas veces el mismo valor dentro de esta suma. Almacenar y reutilizar estos valores acelera aún más el cálculo.

Véase también