HRTEM 像的形成
HRTEM 像由出射面波函数——即由动力学核心求得的透射系数 \(T_{\mathbf g}\)——通过物镜成像而形成。ReciPro 提供两种模型：快速的准相干近似，以及更严格的透射交叉系数（TCC）模型。另请参阅 GUI 说明页面 HRTEM 模拟器。
符号
| 符号 |
含义 |
| \(\mathbf R\) |
实空间（像面）中的 X–Y 分量 |
| \(\mathbf K\) |
入射波矢的 X–Y 分量 |
| \(\mathbf G, \mathbf H\) |
倒易点阵矢量的 X–Y 分量 |
| \(\mathbf u\) |
空间频率（例如 \(\mathbf K+\mathbf G\)） |
| \(\chi(\mathbf u)\) |
透镜像差函数 |
| \(A(\mathbf u)\) |
物镜光阑函数 |
| \(\Delta f\) |
欠焦值 |
| \(C_s\) |
球差系数 |
| \(C_c\) |
色差系数 |
| \(\beta\) |
照明半角（有限光源尺寸的效应） |
| \(\Delta E\) |
电子能量涨落的 \(1/e\) 宽度 |
| \(\Delta_0\) |
欠焦弥散的 \(1/e\) 宽度（高斯型），\(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\) |
透镜像差函数与光阑
\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]
准相干模型
一种快速近似：每个衍射束都被透镜传递函数调制，并被相干包络衰减，然后相干叠加。
\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]
其中时间相干包络与空间相干包络为
\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]
透射交叉系数（TCC）模型
对部分相干的严格处理：每一对束 \((\mathbf g, \mathbf h)\) 都通过透射交叉系数发生干涉。
\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]
其中混合相干包络为
\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]
在 \(\mathbf u' \to \mathbf u\) 的极限下，TCC 退化为上述的准相干包络。
降低 TCC 模型的计算量
TCC 模型的双重求和对每一对束都要计算一次 \(\mathrm{TCC}\)，因此计算量很大。由于像强度 \(I(\mathbf R)\) 为实数，计算量可以大致减半。
首先，物镜光阑之外（\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)）的束没有贡献，因此只需仅对光阑内的束（\(A=1\)）求和即可。
其次，TCC 满足厄米对称性，
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]
（\(A\) 为实数；\(E_c, E_s\) 是在 \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\) 互换下不变的实函数；相位项 \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) 取复共轭）。再结合 \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) 与 \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\)，可知 \((\mathbf g,\mathbf h)\) 项与 \((\mathbf h,\mathbf g)\) 项互为复共轭，因此它们之和等于实部的两倍：
\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
因此双重求和可化简为对角项加上三角部分（在给束指定任意次序后取其中一侧），使 \(\mathrm{TCC}\) 的计算次数减半：
\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]
对角项满足 \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\)，即在光阑内退化为 \(|T_{\mathbf g}|^2\)。
此外，在该求和中相位因子 \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) 会多次取到相同的值。存储并复用这些值可进一步加速计算。
另请参阅