HRTEM 像的形成
HRTEM 像由出射面波函數——即由動力學核心求得的透射係數 \(T_{\mathbf g}\)——通過物鏡成像而形成。ReciPro 提供兩種模型：快速的準同調近似，以及更嚴格的透射交叉係數（TCC）模型。另請參閱 GUI 說明頁面 HRTEM 模擬器。
符號
| 符號 |
含義 |
| \(\mathbf R\) |
實空間（像面）中的 X–Y 分量 |
| \(\mathbf K\) |
入射波向量的 X–Y 分量 |
| \(\mathbf G, \mathbf H\) |
倒易點陣向量的 X–Y 分量 |
| \(\mathbf u\) |
空間頻率（例如 \(\mathbf K+\mathbf G\)） |
| \(\chi(\mathbf u)\) |
透鏡像差函式 |
| \(A(\mathbf u)\) |
物鏡光闌函式 |
| \(\Delta f\) |
欠焦值 |
| \(C_s\) |
球差係數 |
| \(C_c\) |
色差係數 |
| \(\beta\) |
照明半角（有限光源尺寸的效應） |
| \(\Delta E\) |
電子能量漲落的 \(1/e\) 寬度 |
| \(\Delta_0\) |
欠焦彌散的 \(1/e\) 寬度（高斯型），\(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\) |
透鏡像差函式與光闌
\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]
準同調模型
一種快速近似：每個繞射束都被透鏡傳遞函式調制，並被同調包絡衰減，然後同調疊加。
\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]
其中時間同調包絡與空間同調包絡為
\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]
透射交叉係數（TCC）模型
對部分同調的嚴格處理：每一對束 \((\mathbf g, \mathbf h)\) 都通過透射交叉係數發生干涉。
\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]
其中混合同調包絡為
\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]
在 \(\mathbf u' \to \mathbf u\) 的極限下，TCC 退化為上述的準同調包絡。
降低 TCC 模型的計算量
TCC 模型的雙重求和對每一對束都要計算一次 \(\mathrm{TCC}\)，因此計算量很大。由於像強度 \(I(\mathbf R)\) 為實數，計算量可以大致減半。
首先，物鏡光闌之外（\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)）的束沒有貢獻，因此只需僅對光闌內的束（\(A=1\)）求和即可。
其次，TCC 滿足厄米對稱性，
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]
（\(A\) 為實數；\(E_c, E_s\) 是在 \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\) 互換下不變的實函式；相位項 \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) 取複共軛）。再結合 \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) 與 \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\)，可知 \((\mathbf g,\mathbf h)\) 項與 \((\mathbf h,\mathbf g)\) 項互為複共軛，因此它們之和等於實部的兩倍：
\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
因此雙重求和可化簡為對角項加上三角部分（在給束指定任意次序後取其中一側），使 \(\mathrm{TCC}\) 的計算次數減半：
\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]
對角項滿足 \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\)，即在光闌內退化為 \(|T_{\mathbf g}|^2\)。
此外，在該求和中相位因子 \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) 會多次取到相同的值。儲存並重複使用這些值可進一步加速計算。
另請參閱