Перейти к содержанию

Формирование HRTEM-изображения

HRTEM-изображение формируется из волновой функции на выходной поверхности — коэффициентов пропускания \(T_{\mathbf g}\), полученных из динамического ядра, — путём прохождения её через объективную линзу. ReciPro предлагает две модели: быстрое квазикогерентное приближение и более строгую модель перекрёстного коэффициента пропускания (TCC). См. также GUI-страницу Симулятор HRTEM.

Обозначения

Symbol Значение
\(\mathbf R\) X–Y-компонента в реальном пространстве (плоскость изображения)
\(\mathbf K\) X–Y-компонента волнового вектора падающего пучка
\(\mathbf G, \mathbf H\) X–Y-компоненты векторов обратной решётки
\(\mathbf u\) пространственная частота (например, \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) функция аберрации линзы
\(A(\mathbf u)\) функция апертуры объектива
\(\Delta f\) значение дефокусировки
\(C_s\) коэффициент сферической аберрации
\(C_c\) коэффициент хроматической аберрации
\(\beta\) полуугол освещения (конечный размер источника)
\(\Delta E\) ширина \(1/e\) флуктуаций энергии электрона
\(\Delta_0\) ширина \(1/e\) разброса дефокусировки (гауссова), \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

Функция аберрации линзы и апертура

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

Квазикогерентная модель

Быстрое приближение: каждый дифрагированный пучок модулируется передачей линзы и затухает под действием огибающих когерентности, после чего суммируется когерентно.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

с временно́й и пространственной огибающими когерентности

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

Модель перекрёстного коэффициента пропускания (TCC)

Строгое описание частичной когерентности: каждая пара пучков \((\mathbf g, \mathbf h)\) интерферирует через перекрёстный коэффициент пропускания.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

со смешанными огибающими когерентности

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

В пределе \(\mathbf u' \to \mathbf u\) TCC сводится к приведённым выше квазикогерентным огибающим.

Снижение вычислительных затрат модели TCC

Двойная сумма модели TCC вычисляет \(\mathrm{TCC}\) один раз для каждой пары пучков, поэтому она затратна. Поскольку интенсивность изображения \(I(\mathbf R)\) вещественна, затраты можно примерно уменьшить вдвое.

Во-первых, пучки вне апертуры объектива (\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)) не дают вклада, поэтому достаточно суммировать только по пучкам внутри апертуры (\(A=1\)).

Во-вторых, TCC является эрмитовым,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) вещественна; \(E_c, E_s\) — вещественные функции, инвариантные относительно \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\); фазовый член \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) комплексно сопрягается). Вместе с \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) и \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\) члены \((\mathbf g,\mathbf h)\) и \((\mathbf h,\mathbf g)\) комплексно сопряжены друг другу, так что их сумма равна удвоенной вещественной части:

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

Таким образом, двойная сумма сводится к диагонали плюс верхний треугольник (одна сторона, после того как пучкам назначен произвольный порядок), что вдвое уменьшает число вычислений \(\mathrm{TCC}\):

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

Для диагонального члена \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), то есть \(|T_{\mathbf g}|^2\) внутри апертуры.

Кроме того, фазовый множитель \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) многократно принимает одно и то же значение в пределах этой суммы. Сохранение и повторное использование этих значений дополнительно ускоряет вычисление.

См. также