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HRTEM 상 형성

HRTEM 상은 출사면 파동함수 — 동역학적 코어에서 얻은 투과 계수 \(T_{\mathbf g}\) — 를 대물렌즈를 통과시켜 형성된다. ReciPro는 두 가지 모델을 제공한다: 빠른 준가간섭(quasi-coherent) 근사와 보다 엄밀한 투과 교차 계수(transmission cross coefficient, TCC) 모델이다. HRTEM 시뮬레이터 GUI 페이지도 참조하라.

기호

기호 의미
\(\mathbf R\) 실공간(상면)에서의 X–Y 성분
\(\mathbf K\) 입사 파동벡터의 X–Y 성분
\(\mathbf G, \mathbf H\) 역격자 벡터의 X–Y 성분
\(\mathbf u\) 공간 주파수 (예: \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) 렌즈 수차 함수
\(A(\mathbf u)\) 대물 조리개 함수
\(\Delta f\) 디포커스 값
\(C_s\) 구면 수차 계수
\(C_c\) 색 수차 계수
\(\beta\) 조명 반각 (유한 광원 크기)
\(\Delta E\) 전자 에너지 요동의 \(1/e\) 폭
\(\Delta_0\) 디포커스 분포의 \(1/e\) 폭 (가우시안), \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

렌즈 수차 함수와 조리개

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

준가간섭 모델

빠른 근사: 각 회절빔은 렌즈 전달에 의해 변조되고 가간섭성 포락선에 의해 감쇠된 다음, 가간섭적으로 합산된다.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

여기서 시간적 및 공간적 가간섭성 포락선은

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

투과 교차 계수(TCC) 모델

부분 가간섭성의 엄밀한 처리: 모든 빔 쌍 \((\mathbf g, \mathbf h)\) 이 투과 교차 계수를 통해 간섭한다.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

여기서 혼합 가간섭성 포락선은

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

극한 \(\mathbf u' \to \mathbf u\) 에서 TCC는 위의 준가간섭 포락선으로 환원된다.

TCC 모델의 계산 비용 절감

TCC 모델의 이중합은 빔 쌍마다 \(\mathrm{TCC}\) 를 한 번씩 평가하므로 비용이 크다. 상 강도 \(I(\mathbf R)\) 가 실수이므로, 비용을 대략 절반으로 줄일 수 있다.

첫째, 대물 조리개 바깥의 빔(\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\))은 기여하지 않으므로, 조리개 안쪽의 빔(\(A=1\))에 대해서만 합산하면 충분하다.

둘째, TCC는 에르미트(Hermitian)이다,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) 는 실수이고; \(E_c, E_s\) 는 \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\) 교환에 대해 불변인 실함수이며; 위상항 \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) 은 복소 켤레가 된다). 이와 함께 \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) 및 \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\) 를 고려하면, \((\mathbf g,\mathbf h)\) 항과 \((\mathbf h,\mathbf g)\) 항은 서로 복소 켤레이므로, 그 합은 실수부의 두 배와 같다:

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

따라서 이중합은 대각 성분에 상삼각(빔에 임의의 순서를 부여하면 한쪽 면)을 더한 것으로 환원되어, \(\mathrm{TCC}\) 평가 횟수를 절반으로 줄인다:

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

대각 항의 경우 \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), 즉 조리개 안쪽에서 \(|T_{\mathbf g}|^2\) 이다.

나아가, 위상 인자 \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) 는 이 합 안에서 동일한 값을 여러 번 가진다. 이 값들을 저장해 두고 재사용하면 계산이 더욱 빨라진다.

참고