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Formação da imagem HRTEM

A imagem HRTEM é formada a partir da função de onda na superfície de saída — os coeficientes de transmissão \(T_{\mathbf g}\) obtidos do núcleo dinâmico —, fazendo-a passar pela lente objetiva. O ReciPro oferece dois modelos: a rápida aproximação quase coerente e o modelo mais rigoroso do coeficiente cruzado de transmissão (TCC). Veja também a página de GUI do Simulador HRTEM.

Símbolos

Símbolo Significado
\(\mathbf R\) Componente X–Y no espaço real (plano da imagem)
\(\mathbf K\) Componente X–Y do vetor de onda incidente
\(\mathbf G, \mathbf H\) Componentes X–Y de vetores da rede recíproca
\(\mathbf u\) frequência espacial (p. ex. \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) função de aberração da lente
\(A(\mathbf u)\) função da abertura objetiva
\(\Delta f\) valor de desfocagem
\(C_s\) coeficiente de aberração esférica
\(C_c\) coeficiente de aberração cromática
\(\beta\) semiângulo de iluminação (tamanho finito da fonte)
\(\Delta E\) largura \(1/e\) das flutuações de energia do elétron
\(\Delta_0\) largura \(1/e\) da dispersão de desfocagem (gaussiana), \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

Função de aberração da lente e abertura

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

Modelo quase coerente

Uma aproximação rápida: cada feixe difratado é modulado pela transferência da lente e amortecido por envelopes de coerência, e em seguida somado coerentemente.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

com os envelopes de coerência temporal e espacial

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

Modelo do coeficiente cruzado de transmissão (TCC)

O tratamento rigoroso da coerência parcial: cada par de feixes \((\mathbf g, \mathbf h)\) interfere por meio do coeficiente cruzado de transmissão.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

com os envelopes de coerência mistos

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

No limite \(\mathbf u' \to \mathbf u\) o TCC se reduz aos envelopes quase coerentes acima.

Redução do custo do modelo TCC

A soma dupla do modelo TCC avalia \(\mathrm{TCC}\) uma vez por par de feixes, sendo portanto custosa. Como a intensidade da imagem \(I(\mathbf R)\) é real, o custo pode ser reduzido aproximadamente à metade.

Primeiro, feixes fora da abertura objetiva (\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)) não contribuem, de modo que basta somar apenas sobre os feixes dentro da abertura (\(A=1\)).

Em seguida, o TCC é hermitiano,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) é real; \(E_c, E_s\) são funções reais, invariantes sob \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\); o termo de fase \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) é complexo-conjugado). Junto com \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) e \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\), os termos \((\mathbf g,\mathbf h)\) e \((\mathbf h,\mathbf g)\) são complexos conjugados entre si, de modo que sua soma é igual ao dobro da parte real:

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

A soma dupla se reduz, portanto, à diagonal mais o triângulo superior (um lado, uma vez atribuída uma ordenação arbitrária aos feixes), reduzindo à metade o número de avaliações de \(\mathrm{TCC}\):

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

Para o termo diagonal vale \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), isto é, \(|T_{\mathbf g}|^2\) dentro da abertura.

Além disso, o fator de fase \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) assume o mesmo valor muitas vezes dentro dessa soma. Armazenar e reutilizar esses valores acelera ainda mais o cálculo.

Veja também