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HRTEM 像形成

HRTEM 像は、出射面の波動関数（動力学コア で求めた透過係数 \(T_{\mathbf g}\)）を対物レンズに通すことで形成されます。ReciPro は2つのモデルを用意しています：高速な 準コヒーレント近似と、より厳密な 透過相互係数（TCC） モデルです。GUI の説明は HRTEM シミュレータ のページも参照してください。

記号

記号 意味
\(\mathbf R\) 実空間（像面）の X–Y 成分
\(\mathbf K\) 入射波数ベクトルの X–Y 成分
\(\mathbf G, \mathbf H\) 逆格子ベクトルの X–Y 成分
\(\mathbf u\) 空間周波数（例: \(\mathbf K+\mathbf G\)）
\(\chi(\mathbf u)\) レンズ収差関数
\(A(\mathbf u)\) 対物絞り関数
\(\Delta f\) デフォーカス値
\(C_s\) 球面収差係数
\(C_c\) 色収差係数
\(\beta\) 照射半角（有限な光源サイズの効果）
\(\Delta E\) 電子エネルギー揺らぎの 標準偏差（rms）。GUI の ΔV 欄は FWHM で入力するので \(\Delta E = \mathrm{FWHM}/(2\sqrt{2\ln 2})\)
\(\Delta_0\) デフォーカス広がり（ガウス分布）の標準偏差、\(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

レンズ収差関数と絞り

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{は対物絞りの内側})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{は対物絞りの外側})\end{cases}\]

準コヒーレントモデル

高速な近似です。各回折波にレンズ伝達を掛け、コヒーレンスのエンベロープで減衰させてからコヒーレントに足し合わせます。

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

時間コヒーレンス・空間コヒーレンスのエンベロープは

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

です。

透過相互係数（TCC）モデル

部分コヒーレンスを厳密に扱うモデルです。すべての波の対 \((\mathbf g, \mathbf h)\) が透過相互係数を通して干渉します。

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

混合コヒーレンスのエンベロープは

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

です。\(\mathbf u' = \mathbf 0\)（透過波との干渉）と置くと、準コヒーレントモデルの単一周波数エンベロープ \(E_c(\mathbf u)\)・\(E_s(\mathbf u)\) が復元されます。もう一方の極限 \(\mathbf u' \to \mathbf u\) では \(E_c = E_s = 1\) となり、後述の対角項 \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u) = A(\mathbf u)^2\) になります。

TCC モデルの計算量削減

TCC モデルの二重和は波の対の数だけ \(\mathrm{TCC}\) を評価するため計算量が大きくなりますが、像強度 \(I(\mathbf R)\) が実数であることを利用して約半分に削減できます。

まず、対物絞りの外側（\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)）の波は寄与しないので、和は 絞りの内側（\(A=1\)）の波だけ を対象にすれば十分です。

つぎに \(\mathrm{TCC}\) はエルミート対称性

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

を満たします（\(A\) は実数、\(E_c, E_s\) は \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\) の入れ替えで不変な実関数、位相項 \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) は複素共役になります）。あわせて \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\)、\(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\) なので、対 \((\mathbf g,\mathbf h)\) と \((\mathbf h,\mathbf g)\) の項は互いに複素共役です。よってその和は実部の 2 倍になります：

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

これより二重和は対角項と上三角（波に任意の順序を付けたときの片側）だけで表せ、\(\mathrm{TCC}\) の評価回数が約半分になります：

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

対角項では \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\) となり、絞りの内側では \(|T_{\mathbf g}|^2\) に帰着します。

さらに、この和の中では位相因子 \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) が同じ値を何度も取ります。これらを保存して再利用することで、計算をいっそう高速化できます。

関連項目