HRTEM 像形成
HRTEM 像は、出射面の波動関数（動力学コア で求めた透過係数 \(T_{\mathbf g}\)）を対物レンズに通すことで形成されます。ReciPro は2つのモデルを用意しています：高速な 準コヒーレント近似と、より厳密な 透過相互係数（TCC） モデルです。GUI の説明は HRTEM シミュレータ のページも参照してください。
記号
| 記号 |
意味 |
| \(\mathbf R\) |
実空間（像面）の X–Y 成分 |
| \(\mathbf K\) |
入射波数ベクトルの X–Y 成分 |
| \(\mathbf G, \mathbf H\) |
逆格子ベクトルの X–Y 成分 |
| \(\mathbf u\) |
空間周波数（例: \(\mathbf K+\mathbf G\)） |
| \(\chi(\mathbf u)\) |
レンズ収差関数 |
| \(A(\mathbf u)\) |
対物絞り関数 |
| \(\Delta f\) |
デフォーカス値 |
| \(C_s\) |
球面収差係数 |
| \(C_c\) |
色収差係数 |
| \(\beta\) |
照射半角（有限な光源サイズの効果） |
| \(\Delta E\) |
電子エネルギー揺らぎの \(1/e\) 幅 |
| \(\Delta_0\) |
デフォーカス広がりの \(1/e\) 幅（ガウス分布）、\(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\) |
レンズ収差関数と絞り
\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{は対物絞りの内側})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{は対物絞りの外側})\end{cases}\]
準コヒーレントモデル
高速な近似です。各回折波にレンズ伝達を掛け、コヒーレンスのエンベロープで減衰させてからコヒーレントに足し合わせます。
\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]
時間コヒーレンス・空間コヒーレンスのエンベロープは
\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]
です。
透過相互係数（TCC）モデル
部分コヒーレンスを厳密に扱うモデルです。すべての波の対 \((\mathbf g, \mathbf h)\) が透過相互係数を通して干渉します。
\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]
混合コヒーレンスのエンベロープは
\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]
です。\(\mathbf u' \to \mathbf u\) の極限で、TCC は上記の準コヒーレントのエンベロープに帰着します。
TCC モデルの計算量削減
TCC モデルの二重和は波の対の数だけ \(\mathrm{TCC}\) を評価するため計算量が大きくなりますが、像強度 \(I(\mathbf R)\) が実数であることを利用して約半分に削減できます。
まず、対物絞りの外側（\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)）の波は寄与しないので、和は 絞りの内側（\(A=1\)）の波だけ を対象にすれば十分です。
つぎに \(\mathrm{TCC}\) はエルミート対称性
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]
を満たします（\(A\) は実数、\(E_c, E_s\) は \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\) の入れ替えで不変な実関数、位相項 \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) は複素共役になります）。あわせて \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\)、\(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\) なので、対 \((\mathbf g,\mathbf h)\) と \((\mathbf h,\mathbf g)\) の項は互いに複素共役です。よってその和は実部の 2 倍になります：
\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
これより二重和は対角項と上三角（波に任意の順序を付けたときの片側）だけで表せ、\(\mathrm{TCC}\) の評価回数が約半分になります：
\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]
対角項では \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\) となり、絞りの内側では \(|T_{\mathbf g}|^2\) に帰着します。
さらに、この和の中では位相因子 \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) が同じ値を何度も取ります。これらを保存して再利用することで、計算をいっそう高速化できます。
関連項目