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HRTEM-Bildentstehung

Das HRTEM-Bild entsteht aus der Wellenfunktion an der Austrittsfläche — den Transmissionskoeffizienten \(T_{\mathbf g}\) aus dem dynamischen Kern —, indem diese durch die Objektivlinse geführt wird. ReciPro bietet zwei Modelle: die schnelle quasi-kohärente Näherung und das strengere Modell des Transmissions-Kreuzkoeffizienten (TCC). Siehe auch die GUI-Seite HRTEM-Simulator.

Symbole

Symbol Bedeutung
\(\mathbf R\) X–Y-Komponente im Realraum (Bildebene)
\(\mathbf K\) X–Y-Komponente des einfallenden Wellenvektors
\(\mathbf G, \mathbf H\) X–Y-Komponenten reziproker Gittervektoren
\(\mathbf u\) Ortsfrequenz (z. B. \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) Linsenaberrationsfunktion
\(A(\mathbf u)\) Objektivblendenfunktion
\(\Delta f\) Defokuswert
\(C_s\) Koeffizient der sphärischen Aberration
\(C_c\) Koeffizient der chromatischen Aberration
\(\beta\) Beleuchtungs-Halbwinkel (endliche Quellgröße)
\(\Delta E\) \(1/e\)-Breite der Energiefluktuationen des Elektrons
\(\Delta_0\) \(1/e\)-Breite der Defokus-Streuung (gaußförmig), \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

Linsenaberrationsfunktion und Blende

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

Quasi-kohärentes Modell

Eine schnelle Näherung: jeder gebeugte Strahl wird durch die Linsenübertragung moduliert und durch Kohärenz-Einhüllende gedämpft, dann kohärent aufsummiert.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

mit den zeitlichen und räumlichen Kohärenz-Einhüllenden

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

Modell des Transmissions-Kreuzkoeffizienten (TCC)

Die strenge Behandlung der partiellen Kohärenz: jedes Strahlenpaar \((\mathbf g, \mathbf h)\) interferiert über den Transmissions-Kreuzkoeffizienten.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

mit den gemischten Kohärenz-Einhüllenden

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

Im Grenzfall \(\mathbf u' \to \mathbf u\) reduziert sich der TCC auf die obigen quasi-kohärenten Einhüllenden.

Senkung des Rechenaufwands des TCC-Modells

Die Doppelsumme des TCC-Modells wertet \(\mathrm{TCC}\) einmal pro Strahlenpaar aus und ist daher aufwendig. Da die Bildintensität \(I(\mathbf R)\) reell ist, lässt sich der Aufwand etwa halbieren.

Erstens tragen Strahlen außerhalb der Objektivblende (\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)) nicht bei, sodass es genügt, nur über die Strahlen innerhalb der Blende (\(A=1\)) zu summieren.

Zweitens ist der TCC hermitesch,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) ist reell; \(E_c, E_s\) sind reelle Funktionen, invariant unter \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\); der Phasenterm \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) wird komplex konjugiert). Zusammen mit \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) und \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\) sind die Terme \((\mathbf g,\mathbf h)\) und \((\mathbf h,\mathbf g)\) zueinander komplex konjugiert, sodass ihre Summe dem Doppelten des Realteils entspricht:

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

Die Doppelsumme reduziert sich daher auf die Diagonale plus das obere Dreieck (eine Seite, sobald den Strahlen eine beliebige Ordnung zugewiesen ist) und halbiert die Zahl der \(\mathrm{TCC}\)-Auswertungen:

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

Für den Diagonalterm gilt \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), d. h. \(|T_{\mathbf g}|^2\) innerhalb der Blende.

Darüber hinaus nimmt der Phasenfaktor \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) innerhalb dieser Summe vielfach denselben Wert an. Das Speichern und Wiederverwenden dieser Werte beschleunigt die Berechnung weiter.

Siehe auch