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Formazione dell'immagine HRTEM

L'immagine HRTEM si forma a partire dalla funzione d'onda sulla superficie di uscita — i coefficienti di trasmissione \(T_{\mathbf g}\) ottenuti dal nucleo dinamico — facendola passare attraverso la lente obiettivo. ReciPro offre due modelli: la rapida approssimazione quasi-coerente e il modello più rigoroso del coefficiente di trasmissione incrociata (TCC). Vedere anche la pagina GUI Simulatore HRTEM.

Simboli

Simbolo Significato
\(\mathbf R\) Componente X–Y nello spazio reale (piano immagine)
\(\mathbf K\) Componente X–Y del vettore d'onda incidente
\(\mathbf G, \mathbf H\) Componenti X–Y dei vettori del reticolo reciproco
\(\mathbf u\) frequenza spaziale (ad es. \(\mathbf K+\mathbf G\))
\(\chi(\mathbf u)\) funzione di aberrazione della lente
\(A(\mathbf u)\) funzione dell'apertura obiettivo
\(\Delta f\) valore di defocalizzazione
\(C_s\) coefficiente di aberrazione sferica
\(C_c\) coefficiente di aberrazione cromatica
\(\beta\) semiangolo di illuminazione (dimensione finita della sorgente)
\(\Delta E\) deviazione standard (rms) della fluttuazione di energia dell'elettrone. La casella ΔV della GUI accetta la FWHM, quindi \(\Delta E = \mathrm{FWHM}/(2\sqrt{2\ln 2})\)
\(\Delta_0\) deviazione standard della dispersione (gaussiana) della defocalizzazione, \(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

Funzione di aberrazione della lente e apertura

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{inside the objective aperture})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{outside the objective aperture})\end{cases}\]

Modello quasi-coerente

Un'approssimazione rapida: ogni fascio diffratto viene modulato dal trasferimento della lente e smorzato dagli inviluppi di coerenza, quindi sommato coerentemente.

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

con gli inviluppi di coerenza temporale e spaziale

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

Modello del coefficiente di trasmissione incrociata (TCC)

Il trattamento rigoroso della coerenza parziale: ogni coppia di fasci \((\mathbf g, \mathbf h)\) interferisce attraverso il coefficiente di trasmissione incrociata.

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

con gli inviluppi di coerenza misti

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

Ponendo \(\mathbf u' = \mathbf 0\) — interferenza del fascio \(\mathbf u\) con il fascio trasmesso — si ritrovano gli inviluppi a singola frequenza \(E_c(\mathbf u)\) ed \(E_s(\mathbf u)\) del modello quasi-coerente riportato sopra. L'altro limite, \(\mathbf u' \to \mathbf u\), dà \(E_c = E_s = 1\) e quindi il termine diagonale \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u) = A(\mathbf u)^2\) usato più avanti.

Riduzione del costo del modello TCC

La doppia somma del modello TCC valuta \(\mathrm{TCC}\) una volta per ogni coppia di fasci, ed è quindi onerosa. Poiché l'intensità dell'immagine \(I(\mathbf R)\) è reale, il costo può essere ridotto all'incirca della metà.

In primo luogo, i fasci esterni all'apertura obiettivo (\(A(\mathbf K+\mathbf G)=0\)) non contribuiscono, quindi è sufficiente sommare solo sui fasci interni all'apertura (\(A=1\)).

In secondo luogo, il TCC è hermitiano,

\[\mathrm{TCC}(\mathbf u', \mathbf u) = \mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u')^{*}\]

(\(A\) è reale; \(E_c, E_s\) sono funzioni reali invarianti sotto \(\mathbf u\leftrightarrow\mathbf u'\); il termine di fase \(\exp[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}]\) viene coniugato complesso). Insieme a \(\exp[2\pi i(\mathbf H-\mathbf G)\cdot\mathbf R]=\bigl(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\bigr)^{*}\) e \(T_{\mathbf h}T_{\mathbf g}^{*}=\bigl(T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\bigr)^{*}\), i termini \((\mathbf g,\mathbf h)\) e \((\mathbf h,\mathbf g)\) sono complessi coniugati l'uno dell'altro, cosicché la loro somma è pari al doppio della parte reale:

\[F(\mathbf g,\mathbf h) + F(\mathbf h,\mathbf g) = 2\,\mathrm{Re}\{F(\mathbf g,\mathbf h)\}, \qquad F(\mathbf g,\mathbf h) \equiv T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]

La doppia somma si riduce pertanto alla diagonale più il triangolo superiore (un solo lato, una volta assegnato ai fasci un ordinamento arbitrario), dimezzando il numero di valutazioni di \(\mathrm{TCC}\):

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} |T_{\mathbf g}|^2\,A(\mathbf K+\mathbf G)^2 \;+\; 2\sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h > \mathbf g} \mathrm{Re}\!\left\{ T_{\mathbf g}T_{\mathbf h}^{*}\,\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\,\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\right\}\]

Per il termine diagonale vale \(\mathrm{TCC}(\mathbf u,\mathbf u)=A(\mathbf u)^2\), cioè \(|T_{\mathbf g}|^2\) all'interno dell'apertura.

Inoltre, il fattore di fase \(\exp[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R]\) assume più volte lo stesso valore all'interno di questa somma. Memorizzare e riutilizzare questi valori accelera ulteriormente il calcolo.

Vedere anche