A4.1. 공간군 기호와 대칭 다이어그램¶
이 페이지는 대칭 정보 상단 절반에 표시되는 모든 것(공간군 정보 패널과 대칭 연산/군의 성질/설정 목록 탭)과 창 하단의 두 모식도를 설명합니다. 표기는 모두 International Tables for Crystallography(ITA) Vol. A를 따릅니다.
Hermann–Mauguin (HM) 기호¶
Hermann–Mauguin 기호에는 두 층위가 있습니다: 점군 기호(위쪽 상자, 점군)는 결정의 거시적 대칭만을 기술하고, 공간군 기호(아래쪽 상자, 공간군)는 거기에 격자 중심화와 나선/글라이드 성분을 더합니다.
격자 문자¶
공간군 기호는 다음 일곱 가지 표준 격자 문자 중 하나로 시작합니다.
| 문자 | 의미 |
|---|---|
P |
단순 격자 |
A, B, C |
일면심(각각 bc, ac, ab 면의 중심화) |
I |
체심 |
F |
전면심 |
R |
능면체(삼방정계 고유의 격자. 흔히 육방 축으로 기술되며, 이 경우 단위 격자에 격자점 3개가 포함됩니다) |
대칭 방향¶
격자 문자 다음에 오는 기호의 나머지 각 위치는 하나의 대칭 방향 — 결정 안에서 회전/나선축이 놓이는 방향, 그리고/또는 거울면/글라이드 면이 그에 수직으로 놓이는 방향 — 을 나타냅니다. 이 위치들이 어떤 물리적 방향을 가리키며 어떤 순서로 오는지는 결정계에 따라 정해져 있습니다.
| 결정계 | 첫째 위치 | 둘째 위치 | 셋째 위치 |
|---|---|---|---|
| 삼사정계 | (없음 — 1 또는 -1만) |
||
| 단사정계 | \([010]\) (유일축 \(b\), ReciPro의 규약) | ||
| 사방정계 | \([100]\) | \([010]\) | \([001]\) |
| 정방정계 | \([001]\) | \([100],[010]\) | \([110],[1\bar 10]\) |
| 삼방정계 / 육방정계 | \([001]\) | \([100],[010],[\bar 1\bar 1 0]\) | \([1\bar 10],[120],[\bar 2\bar 1 0]\) |
| 입방정계 | \([100],[010],[001]\) | \([111]\) (및 나머지 3개의 체대각선) | \([1\bar 10],[110]\) (및 나머지 4개의 면대각선) |
하나의 위치는 다음 규칙에 따라 채워집니다.
- 숫자 하나 \(n\) (\(n=1,2,3,4,6\)) : 그 방향을 따르는 \(n\)회 회전축.
- 나선축 \(n_p\) (예: \(2_1\), \(4_2\), \(6_3\)) : \(360°/n\)의 회전에 축 방향으로 격자 반복의 \(p/n\)만큼의 병진을 결합한 것. 예컨대 \(2_1\)("2회 나선")은 \(180°\) 회전 및 축 방향으로 단위 격자 모서리의 절반만큼의 이동을, \(6_3\)은 \(60°\) 회전과 \(c\) 방향으로 절반만큼의 이동을 뜻합니다.
- 회전 숫자 없이 문자 하나(\(m,a,b,c,n,d\)) : 그 방향에 수직인 거울면 또는 글라이드 면(문자의 의미는 아래 다이어그램에서와 같습니다).
- \(n/m\) 또는 \(n_p/m\) : 회전/나선축 과 그에 수직인 거울면(두 요소는 같은 방향을 공유하며, 하나는 축을 따라, 하나는 축을 가로질러 놓입니다).
- \(-n\) (예: \(-1,-3,-4,-6\)) : 회전반전축(\(360°/n\)만큼 회전한 뒤 축 위의 한 점을 통해 반전). \(-1\) 단독은 순수한 반전 중심을 뜻합니다. "\(-2\)" 축이라는 것은 존재하지 않습니다 — 2회 회전반전은 거울면과 완전히 같으므로 항상 \(m\)으로 씁니다.
단축형과 완전형 기호¶
단축형 HM 기호(보통 인용되는 것)는 이미 적힌 요소들로부터 함의되는 대칭 요소를 생략하고, 완전형 기호는 모든 방향을 명시합니다. 예컨대 공간군 No. 62는 단축형으로 \(Pnma\), 완전형으로 \(P\,2_1/n\,2_1/m\,2_1/a\)입니다 — 세 개의 \(2_1\) 나선축은 세 개의 글라이드/거울면과 공간군의 점군 \(mmm\)으로부터 함의되므로 단축형에서는 생략됩니다. ReciPro의 HM 기호 (단축형)/HM 기호 (완전형) 필드가 둘 다 보여 주며, 대부분의 공간군에서는 둘이 일치합니다.
Schoenflies (SF) 기호와 Hall 기호¶
Schoenflies 기호(예: \(D_{2h}^{16}\))는 점군 유형(\(D_{2h}\))을 이름 짓고, 위 첨자는 그 점군 계열의 공간군 중 몇 번째인지를 단순히 열거할 뿐입니다 — HM 기호와 달리 위 첨자 자체에는 직접적인 기하학적 의미가 없어, 대응표를 찾아보아야 합니다. ReciPro는 점군과 공간군 모두에 대해 Schoenflies 기호를 표시합니다.
Hall 기호는 모호함 없는 컴퓨터 처리를 위해 설계된, 생성원 기반의 별도 표기법입니다: 생성 연산의 최소 집합을 명시적인 원점과 함께 나열하므로, 프로그램은 "이 HM 기호가 어떤 설정/원점 선택을 뜻하는가"라는 대응표를 찾아보지 않고도 정확한 좌표 집합을 재구성할 수 있습니다. Hall 기호는 주어진 연산 집합을 부호화하는 유일한 방법은 아니지만(생성원을 다르게 고르면 같은 군에 대해 서로 다른, 똑같이 유효한 Hall 문자열이 얻어집니다), 각각은 그 자체로 완전히 명시적이고 가역적입니다. ReciPro는 현재 설정에 대해 체계적으로 생성한 Hall 기호를 표시하며, 설정 목록 탭(아래 참조)에는 현재 공간군 번호를 공유하는 수록된 모든 원점/설정 선택지가 각각의 HM 기호·Hall 기호와 함께 나열됩니다.
대칭 연산 (대칭 연산 탭)¶
대칭 연산 탭은 현재 설정에서 일반 위치의 모든 대칭 연산(격자 중심화 병진은 이미 전개된 상태)을 세 가지 병렬 표기로 나열합니다.
| 열 | 예 | 의미 |
|---|---|---|
| 좌표 | -y, x-y, z+1/3 |
좌표 트리플렛 \((x,y,z)\mapsto(x',y',z')\), 즉 아핀 사상 \(x'=Rx+t\)를 대수적으로 풀어 쓴 것(ITA/CIF 규약). |
| Seitz | 3+ [111] |
간결한 기호: 회전/나선의 위수와 회전 방향(3+), 축 방향([111]), 그리고 병진이 있으면 그것(예: 2₁ [001] 0,0,1/2). 순수한 거울면은 m, 항등은 1, 반전은 -1. |
| 종류 | 3-fold rotation (3+) [111] |
연산의 알기 쉬운 분류: Identity(항등), Inversion centre at …(반전 중심), n회 회전, \(n_p\) 나선축, 거울면 \(m\), a/b/c/n/d 글라이드 면, 또는 \(n\)회 회전반전을, 각각 방향(반전 중심은 위치까지)과 함께 표시합니다. |
복사 (CIF) 버튼은 전체 연산 목록을 CIF _space_group_symop_operation_xyz 루프로 클립보드에 넣습니다. 여기서 도입한 어휘 — Seitz 기호와 기하학적 종류 — 는 A4.2 전반에 다시 등장하며, 그곳에서는 부분군 관계에서 유지/소실되는 각 생성원이 같은 방식으로 기술됩니다.
군론적 분류 (군의 성질 탭)¶
군의 성질 탭은 현재 공간군에 대한 일련의 표준 분류를 보고합니다. 그중 일부 — 중심대칭, Sohncke, 극성(그리고 이들에서 도출되는 아래의 물성 허용) — 는 각 연산의 행렬부 \(R\)(회전 또는 반사를 나타내는 선형 부분)로부터 — 중심대칭의 경우 병진부까지 함께 — 직접 따라 나옵니다. 나머지 — symmorphic, 거울상 짝, 결정족/격자계/브라베 유형, 산술 결정류, Patterson 대칭 — 는 개별 연산이 아니라 공간군 유형 전체의 성질(IT 번호, 격자 유형, 라우에류)입니다. 어느 것도 계량(단위 격자의 모양)을 필요로 하지 않습니다 — 오직 공간군 유형의 추상적인 대칭 내용과 분류에만 의존합니다.
중심대칭(Centrosymmetric) — 연산 집합이 \(\{-I \mid t\}\) 꼴의 연산(점 \(t/2\)를 지나는 반전으로, 원점일 필요는 없습니다)을 포함합니다. 아래의 Sohncke·극성 성질은 이것과 상호 배타적입니다: 반전 중심은 모든 방향을 뒤집으므로 중심대칭군은 결코 극성이 될 수 없고, \(-I\)의 행렬식은 \(-1\)이므로 중심대칭군은 결코 Sohncke 군이 될 수 없습니다.
Sohncke (방향 보존) 군 — 모든 연산의 행렬부가 \(\det R=+1\)을 만족합니다: 군은 고유 회전과 나선 회전만을 포함하고, 거울면·글라이드·반전·회전반전은 전혀 포함하지 않습니다. 230개 공간군 유형 중 65개가 Sohncke 군입니다. Sohncke 군이라는 것은, 구조가 그 거울상까지 함께 포함하지 않고도 일정한 손지기(handedness)를 지닌 대상(카이랄 분자, 단백질, 수정, …)과 양립하기 위한 대칭 조건입니다. 이는 진짜로 서로 구별되는 거울상 쌍을 이루는 공간군 유형의 한쪽 구성원인 것보다 넓은 개념입니다 — 바로 다음의 거울상 짝을 참조하십시오.
거울상 짝(Enantiomorphic partner) — 65개의 Sohncke 유형 가운데 11쌍(22개 유형)은 오직 방향을 뒤집는 변환에 의해서만 서로 연결되고, 어떤 고유(방향 보존) 변환으로도 연결되지 않습니다: 이들 공간군 중 하나에 있는 결정에 거울 반사를 가하면 그 쌍의 다른 쪽 구성원이 되며, 축을 어떻게 다시 이름 붙여도 결코 자기 자신으로 돌아오지 않습니다. 이 11쌍은 서로 반대 손지기의 나선축 위에 세워진 것들입니다:
나머지 \(65-22=43\)개의 Sohncke 유형은 자기 자신의 거울상입니다(공간군 유형으로서는 비카이랄이지만, 그에 속하는 개개의 구조는 여전히 손지기를 갖습니다).
Symmorphic — 73개의 공간군 유형 중 하나로, 원점을 잘 고르면 (격자 병진을 법으로 하여) 모든 잉여류 대표원이 고유(나선/글라이드) 병진 성분을 갖지 않도록 만들 수 있는 것 — 동치인 표현으로는, 단위 격자 안 어떤 점의 자리 대칭군이 점군 전체와 동형인 경우입니다. (물론 중심화 병진은 그대로 남습니다. "symmorphic"은 격자가 아니라 점군 연산의 비단순 병진 부분에 관한 진술입니다.) Symmorphic 공간군은 그 특정 원점에서 기술하는 한 나선축이나 글라이드 면 없이 점군과 격자만으로 언제나 생성할 수 있습니다 — 그리고 이것이 바로 ITA가 symmorphic 유형에 대해 실제로 수록하는 원점이므로, 그 표준 단축형/완전형 기호에는 이미 나선/글라이드 문자가 나타나지 않습니다. (같은 군의 연산들을 이동한 원점이나 중심화 병진만큼 옮긴 원점에서 다시 기술하면 개별 연산이 나선/글라이드 병진을 갖는 것처럼 보일 수 있지만, 그렇다고 그 유형의 symmorphic 분류가 바뀌지는 않습니다 — 분류가 묻는 것은 그런 병진이 없는 원점이 존재하는지 여부뿐이며, 이 73개 유형에서는 실제로 존재합니다.)
극성(Polar) — 모든 연산의 행렬부에 대해 \(Rv=v\)로 불변으로 남는 방향이 있는지(\(\pm v\)가 아닙니다: 진짜 극성 방향은 단지 뒤집히거나 2회축으로 남는 것이 아니라 정확히 보존되어야 합니다). 해당 조건은 다음과 같습니다: 없음(그런 방향 없음) / 단일 축 \([uvw]\) / 평면 전체(그 안의 임의의 방향) / 모든 방향(점군 \(1\)에서만). 극성축은 자발 전기 분극이 대칭성상 허용되는 방향입니다(아래 물성 표 참조).
결정족, 격자계, 브라베 유형 — 결정계 위에 있는 표준 IUCr 분류 계층: 총 6개의 결정족, 7개의 결정계, 7개의 격자계, 14개의 브라베 격자 유형이 있습니다. 미묘한 점은 육방 결정족입니다: 결정계로는 삼방과 육방으로 나뉘지만, 격자계로는 그와 다르게 육방과 능면체로 나뉩니다 — 삼방정계 공간군은 격자가 \(P\)형이면 육방 격자계에, \(R\) 중심화이면 능면체 격자계에 속하며, 이는 두 결정계 중 어디에 속하는지와 무관합니다.
산술 결정류(Arithmetic crystal class) — (경우에 따라 방향까지 구분한) 점군 기호와 브라베 격자 문자의 짝, 예: 4mmP. 산술 결정류는 총 73개입니다. 일부 점군 기호(\(3m\) 점군이 육방 격자에 대해 놓일 수 있는 서로 비동치인 두 방식을 나타내는 3m1과 31m)는 이미 그 자체로 격자에 대한 방향을 담고 있으므로, 방향이 지정된 점군 기호와 격자 문자를 함께 적는 것만으로 그 류를 모호함 없이 지정할 수 있습니다.
Patterson 대칭 — 격자 유형과 라우에류(공간군 자신의 점군에 \(-1\)을 더해 얻는 중심대칭 점군)의 조합으로, 나선/글라이드 정보는 모두 벗겨 냅니다. 예컨대 30개의 사방정계 \(P\) 격자 공간군은 어느 것이 글라이드 면을 갖든 상관없이 모두 Pmmm이 됩니다. 이것이 (운동학적 근사에서) 회절 강도 \(|F|^2\)로부터 계산되는 패터슨 함수의 대칭성입니다: \(|F|^2\)는 글라이드/나선 병진이 만들어 내는 위상 이동에 둔감하기 때문입니다(다만 그것이 일으키는 계통 소광이나 패터슨 지도의 Harker 피크를 통해 그 존재가 간접적으로 드러날 수는 있습니다). 동역학적 전자 회절에서는 이 운동학적 그림이 엄밀하게는 성립하지 않습니다 — 부록 A3을 참조하십시오.
물성의 대칭 허용¶
군의 성질 탭의 마지막 행들은 주어진 거시적 물성이 현재 점군에서 대칭성상 허용되는지를 보고합니다 — 이는 필요조건일 뿐, 실제 결정에서 그 효과가 크다거나 아예 존재한다는 보장이 아닙니다(Nye의 "Physical Properties of Crystals" 관례).
| 물성 | 대칭 조건 | 점군 |
|---|---|---|
| 초전성 / 강유전성 | 극성(1계 극성 벡터 — 자발 분극 — 이 허용됨) | 10개의 극성 점군 |
| 압전성 | 비중심대칭 이면서 점군 \(\ne 432\) | 21개의 비중심대칭 점군 중 20개 |
| 제2고조파 발생(벌크 전기쌍극자 \(\chi^{(2)}\)) | 압전성과 같은 조건(3계 극성 텐서) | 같은 20개 점군 |
| 광학 활성(자연 선광성) | 고유 회전만 포함하는 11개 점군에 더해, 순수 Sohncke는 아니지만 선광성을 갖는 4개 점군 | \(1,2,3,4,6,222,32,422,622,23,432\) 및 \(m,mm2,\bar4,\bar42m\) — 총 15개 점군 |
\(432\)는 압전/SHG 응답이 없는 유일한 비중심대칭 점군입니다: 중심대칭이 아닌데도 (입방정계의 고유 회전 전부라는) 회전 대칭이 너무 높아 어떤 3계 극성 텐서 성분도 살아남지 못합니다.
대칭성이 허용한다는 것이지, 반드시 관측된다는 뜻은 아닙니다
이 행들은 점군이 허용하는 바를 말할 뿐입니다. 실제 결정이 정말로 분극을 반전시키는지(진정한 강유전성), 실용적으로 쓸 만한 압전 또는 SHG 응답을 보이는지는 대칭성만으로는 정해지지 않는 화학과 구조의 세부 사항에 달려 있습니다.
설정 목록 탭¶
현재 공간군의 IT 번호를 공유하는 수록된 모든 원점/축 설정 선택지(예: \(Fd\bar 3m\)의 두 가지 원점 선택, 단사정계 군의 여러 단위 격자 선택)를 각각의 HM 기호·Hall 기호와 함께 나열하며, 현재 표시 중인 설정에 해당하는 행에 표시가 붙습니다. 이 탭은 대안을 열람하기 위한 것일 뿐입니다 — 행을 선택해도 결정은 변경되지 않습니다.
대칭 요소 다이어그램¶
왼쪽 다이어그램은 방향(a/b/c) 컨트롤로 선택한 축을 따라 투영한, 현재 설정의 ITA Vol. A 양식 대칭 모식도를 재현합니다.
지면에 수직인 축은 회전 위수를 모양으로 나타내는 채워진 점 기호로 그려지며, 나선축에는 작은 꼬리("핀")가 덧붙습니다(꼬리의 개수와 배치는 나선 피치 \(p\)뿐 아니라 그 손지기까지 담고 있어서, 예컨대 같은 위수의 반대 손지기 나선인 \(3_1\)과 \(3_2\)는 단순히 꼬리 수가 다른 것이 아니라 서로 거울상인 꼬리 패턴으로 그려집니다):
| 기호 | 요소 |
|---|---|
| 채워진 렌즈형(끝이 뾰족한 타원) | 2회 회전축 |
| 핀이 달린 렌즈형 | \(2_1\) 나선축 |
| 채워진 삼각형 | 3회 회전축 |
| 꼬리가 달린 삼각형 | \(3_1\) / \(3_2\) 나선축 |
| 채워진 정사각형 | 4회 회전축 |
| 꼬리가 달린 정사각형 | \(4_1\) / \(4_2\) / \(4_3\) 나선축 |
| 채워진 육각형 | 6회 회전축 |
| 꼬리가 달린 육각형 | \(6_1 \ldots 6_5\) 나선축 |
| 작은 빈 원 | 반전 중심(\(-1\)) |
| 빈/채움 복합 기호 | 회전반전축(\(-3,-4,-6\)) |
지면에 비스듬하거나 지면 안에 놓인 축(입방정계의 \(\langle 111\rangle\) 체대각선이나 \(\langle 110\rangle\) 면대각선 같은 특수 방향에서만 나타납니다)은 같은 ITA 관례에 따라, 발치에 점 기호를 붙인 화살표로 그려집니다.
면은 글라이드 종류를 이름 짓는 선 스타일로 그려집니다 — 문자는 글라이드 벡터가 어느 격자 방향을 따르는지(또는 대각/4분의 1 격자인지)를 나타내고, 그 병진이 지면 안에 놓이는지 지면 밖으로 나가는지는 선택한 투영축에 따라 달라집니다:
| 선 스타일 | 면 |
|---|---|
| 실선 | 거울면 \(m\) |
| 긴 파선 | 축 글라이드 \(a\) 또는 \(b\) |
| 점선 | 축 글라이드 \(c\)(병진이 지면 밖으로 나가는 흔한 경우) |
| 일점쇄선 | 대각 글라이드 \(n\) |
| 화살표가 달린 일점쇄선 | 다이아몬드 글라이드 \(d\)(4분의 1 격자 병진; 중심 격자에서만 나타남) |
| 이중선 | "이중 글라이드" \(e\) — 독립적인 두 글라이드 벡터가 같은 면 위에서 겹침(중심 격자에서만, 글라이드와 그 중심화 병진으로 옮겨진 짝이 같은 면을 지날 때 나타남) |
기호 옆의 분수 높이 라벨(예: 1/4)은 그 요소가 높이 0의 평면 안에 놓여 있지 않을 때 투영축 방향의 좌표를 알려 줍니다.
F 격자 입방정군: 옥탄트 하나만 그립니다
\(F\) 중심화 입방정계 공간군에서 ReciPro는 단위 격자의 8분의 1에 해당하는 왼쪽 위 사분면만 그립니다(그렇지 않으면 다이어그램이 너무 빽빽해 읽을 수 없게 됩니다). 전체 단위 격자는 중심화 병진과, 이미 그려진 대칭 요소 자신에 의해 그것을 반복한 것입니다. 같은 대칭 요소는 구조 뷰어의 3D 모델 위에 직접 겹쳐 표시할 수도 있습니다.
일반 위치 다이어그램¶
오른쪽 다이어그램은 일반 등가 위치 — 하나의 일반점 \((x,y,z)\)가 공간군의 모든 연산 아래에서 이루는 궤도 — 를 역시 ITA 양식으로 그립니다.
- 각 원은 그 점의 대칭 등가 복사본 하나의 투영입니다.
- 원 안의 쉼표는 제2종 연산(거울, 글라이드, 반전, 회전반전)으로 생성된 복사본을 표시합니다 — 원래 점에 놓인 카이랄 시험 대상과 반대의 손지기를 가지며, ITA 자체에서 쓰이는 거울상 손·맨손 쌍과 정확히 같습니다.
- 분할 원(반은 무지, 반은 쉼표)은 고유 연산 복사본과 비고유 연산 복사본이 같은 점에 투영되는 위치를 표시합니다.
- 원 옆의 높이 라벨(
+,−,½+, …)은 그 복사본의 투영축 방향 좌표를 기준점에 대한 상대값으로 나타냅니다 —+는 "\(z\)에",−는 "\(-z\)에",½+는 "\(z+\tfrac12\)에" 있다는 뜻이며, 절대 높이가 아닙니다. - (입방정계 공간군에서만) 체대각선 \(\langle111\rangle\) 3회축으로 연결된 세 원을 가는 보조선이 잇습니다.
- 일반적으로 원 하나(또는 분할 원의 절반 하나)가 등가 위치 하나에 대응하므로, 원의 개수는 와이코프 위치 탭에 표시되는 일반 위치의 다중도와 일치합니다 — 어느 쪽 다이어그램을 읽을 때든 손쉬운 검산이 됩니다. 선택한 투영축 때문에 같은 손지기의 복사본 여러 개가 정확히 겹치게 되면, 이들은 나란히 놓인 별도의 원이 아니라 (서로 다른 높이 라벨로만 구별되는 채) 한 자리에 포개져 그려지므로, 그때는 눈에 보이는 원의 개수가 다중도보다 적어질 수 있습니다.
방향 아래의 numericBox 필드에서는 시험점 \((x,y,z)\)를 그 점군에 대한 공간군의 기본 위치에서 벗어나게 옮길 수 있습니다. 여러 원이 겹칠 뻔한 다이어그램을 정리하는 데 이따금 유용합니다.
함께 보기¶
- 2. 대칭 정보 — 이 부록이 해설하는 GUI 안내서.
- A4.2. 군-부분군 관계 — 여기서 도입한 Seitz 기호/기하학적 종류의 어휘를 다시 사용합니다.
- 부록 A4. 대칭과 공간군