A4.1. Символы пространственных групп и диаграммы симметрии¶

Эта страница объясняет всё, что показано в верхней половине окна Сведения о симметрии (панель идентификации пространственной группы и вкладки Операции/Свойства/Установки), а также две схематические диаграммы внизу окна. Все обозначения следуют International Tables for Crystallography (ITA), Vol. A.

Символы Германа–Могена (HM)¶

Символ Германа–Могена имеет два уровня: символ точечной группы (верхний блок, Точечная группа) описывает только макроскопическую симметрию кристалла, а символ пространственной группы (нижний блок, Пространственная группа) добавляет к ней центрирование решётки и винтовые/скользящие компоненты.

Буква решётки¶

Символ пространственной группы начинается с одной из семи стандартных букв решётки:

Буква	Значение
`P`	Примитивная
`A`, `B`, `C`	Центрированная по одной грани (центрирование грани bc, ac или ab соответственно)
`I`	Объёмноцентрированная
`F`	Гранецентрированная (по всем граням)
`R`	Ромбоэдрическая (собственная решётка тригональной системы; часто описывается в гексагональных осях — тогда ячейка содержит три узла решётки)

Направления симметрии¶

После буквы решётки каждая оставшаяся позиция символа обозначает одно направление симметрии — направление в кристалле, вдоль которого лежит поворотная/винтовая ось и/или перпендикулярно которому расположена зеркальная плоскость или плоскость скользящего отражения. Каким физическим направлениям отвечают эти позиции и в каком порядке — фиксировано кристаллической системой:

Кристаллическая система	1-я позиция	2-я позиция	3-я позиция
Триклинная	(нет — только `1` или `-1`)
Моноклинная	$[010]$ (уникальная ось $b$, соглашение ReciPro)
Ромбическая	$[100]$	$[010]$	$[001]$
Тетрагональная	$[001]$	$[100],[010]$	$[110],[1\bar 10]$
Тригональная / гексагональная	$[001]$	$[100],[010],[\bar 1\bar 1 0]$	$[1\bar 10],[120],[\bar 2\bar 1 0]$
Кубическая	$[100],[010],[001]$	$[111]$ (и остальные 3 объёмные диагонали)	$[1\bar 10],[110]$ (и остальные 4 диагонали граней)

Отдельная позиция заполняется по следующим правилам:

Простое число $n$ ($n=1,2,3,4,6$) : поворотная ось $n$-го порядка вдоль этого направления.
Винтовая ось $n_p$ (например $2_1$, $4_2$, $6_3$) : поворот на $360°/n$, совмещённый с трансляцией на $p/n$ периода решётки вдоль оси. Например $2_1$ («двойная винтовая ось») означает поворот на $180°$ и сдвиг на половину ребра ячейки вдоль оси; $6_3$ — поворот на $60°$ и сдвиг на половину ребра ячейки вдоль $c$.
Отдельная буква ($m,a,b,c,n,d$) без предшествующего числа вращения : зеркальная плоскость или плоскость скользящего отражения, перпендикулярная этому направлению (значение буквы то же, что и на диаграммах ниже).
$n/m$ или $n_p/m$ : поворотная/винтовая ось вместе с перпендикулярным ей зеркалом (оба элемента относятся к одному направлению: один вдоль оси, другой поперёк неё).
$-n$ (например $-1,-3,-4,-6$) : инверсионно-поворотная ось (поворот на $360°/n$ с последующей инверсией через точку на оси). $-1$ сам по себе обозначает чистый центр инверсии; оси «$-2$» не существует, поскольку двукратный инверсионный поворот тождествен зеркальному отражению и потому всегда записывается как $m$.

Краткий и полный символ¶

Краткий символ HM (тот, который обычно цитируют) опускает элементы симметрии, уже подразумеваемые записанными; полный символ выписывает все направления. Например, пространственная группа No. 62 — это $Pnma$ в краткой форме и $P\,2_1/n\,2_1/m\,2_1/a$ в полной: три винтовые оси $2_1$ следуют из трёх плоскостей (скользящих и зеркальной) вместе с точечной группой $mmm$ пространственной группы, поэтому краткий символ их опускает. Поля ReciPro Символ HM (краткий) и Символ HM (полный) показывают оба варианта; для большинства пространственных групп они совпадают.

Символы Шёнфлиса (SF) и Hall¶

Символ Шёнфлиса (например $D_{2h}^{16}$) называет тип точечной группы ($D_{2h}$) и добавляет верхний индекс, который просто нумерует, какая именно пространственная группа этого семейства точечной группы имеется в виду, — в отличие от символа HM, верхний индекс сам по себе не несёт прямого геометрического смысла; его приходится искать по таблице. ReciPro показывает символ Шёнфлиса и для точечной, и для пространственной группы.

Символ Hall — иная нотация, основанная на генераторах и предназначенная для однозначной компьютерной обработки: она перечисляет минимальный набор порождающих операций вместе с явным началом координат, поэтому программа может восстановить точный набор координат, не обращаясь к справочной таблице «какую установку/какой выбор начала координат подразумевает этот символ HM». Символ Hall — не единственный возможный способ закодировать данный набор операций (разные выборы генераторов дают разные, но одинаково корректные строки Hall для одной и той же группы), однако каждый из них сам по себе полностью явен и обратим. ReciPro показывает систематически сгенерированный символ Hall для текущей установки; вкладка Установки (ниже) перечисляет все табулированные варианты начала координат/установки с тем же номером пространственной группы, каждый со своим символом HM и Hall.

Операции симметрии (вкладка «Операции»)¶

Вкладка Операции перечисляет каждую операцию симметрии общей позиции для текущей установки (трансляции центрирования решётки уже развёрнуты) в трёх параллельных нотациях:

Столбец	Пример	Значение
Координаты	`-y, x-y, z+1/3`	Координатный триплет $(x,y,z)\mapsto(x',y',z')$, т. е. аффинное отображение $x'=Rx+t$, выписанное алгебраически (соглашение ITA/CIF).
Seitz	`3+ [111]`	Компактный символ: порядок и направление вращения/винта (`3+`), направление оси (`[111]`) и — при наличии — трансляция операции, например `2₁ [001] 0,0,1/2`. Чистое зеркало — `m`, тождественная операция — `1`, инверсия — `-1`.
Тип	`3-fold rotation (3+) [111]`	Словесная классификация операции: `Identity` (тождественная операция), `Inversion centre at …` (центр инверсии в …), `n-fold rotation` (поворотная ось $n$-го порядка), `nₚ screw axis` (винтовая ось), `Mirror plane m` (зеркальная плоскость), `a/b/c/n/d`-`glide plane` (плоскость скользящего отражения) или `n`-кратный `rotoinversion` (инверсионный поворот) — каждая со своим направлением (а для центра инверсии — с его положением).

Кнопка Копировать (CIF) помещает полный список операций в буфер обмена как CIF-цикл _space_group_symop_operation_xyz. Этот словарь — символ Зейтца и геометрический тип — вновь появляется по всему A4.2, где тем же способом описывается каждый сохранённый/утраченный генератор отношения подгруппы.

Теоретико-групповая классификация (вкладка «Свойства»)¶

Вкладка Свойства сообщает набор стандартных классификаций текущей пространственной группы. Некоторые из них — центросимметричность, группа Зонке и полярность (а из них — приведённые ниже допуски физических свойств) — напрямую следуют из матричной части $R$ каждой операции (её линейной, поворотно-отражательной части), для центросимметричности — вместе с трансляционной частью. Остальные — симморфность, энантиоморфная пара, кристаллическое семейство/решёточная система/тип Браве, арифметический класс и симметрия Паттерсона — являются свойствами типа пространственной группы в целом (его номера IT, типа решётки и класса Лауэ), а не какой-либо отдельной операции. Ничто из этого не требует метрики (формы элементарной ячейки) — всё зависит только от абстрактного содержания симметрии и классификации типа пространственной группы.

Центросимметричная — набор операций содержит операцию вида $\{-I \mid t\}$ (инверсию через точку $t/2$, которая не обязана совпадать с началом координат). Свойства «группа Зонке» и «полярная» (ниже) взаимно исключают это свойство: центр инверсии обращает каждое направление, поэтому центросимметричная группа никогда не бывает полярной, а определитель $-I$ равен $-1$, поэтому центросимметричная группа никогда не бывает группой Зонке.

Группа Зонке (хиральная) — группа, сохраняющая ориентацию: матричная часть каждой операции имеет $\det R=+1$; группа содержит только собственные вращения и винтовые вращения — и никогда зеркало, скользящее отражение, инверсию или инверсионный поворот. 65 из 230 типов пространственных групп — группы Зонке. Быть группой Зонке — это условие симметрии, при котором структура совместима с объектами определённой хиральности (хиральные молекулы, белки, кварц, …), не содержа одновременно их зеркальных отражений. Это более широкое понятие, чем принадлежность к настоящей паре действительно различных зеркально-эквивалентных типов пространственных групп — см. Энантиоморфная пара ниже.

Энантиоморфная пара — среди 65 типов Зонке 11 пар (22 типа) связаны друг с другом только преобразованием, обращающим ориентацию, и никаким собственным (сохраняющим ориентацию): зеркальное отражение кристалла в одной из этих пространственных групп превращает его в другой член пары и никогда — обратно в самого себя, при любом переобозначении осей. Эти 11 пар построены на винтовых осях противоположной закрутки:

\[P4_1 / P4_3,\ \ P4_122 / P4_322,\ \ P4_12_12 / P4_32_12,\ \ P3_1/P3_2,\ \ P3_112/P3_212,\ \ P3_121/P3_221,$$ $$P6_1/P6_5,\ \ P6_2/P6_4,\ \ P6_122/P6_522,\ \ P6_222/P6_422,\ \ P4_332/P4_132.\]

Остальные $65-22=43$ типа Зонке совпадают со своим зеркальным отражением (ахиральны как типы пространственных групп, хотя каждая отдельная структура в них по-прежнему хиральна).

Симморфная — один из 73 типов пространственных групп, для которых можно выбрать начало координат так, что каждый представитель смежного класса (по модулю трансляций решётки) имеет нулевую собственную (винтовую/скользящую) трансляционную компоненту, — эквивалентно, некоторая точка ячейки имеет группу симметрии позиции, изоморфную всей точечной группе. (Трансляции центрирования, разумеется, остаются; «симморфность» — утверждение о непримитивных трансляционных частях операций точечной группы, а не о решётке.) Симморфную пространственную группу всегда можно породить из одних лишь её точечной группы и решётки, без винтовых осей и плоскостей скользящего отражения, если описывать её именно при этом начале координат — а это ровно то начало, которое сама ITA табулирует для симморфного типа, поэтому его стандартный краткий/полный символ уже свободен от винтовых и скользящих букв. (Если описать операции той же группы при сдвинутом или смещённом на трансляцию центрирования начале координат, отдельная операция может выглядеть несущей винтовую/скользящую трансляцию, но симморфная классификация типа от этого не меняется — классификация спрашивает лишь, существует ли вообще начало без таких трансляций, и для этих 73 типов оно существует.)

Полярная — существует ли направление, которое матричная часть каждой операции оставляет неизменным, $Rv=v$ (не $\pm v$: истинно полярное направление должно сохраняться точно, а не просто обращаться или оставаться осью второго порядка). Возможные случаи: нет (такого направления нет) / одна ось $[uvw]$ / целая плоскость (любое направление в ней) / любое направление вообще (только для точечной группы $1$). Полярная ось — направление, вдоль которого симметрия разрешает спонтанную электрическую поляризацию (см. таблицу физических свойств ниже).

Кристаллическое семейство, решёточная система, тип Браве — стандартная классификационная иерархия IUCr над кристаллической системой: всего 6 кристаллических семейств, 7 кристаллических систем, 7 решёточных систем и 14 типов решёток Браве. Тонкость — гексагональное кристаллическое семейство: на кристаллические системы оно распадается на тригональную и гексагональную, но на решёточные системы — иначе, на гексагональную и ромбоэдрическую: тригональная пространственная группа попадает в гексагональную решёточную систему, если её решётка типа $P$, или в ромбоэдрическую, если она $R$-центрирована, — независимо от того, к какой из двух кристаллических систем она принадлежит.

Арифметический класс — сочетание (возможно, различающего направления) символа точечной группы с буквой решётки Браве, например 4mmP; всего существует 73 арифметических класса. Поскольку некоторые символы точечных групп (3m1 и 31m — два неэквивалентных способа расположить точечную группу $3m$ относительно гексагональной решётки) уже сами кодируют свою ориентацию относительно решётки, указания ориентированного символа точечной группы вместе с буквой решётки достаточно, чтобы назвать класс однозначно.

Симметрия Паттерсона — тип решётки вместе с классом Лауэ (центросимметричной точечной группой, получаемой добавлением $-1$ к собственной точечной группе пространственной группы) при полностью отброшенной винтовой/скользящей информации: например Pmmm для любой из 30 ромбических пространственных групп с решёткой $P$, независимо от того, какие из них содержат плоскости скользящего отражения. Это симметрия функции Паттерсона, вычисляемой из дифракционных интенсивностей $|F|^2$ в кинематическом приближении, поскольку $|F|^2$ нечувствительна к фазовому сдвигу, вносимому скользящей/винтовой трансляцией (хотя вызываемые ею систематические погасания и пики Харкера на карте Паттерсона всё же могут косвенно выдать её присутствие). Для динамической дифракции электронов эта кинематическая картина выполняется не точно; см. Приложение A3.

Допуски физических свойств¶

Последние строки вкладки «Свойства» сообщают, разрешено ли симметрией данное макроскопическое физическое свойство для текущей точечной группы — это необходимое условие, а не гарантия того, что эффект велик или вообще присутствует в реальном кристалле (соглашение книги Ная «Physical Properties of Crystals»):

Свойство	Условие симметрии	Точечные группы
Пироэлектрик / сегнетоэлектрик	Полярная (разрешён полярный вектор 1-го ранга — спонтанная поляризация)	10 полярных точечных групп
Пьезоэлектрик	Нецентросимметричная и точечная группа $\ne 432$	20 из 21 нецентросимметричной точечной группы
Генерация второй гармоники (объёмный электродипольный $\chi^{(2)}$)	То же условие, что и для пьезоэлектричества (полярный тензор 3-го ранга)	те же 20 точечных групп
Оптическая активность (естественная гиротропия)	11 точечных групп, содержащих только собственные вращения, плюс ещё 4 гиротропные, не являющиеся чисто группами Зонке	$1,2,3,4,6,222,32,422,622,23,432$ и $m,mm2,\bar4,\bar42m$ — всего 15 точечных групп

$432$ — единственная нецентросимметричная точечная группа без пьезоэлектрического/SHG-отклика: её вращательная симметрия слишком велика (все собственные вращения, кубическая), чтобы уцелела хоть одна компонента полярного тензора 3-го ранга, хотя центра инверсии в ней нет.

Разрешено симметрией — не обязательно наблюдается

Эти строки констатируют лишь то, что точечная группа допускает. Действительно ли реальный кристалл переключает свою поляризацию (истинная сегнетоэлектричность) и показывает ли практически полезный пьезоэлектрический или SHG-отклик — зависит от химии и деталей структуры, а не только от симметрии.

Вкладка «Установки»¶

Перечисляет все табулированные варианты выбора начала координат и осей с тем же номером IT, что у текущей пространственной группы (например, два выбора начала координат $Fd\bar 3m$ или разные выборы ячейки моноклинной группы), каждый со своим символом HM и Hall; строка текущей отображаемой установки отмечена. Эта вкладка предназначена только для просмотра альтернатив — выбор строки не изменяет кристалл.

Диаграмма элементов симметрии¶

Левая диаграмма воспроизводит схематическую диаграмму симметрии ITA Vol. A для текущей установки в проекции вдоль оси, выбранной элементом Направление (a/b/c).

Оси, перпендикулярные плоскости страницы, изображаются закрашенными точечными символами, форма которых кодирует порядок вращения; у винтовых осей добавляются маленькие хвостики («крылышки»), число и расположение которых кодируют и шаг винта $p$, и его закрутку: например $3_1$ и $3_2$ — винты одного порядка, но противоположной закрутки — рисуются зеркально-симметричными узорами хвостиков, а не просто разным их числом:

Символ	Элемент
Закрашенная линза (заострённый овал)	Поворотная ось 2-го порядка
Закрашенная линза с крылышком	Винтовая ось $2_1$
Закрашенный треугольник	Поворотная ось 3-го порядка
Закрашенный треугольник с хвостиками	Винтовая ось $3_1$ / $3_2$
Закрашенный квадрат	Поворотная ось 4-го порядка
Закрашенный квадрат с хвостиками	Винтовая ось $4_1$ / $4_2$ / $4_3$
Закрашенный шестиугольник	Поворотная ось 6-го порядка
Закрашенный шестиугольник с хвостиками	Винтовая ось $6_1 \ldots 6_5$
Маленькая незакрашенная окружность	Центр инверсии ($-1$)
Комбинированный незакрашенно-закрашенный символ	Инверсионно-поворотная ось ($-3,-4,-6$)

Оси, идущие наклонно или лежащие в плоскости страницы (это случается только для особых направлений, таких как объёмные диагонали $\langle 111\rangle$ или диагонали граней $\langle 110\rangle$ кубической системы), изображаются стрелкой с точечным символом у её основания — по тому же соглашению ITA.

Плоскости изображаются линиями, стиль которых называет тип скольжения: буква указывает, вдоль какого направления решётки идёт вектор скольжения (или что он диагональный/четвертьячеечный), а лежит ли эта трансляция в плоскости страницы или выходит из неё — зависит от выбранной оси проекции:

Стиль линии	Плоскость
Сплошная линия	Зеркальная плоскость $m$
Длинные штрихи	Осевое скольжение $a$ или $b$
Точечная линия	Осевое скольжение $c$ (в типичном случае, когда его трансляция выходит из плоскости страницы)
Штрихпунктирная линия	Диагональное скольжение $n$
Штрихпунктирная линия со стрелкой	Алмазное скольжение $d$ (трансляция на четверть ячейки; встречается только в центрированных ячейках)
Двойная линия	«Двойное скольжение» $e$ — два независимых вектора скольжения совпадают на одной плоскости (встречается только в центрированных ячейках, где через одну и ту же плоскость проходят скольжение и его партнёр, смещённый на трансляцию центрирования)

Дробная метка высоты (например 1/4) рядом с символом даёт его координату вдоль оси проекции, когда элемент не лежит в плоскости на высоте 0.

Кубические группы с решёткой F: рисуется только один октант

Для $F$-центрированных кубических пространственных групп ReciPro рисует только левый верхний квадрант одной восьмой ячейки (иначе диаграмма была бы слишком плотной для чтения); полная ячейка воспроизводится трансляциями центрирования и самими нарисованными элементами симметрии. Те же элементы симметрии можно наложить непосредственно на 3D-модель в окне Просмотр структуры.

Диаграмма общих положений¶

Правая диаграмма изображает общие эквивалентные положения — орбиту одной общей точки $(x,y,z)$ под действием всех операций пространственной группы — снова в стиле ITA:

Каждый кружок — проекция одной симметрично-эквивалентной копии точки.
Запятая внутри кружка отмечает копию, порождённую операцией второго рода (зеркалом, скользящим отражением, инверсией или инверсионным поворотом), — она имеет противоположную хиральность по сравнению с хиральным пробным объектом, помещённым в исходную точку, в точности как пары «простая и зеркальная рука», используемые в самой ITA.
Разделённый кружок (половина пустая, половина с запятой) отмечает позицию, куда проецируются одновременно копия от собственной операции и копия от несобственной.
Метка высоты рядом с кружком (+, −, ½+, …) даёт координату этой копии вдоль оси проекции относительно опорной точки: + означает «на высоте $z$», − — «на $-z$», ½+ — «на $z+\tfrac12$» и т. д.; это не абсолютная высота.
(Только кубические пространственные группы) тонкие вспомогательные линии соединяют три кружка, связанных осью 3-го порядка вдоль объёмной диагонали $\langle111\rangle$.
В общем случае один кружок (или одна половина разделённого кружка) соответствует одному эквивалентному положению, поэтому число кружков совпадает с кратностью общей позиции, показанной на вкладке Позиции Уайкоффа, — быстрая проверка при чтении любой из диаграмм. Если при выбранной оси проекции несколько копий одинаковой хиральности совпадают точно, они накладываются в одной точке (различаясь только отдельными метками высоты), а не рисуются рядом отдельными кружками, поэтому видимое число кружков может оказаться меньше кратности.

Поля numericBox под элементом Направление позволяют сместить пробную точку $(x,y,z)$ с положения по умолчанию для данной точечной группы — это иногда полезно, чтобы «разредить» диаграмму, на которой несколько кружков иначе совпали бы.

См. также¶

2. Сведения о симметрии — руководство по GUI, теорию которого раскрывает это приложение.
A4.2. Отношения группа–подгруппа — повторно использует введённый здесь словарь символов Зейтца и геометрических типов.
Приложение A4. Симметрия и пространственные группы

Кристаллическая система	1-я позиция	2-я позиция	3-я позиция
Триклинная	(нет — только `1` или `-1`)
Моноклинная	\([010]\) (уникальная ось \(b\), соглашение ReciPro)
Ромбическая	\([100]\)	\([010]\)	\([001]\)
Тетрагональная	\([001]\)	\([100],[010]\)	\([110],[1\bar 10]\)
Тригональная / гексагональная	\([001]\)	\([100],[010],[\bar 1\bar 1 0]\)	\([1\bar 10],[120],[\bar 2\bar 1 0]\)
Кубическая	\([100],[010],[001]\)	\([111]\) (и остальные 3 объёмные диагонали)	\([1\bar 10],[110]\) (и остальные 4 диагонали граней)

Столбец	Пример	Значение
Координаты	`-y, x-y, z+1/3`	Координатный триплет \((x,y,z)\mapsto(x',y',z')\), т. е. аффинное отображение \(x'=Rx+t\), выписанное алгебраически (соглашение ITA/CIF).
Seitz	`3+ [111]`	Компактный символ: порядок и направление вращения/винта (`3+`), направление оси (`[111]`) и — при наличии — трансляция операции, например `2₁ [001] 0,0,1/2`. Чистое зеркало — `m`, тождественная операция — `1`, инверсия — `-1`.
Тип	`3-fold rotation (3+) [111]`	Словесная классификация операции: `Identity` (тождественная операция), `Inversion centre at …` (центр инверсии в …), `n-fold rotation` (поворотная ось \(n\)-го порядка), `nₚ screw axis` (винтовая ось), `Mirror plane m` (зеркальная плоскость), `a/b/c/n/d`-`glide plane` (плоскость скользящего отражения) или `n`-кратный `rotoinversion` (инверсионный поворот) — каждая со своим направлением (а для центра инверсии — с его положением).

Стиль линии	Плоскость
Сплошная линия	Зеркальная плоскость \(m\)
Длинные штрихи	Осевое скольжение \(a\) или \(b\)
Точечная линия	Осевое скольжение \(c\) (в типичном случае, когда его трансляция выходит из плоскости страницы)
Штрихпунктирная линия	Диагональное скольжение \(n\)
Штрихпунктирная линия со стрелкой	Алмазное скольжение \(d\) (трансляция на четверть ячейки; встречается только в центрированных ячейках)
Двойная линия	«Двойное скольжение» \(e\) — два независимых вектора скольжения совпадают на одной плоскости (встречается только в центрированных ячейках, где через одну и ту же плоскость проходят скольжение и его партнёр, смещённый на трансляцию центрирования)