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감쇠 및 수송

산란 인자는 단일 산란 사건을 기술하지만, 이 페이지는 빔이 고체를 통과하면서 전체로서 어떤 일이 일어나는지를 다룹니다 — 얼마나 빠르게 제거되는지, 얼마나 깊이 침투하는지, 그리고 (전자의 경우) 어떻게 감속되는지입니다. 관련 물리는 세 가지 빔에 대해 완전히 다르며, 그래서 감쇠 & 수송 탭은 복사선에 따라 그래프와 표를 그토록 크게 바꿉니다.

감쇠 & 수송 — X-ray

감쇠 & 수송 — electron

감쇠 & 수송 — neutron

X선 — 흡수와 굴절

Beer–Lambert 감쇠

단색 X선 빔은 경로 길이에 따라 지수적으로 제거됩니다:

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : 질량 감쇠 계수 (cm²/g) — 표로 정리된, 밀도에 무관한 양.
  • \(\mu\) : 재료의 실제 밀도 \(\rho\) 에서의 선형 감쇠 계수 (cm⁻¹).
  • \(1/\mu\) : 감쇠 길이 (세기가 \(1/e\) 로 떨어짐).
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : 반가층.
  • \(T = e^{-\mu t}\) : 두께 \(t\) 인 시료의 투과율.

\(\mu/\rho\) 를 구성하는 것

총 질량 감쇠는 세 가지 과정의 합으로, 탭에서 각각 따로 표시됩니다:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

화합물의 경우 질량 감쇠는 원소 값들의 질량 가중 합이며, 선형 계수는 원자 단면적을 직접 더합니다:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

여기서 \(w_i\) 는 질량 분율, \(n_i\) 는 수밀도입니다. 세 성분은 다음과 같습니다:

  • 광흡수 \(\tau\) — 광자가 흡수되어 속박 전자를 방출합니다. 낮은 에너지에서 지배적이며, 흡수단 사이에서 대략 \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) 로 감소합니다. 이는 내각 전자를 방출하는 항이며, 그 완화가 형광을 만들어냅니다.
  • Rayleigh (가간섭) 산란 — 속박 전자에 의한 탄성 산란으로, 가간섭 형상 인자 \(F(q)\) 와 관련됩니다.
  • Compton (비가간섭) 산란 — 약하게 속박된 전자에 의한 비탄성 산란으로, 비가간섭 함수 \(S(q)\) 와 관련됩니다. 높은 에너지에서 상대적 중요도가 커집니다. 산란된 광자는 파장이 다음만큼 이동합니다
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

따라서 Compton 사건은 광자를 단색 빔에서 제거합니다 (비탄성 손실).

흡수단은 광자 에너지가 어떤 전자각 (\(K\), \(L_3\), …)의 결합 에너지를 넘어 새로운 이온화 채널을 열 때 나타나는 \(\tau\) 의 급격한 상승입니다. 점프비는 흡수단을 가로질러 \(\mu/\rho\) 가 증가하는 배수이며, ReciPro 는 \(K\) 및 \(L_3\) 흡수단 에너지와 점프를 나열합니다. 질량 에너지 흡수 계수 \(\mu_\text{en}/\rho\) 는 \(\mu/\rho\) 중에서 에너지를 국소적으로 침착시키는 부분입니다 (산란 및 형광 광자가 운반해 가는 에너지는 제외).

굴절, 임계각, 그리고 SLD

고체의 X선 굴절률은 1보다 약간 작으며, 다음과 같이 표현됩니다

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

여기서 \(n_i\) 는 원소 \(i\) 의 수밀도, \(r_e\) 는 고전 전자 반경입니다. 여기서 \(\mu_\text{abs}\) 는 감쇠의 흡수성 부분 (\(f''\) 에 연결됨)이며, 위의 총 \(\mu\) 와 같을 필요는 없습니다. 후자는 Rayleigh 및 Compton 산란도 포함하기 때문입니다. \(n<1\) 이므로 X선은 작은 빗각의 임계각 아래에서 전외부반사를 겪습니다

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

이는 굴절 기하학에서 따라옵니다: 빗각 \(\alpha\) 에 대해 고체 내부의 수직 파수 벡터는 \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\) 이며, \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\) 에서 0에 도달합니다. 그 아래에서는 파동이 재료 안으로 전파할 수 없어 완전히 반사됩니다. 산란 길이 밀도의 실수부 \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\) 는 \(\delta\) 를 결정하며, 반사율 측정에서 사용되는 중성자 SLD의 X선 대응물입니다. ReciPro 는 스칼라 표에 \(\delta\), \(\beta\), \(\theta_c\), 그리고 X선 SLD를 보고합니다.

전자 — 산란, 감속, 그리고 비정거리

고체 내의 빠른 전자는 산란(방향 변경)하는 동시에 연속적으로 에너지를 잃으므로, 그 수송에는 하나 이상의 길이 척도가 필요합니다.

탄성 산란과 평균 자유 행로

탄성 단면적 \(\sigma_\text{el}\) 은 단일 원자가 전자를 얼마나 쉽게 편향시키는지를 측정합니다. ReciPro 는 NIST Mott 단면적 (차폐된 원자 퍼텐셜에서 상대론적 Dirac 방정식의 부분파 해)을 사용하며, 대략 50 eV – 36.4 keV 범위에서 유효합니다. 이 범위 밖이거나 표에 없는 원소의 경우 차폐 Rutherford 근사로 되돌아갑니다. 둘은 경계에서 완벽히 매끄럽게 이어질 필요는 없습니다. 총 단면적은 미분 단면적의 각도 적분입니다,

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

여기서 차폐 매개변수 \(\eta\) 는 순수 Rutherford 단면적의 전방 발산을 둥글게 깎아냅니다. Mott 처리는 차폐 Rutherford가 생략하는 스핀 및 상대론적 효과를 추가로 포함합니다. 단면적으로부터,

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

거시적 산란 계수와 탄성 평균 자유 행로 — 탄성 사건 사이의 평균 거리 — 가 주어집니다.

저지능과 비탄성 손실

에너지는 주로 전자적 들뜸(이온화, 플라스몬)으로 손실됩니다. 저지능은 양의 양으로 정의됩니다,

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

여기서 \(s\) 는 궤적을 따른 경로 길이 (탭의 |dE/ds| 곡선의 변수)이며, 이 부록의 다른 곳에서 사용되는 산란 변수 \(\sin\theta/\lambda\) 가 아닙니다. 에너지 기울기 \(dE/ds\) 는 음수이므로 탭은 \(S\) 를 위쪽으로 그립니다. keV 에너지에서는 개념적으로 Bethe 형태를 따릅니다

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

여기서 \(J\) 는 고체의 평균 들뜸 에너지입니다. 이 비상대론적 스케치는 스케일링만을 보여줍니다. ReciPro 는 낮은 에너지에서도 양호하게 유지되는 보정/경험적 형태(Joy–Luo 유형)를 평가합니다. 스칼라 표의 플라스몬 에너지 \(E_p\) 는 동일한 전자적 들뜸에 대한 관련되지만 별개인 특성화입니다. 비탄성 평균 자유 행로 (IMFP)는 에너지를 잃는 충돌 사이의 대응되는 평균 거리이며, ReciPro 는 이를 TPP-2M 예측 공식으로부터 평가할 수 있습니다,

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

여기서 \(E\) 는 eV, \(\lambda_\text{in}\) 는 Å 단위이며, 매개변수 \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\) 는 \(E_p\), 밀도, 띠 간격, 그리고 원자가 전자 수로부터 구성됩니다.

두 종류의 비정거리

  • CSDA 비정거리 — 연속 감속 근사(continuous-slowing-down approximation)는 저지능을 적분하여 전자가 멈추기 전까지 이동한 총 경로 길이를 줍니다:
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

(실제로는 적분이 저에너지 차단값 \(E_\text{cut}\) 까지 내려가며, 그 아래에서는 위의 Bethe 스케치가 더 이상 성립하지 않습니다.)

  • Kanaya–Okayama 비정거리 — 굴곡지고 산란된 궤적을 고려하여 침투 깊이(경로 길이가 아님)를 추정하는 널리 사용되는 경험식:
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

둘은 서로 다른 질문에 답합니다 — 날아간 총 거리 대 전자가 고체 안으로 얼마나 깊이 도달하는지 — 따라서 값이 다르며, ReciPro 는 둘 다 보고합니다. 이 비정거리들은 전자 궤적 및 EBSD 시뮬레이션 뒤의 상호작용 부피를 설정합니다.

중성자 — 거시적 단면적과 1/v 법칙

중성자의 경우 에너지 의존적 감쇠 곡선이 없으며, 상호작용은 핵 단면적에 의해 고정됩니다. 빔은 거시적 총 단면적을 통해 감쇠되며, 이 자체는 가간섭, 비가간섭, 흡수 부분의 합입니다:

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

감쇠 길이는 \(1/\Sigma_\text{total}\) 입니다. 흡수 부분은 중성자 속도 \(v\) (따라서 파장)에 의존합니다: 대부분의 핵종에서 핵 근처에 머무는 시간은 \(1/v\) 로 스케일하여 1/v 법칙을 줍니다

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

몇몇 강한 흡수체(Cd, Sm, Eu, Gd)는 단순한 1/v 스케일링을 위반하는 저에너지 공명을 가지며, ReciPro 는 이 핵종들을 표시합니다. 가간섭 산란 길이 밀도 \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\) 는 위의 X선 SLD의 중성자 대응물입니다.

한눈에 보는 침투

세 가지 빔은 매우 다른 깊이를 탐침합니다 — 이것이 서로 다른 질문에 답하는 실질적 이유입니다:

빔 전형적 시료 침투 (자릿수) 결정 요인
X선 (≈8 keV) 분말 / 단결정 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
전자 (≈200 keV) TEM 박막 10–100 nm (유용) 탄성 MFP + 비탄성 손실
중성자 (열) 벌크, cm 크기 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

동일한 길이 척도가 전자가 왜 극박 시료와 동역학적 이론을 요구하는지, 반면 중성자는 단일 산란 운동학 하에서 벌크 시료 전체를 보는지를 설명합니다.

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