부록 A3. 블로흐파 방법에 의한 동역학적 회절¶

이 부록은 ReciPro의 회절 시뮬레이터, CBED, HRTEM/STEM 시뮬레이터가 사용하는 동역학적 전자 회절 이론의 개요를 제공합니다. ReciPro는 Bethe / 블로흐파 정식화를 따릅니다. 단계별 계산(광학 퍼텐셜, 투과 계수, 강도)은 동역학적 계산 (공통 코어)에 설명되어 있습니다.

결정 내의 파동 방정식¶

결정의 주기적 정전기 퍼텐셜을 통과하는 고속 전자는 (고에너지, 정상 상태) 슈뢰딩거 방정식을 따르며, 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]

\(k_{vac}\) : 진공 중 전자의 파수.
\(U_{\mathbf g}\) : 역격자 벡터 \(\mathbf g\)에 대한 결정 퍼텐셜의 푸리에 성분. 퍼텐셜은 격자 주기성을 가지므로, 역격자에 걸친 푸리에 급수로 표현됩니다.

블로흐 정리¶

퍼텐셜이 결정 격자의 주기성을 가지므로, 해는 블로흐파입니다.

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]

\(u(\mathbf r)\) : 결정 격자와 동일한 주기성을 가지는 함수이므로, 그 자체를 역격자에 걸쳐 전개할 수 있습니다. \(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\).
\(\mathbf{k}^{(j)}\) : \(j\)번째 블로흐 파동벡터.
\(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : \(j\)번째 블로흐파에서 빔 \(\mathbf g\)의 진폭(고유벡터 성분).

Bethe의 동역학적 방정식¶

블로흐파 전개를 파동 방정식에 대입하면 Bethe의 동역학적 방정식이 얻어집니다 — 각 빔 \(\mathbf g\)에 대한 하나의 연립 방정식입니다.

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]

\(U^C_{\mathbf g}\) : 탄성 산란에 대한 결정 퍼텐셜.
\(U'_{\mathbf g}\) : 열 확산 산란(TDS)을 고려하는 허수(흡수) 퍼텐셜. 이것과 디바이-월러 인자가 어떻게 들어가는지는 계산 핵심에 상세히 설명되어 있습니다.

기하학적 정의 (에발트 구)¶

위에 나타나는 벡터와 스칼라는 에발트 구 위에서 정의됩니다.

\(\hat{\mathbf n}\) : 결정 표면에 수직인 단위 벡터.
\(\mathbf k\) : 입사 파동벡터(그 끝점은 에발트 구 위에 있음); \(\mathbf k_{vac}\)는 진공 파동벡터.
\(\mathbf g\) : 역격자 벡터; \(\mathbf k + \mathbf g\)는 역격자점을 가리킴.
\(\mathbf k^{(j)}\) : \(j\)번째 블로흐 파동벡터. 모든 블로흐 파동벡터는 동일한 접선 성분을 가지며(표면을 가로지르는 연속성), \(\hat{\mathbf n}\) 방향으로만 차이가 납니다. \(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\).
\(\gamma^{(j)}\) : \(j\)번째 고유값(\(\mathbf k^{(j)}\)의 \(\hat{\mathbf n}\) 방향 성분으로, \(\mathbf k\)로부터 측정됨).

기하학으로부터,

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

그리고 여기 오차 \(S_g\)(역격자점이 에발트 구로부터 벗어난 편차)와 반사를 순위화하는 데 사용되는 평가 함수 \(R\)은 다음과 같습니다.

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

고유값 문제로의 환원¶

\(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\)로 쓰고 \(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\)와 선형화 \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\)를 함께 사용하면, Bethe의 방정식은 (\(P_g\)로 나눈 후) 표준 행렬 고유값 문제가 됩니다.

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]

\(\mathbf{C}\)의 열은 고유벡터 \(C^{(j)}_*\)(블로흐파 진폭)입니다.
\(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\)는 고유값 \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\)를 담습니다.

명시적으로 풀어 쓰면 — 빔을 투과빔 \(0\), 그다음 \(g\), \(h\), \(\dots\) 순서로 배열하여 — 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

\(\mathbf{A}\)를 대각화하면 모든 블로흐 파동벡터와 진폭을 한 번에 얻습니다. 회절빔의 진폭 — 따라서 강도 — 은 입사면과 출사면에서의 경계 조건 및 시료 두께로부터 따라옵니다. 그 단계들, 광학(복소) 퍼텐셜, 디바이-월러 인자, 투과 계수 \(T_{\mathbf g}\)는 동역학적 계산 (공통 코어)에 설명되어 있습니다.

참고: 회절 시뮬레이터의 Details 표에 표시되는 \(V_{\mathbf g}\) 값은 상대론적 보정 인자가 적용되기 전의 원시 값입니다.