원자 산란 인자¶
원자 산란 인자(또는 형상 인자)는 단일 원자가 산란 변수 \(s=\sin\theta/\lambda\)의 함수로서 입사빔을 얼마나 강하게 산란시키는지를 나타냅니다. 세 종류의 복사선은 원자의 완전히 다른 부분과 상호작용하므로, 그 산란 인자는 크기, 단위, 각도 의존성이 서로 다릅니다. 이것이 산란 인자 탭이 X선, 전자, 중성자 빔에 대해 그토록 다르게 보이는 가장 중요한 이유입니다.
X선 — 전자 구름에 의한 산란¶
X선은 원자의 전자에 의해 산란됩니다. 단일 자유 전자는 고전 전자 반지름 \(r_e = e^2/(4\pi\varepsilon_0 m_e c^2) \approx 2.82\times10^{-5}\ \text{Å}\)로 정해지는 고전 Thomson 미분 산란 단면적으로 산란합니다:
원자의 전자는 수밀도 \(\rho_e(\mathbf r)\)로 공간에 분포하며, 원자 산란 인자는 그 밀도의 푸리에 변환입니다. 그러면 원자 산란 단면적은 단일 전자 산란 단면적에 \(|f_0|^2\)를 곱한 것이 됩니다:
- 전방 방향(\(s\to 0\))에서는 모든 전자가 같은 위상으로 산란하므로 \(f_0(0) = Z\), 즉 원자 번호가 됩니다. 이 인자는 전자 단위(Thomson 진폭의 배수 — 위의 두 번째 식이 이를 명시적으로 보여줍니다)로 표현됩니다.
- \(s\)가 증가하면 전자 구름의 서로 다른 부분에서의 산란이 위상이 어긋나 \(f_0(s)\)가 감소합니다. 확산된(바깥쪽, 원자가) 전자 분포는 \(f_0\)를 빠르게 떨어뜨리고, 강하게 결합된 내각 전자는 높은 \(s\)까지 기여를 유지합니다.
실제로 \(f_0(s)\)는 가우스 함수의 합으로 테이블화됩니다(ReciPro가 사용하는 분석적 Waasmaier–Kirfel 형식으로, 더 오래된 Cromer–Mann 테이블의 확장입니다),
이것이 ReciPro가 곡선을 위해 계산하는 것입니다. 계수는 \(s\)를 Å⁻¹ 단위로 하여 테이블화되어 있으므로 각 \(b_i\)는 Ų 단위를 가집니다. ReciPro는 내부적으로 \(s^2\)을 nm⁻² 단위로 다루며 인덱스에 언급된 100배 변환을 적용합니다.
이상(공명) 분산¶
푸리에 변환 그림은 전자가 마치 자유 전자처럼 산란한다고 가정합니다. 광자 에너지가 흡수단에 가까워지면 결합된 전자가 공명하여 반응하고, 에너지 의존적인 두 개의 보정항이 나타납니다:
- \(f'(E)\) : 실수 분산 보정(흡수단 근처에서 유효 전자 수를 줄임).
- \(f''(E)\) : 허수부, 흡수단 바로 위에서 가장 큼.
- 둘은 Kramers–Kronig 관계로 연결되어 있으므로, 흡수(\(f''\))의 피크는 \(f'\)의 분산적 변동을 동반합니다.
이들은 자유 매개변수가 아닙니다. 인과율(Kramers–Kronig)이 \(f'\)을 \(f''\)에 결합시키고, 광학 정리가 \(f''\)을 광흡수 단면적에 직접 결합시킵니다:
여기서 \(\sigma_\text{abs}\)는 본질적으로 감쇠의 광흡수 부분(Rayleigh/Compton 항이 아님)으로, 감쇠 & 수송 페이지에서 볼 수 있는 것과 동일한 흡수단 구조입니다.
ReciPro는 번들된 xraylib 라이브러리로 현재 에너지에서 \(f'\)과 \(f''\)을 계산하여 테이블에 (\(f'' > 0\)으로) 나열합니다. 두 가지 부호 사항이 중요합니다. 첫째, xraylib는 \(F_{ii}\)를 결정학적 관례와 반대 부호로 반환하므로, ReciPro는 양의 \(f''\)을 보고하기 위해 이를 음수화합니다. 둘째, ReciPro의 \(\exp(-2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\) 위상 관례 하에서 실제로 구조 인자에 들어가는 복소 인자는 \(f_0 + f' - i f''\)입니다 — 위에 적힌 \(+i f''\)은 반대(\(e^{+2\pi i}\)) 관례에 속합니다. 이것이 흡수단 근처에서 F_inv(구조 인자의 허수부)가 0이 아니게 되는 이유입니다 — 구조 인자를 참조하십시오.
전자 — 정전 퍼텐셜에 의한 산란¶
빠른 전자는 전하를 띠고 있으므로, 양의 핵과 음의 전자 구름의 조합인 원자의 정전 퍼텐셜 \(V(\mathbf r)\)에 의해 산란됩니다. 따라서 전자 산란 인자 \(f_e\)는 퍼텐셜의 푸리에 변환이며, 푸아송 방정식을 통해 X선 인자와 연결됩니다. 그 결과가 Mott–Bethe 관계입니다:
전인자 \(C_\text{MB}\)는 기본 상수로 구성되며, 단위계 및 \(s\)를 쓰는지 \(Q\)를 쓰는지에 따라 달라집니다. ReciPro는 이 관계를 직접 계산하지 않고 — 아래의 적합된 Peng / Kirkland / 8-가우스 형식을 사용합니다 — 따라서 이는 계산용이라기보다 물리적 이해를 위해 여기에 제시됩니다. 상수와 함께 풀어 쓰면(\(s\)와 \(f_e\)가 Å 단위일 때),
ReciPro가 \(f_e\)를 nm 단위로 보고할 때는 추가로 \(\times 0.1\)이 곱해지고, 동역학적 퍼텐셜에서는 추가로 상대론적 \(\gamma\) 인자(아래)가 곱해집니다.
물리는 분자 \(Z - f_0\)에 있습니다: 전자는 핵전하 \(Z\)와 차폐하는 전자 구름 \(f_0\) 사이의 차이, 즉 순 원자 퍼텐셜을 봅니다.
- 크기. \(1/s^2\) 인자 때문에 \(f_e\)는 작은 각도 쪽으로 날카롭게 피크를 이루며, (자체 단위로) \(f_0\)보다 훨씬 크고 더 전방 지향적입니다. 이것이 전자 회절이 저차 반사에 의해 지배되는 이유이며, 동역학적(다중) 산란이 중요한 이유입니다 — 부록 A3를 참조하십시오.
- 소각 극한. 중성 원자의 경우 \(Z-f_0\to 0\)과 \(s^2\to 0\)이 모두 성립하므로 \(f_e(0)\)은 유한합니다(평균 제곱 원자 반지름으로 정해지는 \(0/0\) 극한). 이온의 경우 전자 구름이 더 이상 \(Z\)를 상쇄하지 않으며, 장거리 Coulomb 꼬리가 \(s\to 0\)에서 \(f_e\)를 발산시킵니다. 테이블화된 이온 전자 인자는 가장 작은 각도에서 주의하여 다루어야 합니다.
- 상대론적 보정. TEM 에너지에서는 전자 질량과 파장이 상대론적입니다. 파장은 상대론적 형식 \(\lambda = h/\sqrt{2 m_0 e U\,(1 + e U/2 m_0 c^2)}\)을 사용하며, 상호작용 퍼텐셜은 상대론적 인자 \(\gamma = 1 + eU/m_0c^2\)을 가집니다. ReciPro는 동역학적 퍼텐셜을 형성할 때 이 보정을 적용합니다.
ReciPro는 \(f_e(s)\)의 세 가지 매개변수화를 제공합니다:
- Peng : 5-가우스 적합 \(f_e(s)=\sum_i a_i e^{-b_i s^2}\)로, 탄성 전자 산란에 편리하고 널리 사용됩니다.
- Kirkland : 혼합 로런츠 + 가우스 적합 \(f_e(q)=\sum_i \dfrac{a_i}{q^2+b_i} + \sum_i c_i\,e^{-d_i q^2}\). 독립 변수가 \(s\)가 아니라 \(q = 2s = 1/d\)입니다 — 모델을 비교할 때 흔히 발생하는 2배 오차의 원인입니다(\(q\)는 Å⁻¹ 단위, 적합 계수 \(a_i,b_i,c_i,d_i\)는 대응하는 단위).
- 8-Gaussians : 더 넓은 \(s\) 범위에서 유효한 8항 적합.
하나를 선택하기. 세 가지 모두 동일한 기저 \(f_e(s)\)를 적합하며 낮은 \(s\)에서는 밀접하게 일치합니다. 주로 범위와 원자 내각을 표현하는 방식에서 차이가 납니다. Peng(중성 원자와 일반적인 이온, \(s\approx2\text{–}6\) Å⁻¹까지 정확)은 SAED/CBED 구조 인자에 대한 통상적인 기본값입니다. Kirkland는 로런츠 내각 항으로 더 높은 \(s\)까지 확장되어 HRTEM/STEM에 적합합니다(\(q=2s\)임에 유의). 8-Gaussians는 매우 높은 \(s\)에 도달하는 반사를 위한 것입니다. 가벼운 원소의 경우 세 가지는 거의 구별되지 않으며, 차이는 큰 각도에서 무거운 원소에 대해 나타납니다.
중성자 — 핵에 의한 산란¶
열중성자는 전하를 띠지 않으며 주로 강한 핵력을 통해 물질과 상호작용하는데, 그 영향 범위(펨토미터)는 중성자 파장(옹스트롬)에 비해 완전히 무시할 만합니다. 이 상호작용은 Fermi 의사 퍼텐셜, 즉 그 세기가 산란 길이 \(b\)인 점원으로 표현됩니다:
산란체가 점과 같으므로 \(b\)는 \(s\)에 무관합니다 — 형상 인자 감쇠가 없으며, 이것이 산란 인자 탭이 중성자에 대해 곡선을 그리지 않고 대신 산란 길이 테이블을 보여주는 이유입니다.
- \(b\)는 전자 배치가 아니라 핵종의 속성입니다. 원소마다(그리고 동위원소 사이에서) 불규칙하게 변하며, 음수일 수 있고(예: ¹H, Ti, Mn), \(Z\)와 단조로운 관계가 없습니다. 이것이 중성자 대비(무거운 원자 근처의 가벼운 원자, 동위원소 표지)의 기초입니다.
- 간섭성 대 비간섭성. 실제 원소는 서로 다른 \(b\)를 갖는 동위원소와 핵 스핀 상태의 혼합입니다. \(b = \langle b\rangle + \delta b\)로 분리하면 간섭성 부분(평균에서)과 비간섭성 부분(퍼짐에서)이 나옵니다:
간섭성 부분은 Bragg 회절을 일으킵니다(이것이 구조 인자에 들어가는 것입니다). 비간섭성 부분은 평탄한 등방성 배경입니다(¹H에 대해 크며, 중수소화의 이유입니다).
테이블화된 값
ReciPro는 \(b_\text{coh}\)와 산란 단면적을 계산하지 않고 핵종 테이블에서 읽어옵니다. 공명 핵종의 경우 나열된 \(\sigma_\text{coh}\)가 단순한 \(4\pi b^2\)와 같을 필요는 없으므로, 테이블 값이 권위가 있습니다. 자기 중성자 산란(짝짓지 않은 전자 스핀에 의한 것으로, 실제로 \(s\) 의존적 형상 인자를 가짐)은 여기서 모델링되지 않습니다.
한눈에 보기¶
| X-ray | Electron | Neutron | |
|---|---|---|---|
| 산란 주체 | 전자 구름 \(\rho_e(\mathbf r)\) | 정전 퍼텐셜 \(V(\mathbf r)\) | 핵(점) |
| \(s\) 의존성 | 감소(구름의 FT) | \(\propto (Z-f_0)/s^2\), 강하게 전방 | 없음(\(b\) 일정) |
| 전방 값 | \(f_0(0)=Z\) | 유한(중성) / 발산(이온) | \(b\) |
| 에너지 의존성 | 흡수단 근처 \(f',f''\) | 상대론적 \(\lambda,\gamma\) | \(\sigma_\text{abs}\propto 1/v\) (\(b\) 아님) |
| 전형적 크기 차수 | \(\propto Z\) | 전방 피크, \(Z\)에 따라 증가 | 불규칙, \(<0\) 가능 |
참고¶
- 인덱스 — 기하학과 변수 \(s\)
- 구조 인자 — 이 인자들이 단위 격자에 걸쳐 어떻게 결합되는지.
- 3. 빔 상호작용 → 산란 인자 탭