A4.1. 空間群符號與對稱性示意圖¶
本頁說明 對稱性資訊 上半部（空間群識別面板，以及 對稱操作／群性質／設定一覽 索引標籤）所顯示的一切，以及視窗下方的兩個示意圖。所有記號皆遵循 International Tables for Crystallography（ITA）Vol. A。
Hermann–Mauguin (HM) 符號¶
Hermann–Mauguin 符號有兩個層次：點群符號（上方方塊 點群）僅描述晶體的巨觀對稱性，空間群符號（下方方塊 空間群）則再加上點陣心化與任何螺旋／滑移成分。
點陣字母¶
空間群符號以七個標準點陣字母之一開頭：
| 字母 | 意義 |
|---|---|
P |
簡單（primitive） |
A, B, C |
單面心（分別於 bc、ac、ab 面心化） |
I |
體心 |
F |
全面心 |
R |
菱面體（三方晶系特有的點陣；常以六方軸描述，此時晶胞內含三個陣點） |
對稱方向¶
點陣字母之後，符號中其餘的每個位置各代表一個對稱方向 — 即晶體中旋轉／螺旋軸所沿的方向，及／或鏡面／滑移面所垂直的方向。這些位置指的是哪些實際方向、依什麼順序排列，由晶系決定：
| 晶系 | 第 1 位置 | 第 2 位置 | 第 3 位置 |
|---|---|---|---|
| 三斜晶系 | （無 — 僅 1 或 -1） |
||
| 單斜晶系 | \([010]\)（唯一軸 \(b\)，ReciPro 的慣例） | ||
| 斜方晶系 | \([100]\) | \([010]\) | \([001]\) |
| 正方晶系 | \([001]\) | \([100],[010]\) | \([110],[1\bar 10]\) |
| 三方晶系／六方晶系 | \([001]\) | \([100],[010],[\bar 1\bar 1 0]\) | \([1\bar 10],[120],[\bar 2\bar 1 0]\) |
| 立方晶系 | \([100],[010],[001]\) | \([111]\)（以及其餘 3 條體對角線） | \([1\bar 10],[110]\)（以及其餘 4 條面對角線） |
單一位置依下列規則填入：
- 單獨的數字 \(n\)（\(n=1,2,3,4,6\)） : 沿該方向的 \(n\) 重旋轉軸。
- 螺旋軸 \(n_p\)（例如 \(2_1\)、\(4_2\)、\(6_3\)） : \(360°/n\) 的旋轉結合沿軸方向點陣週期 \(p/n\) 的平移。例如 \(2_1\)（「二重螺旋」）表示旋轉 \(180°\) 並沿軸平移半個晶胞邊長；\(6_3\) 表示旋轉 \(60°\) 並沿 \(c\) 平移半個晶胞邊長。
- 前面沒有旋轉數字的單獨字母（\(m,a,b,c,n,d\)） : 垂直於該方向的鏡面或滑移面（字母的意義與下文示意圖一節相同）。
- \(n/m\) 或 \(n_p/m\) : 旋轉／螺旋軸加上與其垂直的鏡面（兩個元素共用同一方向，一個沿軸、一個橫切）。
- \(-n\)（例如 \(-1,-3,-4,-6\)） : 旋轉反演軸（旋轉 \(360°/n\)，再對軸上一點反演）。單獨的 \(-1\) 表示純反演中心；不存在「\(-2\)」軸這種東西，因為二重旋轉反演與鏡面完全相同，故一律寫成 \(m\)。
簡式符號與全式符號¶
簡式 HM 符號（通常被引用的那一個）省略了已由寫出的元素所隱含的對稱元素；全式符號則把每個方向逐一寫出。例如空間群 No. 62 的簡式為 \(Pnma\)，全式為 \(P\,2_1/n\,2_1/m\,2_1/a\) — 三條 \(2_1\) 螺旋軸已由三個滑移／鏡面連同空間群的點群 \(mmm\) 隱含，因此簡式符號將它們略去。ReciPro 的 HM 符號（簡式） 與 HM 符號（全式） 欄位同時顯示兩者；對多數空間群而言兩者一致。
Schoenflies (SF) 符號與 Hall 符號¶
Schoenflies 符號（例如 \(D_{2h}^{16}\)）指出點群類型（\(D_{2h}\)），再加一個上標，單純用來列舉「這是該點群家族中的第幾個空間群」— 與 HM 符號不同，這個上標本身不帶任何直接的幾何意義；必須查表對照。ReciPro 對點群與空間群都會顯示 Schoenflies 符號。
Hall 符號是另一套以生成元為基礎、為電腦處理的無歧義性而設計的記法：它列出一組最小的生成操作連同明確的原點，程式因此無需查「這個 HM 符號隱含哪個設定／原點選擇」的對照表，就能重建精確的座標集合。Hall 符號並非編碼給定操作集合的唯一方式（不同的生成元選擇會為同一個群給出不同但同樣有效的 Hall 字串），但每一個 Hall 符號本身都是完全明確且可逆的。ReciPro 顯示為目前設定系統化產生的一個 Hall 符號；設定一覽 索引標籤（見下文）列出與目前空間群編號相同的所有收錄原點／設定選擇，各附其 HM 與 Hall 符號。
對稱操作（對稱操作索引標籤）¶
對稱操作 索引標籤以三種並列的記法，列出目前設定下一般位置的每一個對稱操作（點陣心化平移已展開計入）：
| 欄 | 範例 | 意義 |
|---|---|---|
| 座標 | -y, x-y, z+1/3 |
座標三元組 \((x,y,z)\mapsto(x',y',z')\)，即以代數方式寫出的仿射映射 \(x'=Rx+t\)（ITA/CIF 慣例）。 |
| Seitz | 3+ [111] |
簡潔的符號：旋轉／螺旋的重數與旋向（3+）、軸方向（[111]），以及（若有）該操作的平移，例如 2₁ [001] 0,0,1/2。純鏡面為 m，恆等操作為 1，反演為 -1。 |
| 類型 | 3-fold rotation (3+) [111] |
操作的淺白分類：Identity（恆等）、Inversion centre at …（反演中心）、\(n\) 重旋轉、\(n_p\) 螺旋軸、鏡面 \(m\)、\(a/b/c/n/d\) 滑移面，或 \(n\) 重旋轉反演，各附其方向（反演中心並附其位置）。 |
複製 (CIF) 按鈕會將完整操作清單以 CIF 的 _space_group_symop_operation_xyz 迴圈形式放入剪貼簿。這套語彙 — Seitz 符號與幾何類型 — 會在 A4.2 中反覆出現：子群關係中每個保持／消失的生成元都以同樣的方式描述。
群論分類（群性質索引標籤）¶
群性質 索引標籤報告目前空間群的一組標準分類。其中一部分 — 中心對稱、Sohncke 與極性（以及由此導出的下文物理性質允許表）— 直接由每個操作的矩陣部 \(R\)（線性的旋轉或鏡映部分）決定；中心對稱還需連同平移部一併考慮。其餘各項 — 簡單型（symmorphic）、對映體夥伴、晶族／格子系／布拉維型、算術晶類與 Patterson 對稱 — 則是空間群類型整體的性質（其 IT 編號、點陣類型與勞厄類），而非任何單一操作的性質。這一切都不需要度量（晶胞形狀）— 只取決於空間群類型的抽象對稱內容與分類。
中心對稱 — 操作集合中含有形如 \(\{-I \mid t\}\) 的操作（對點 \(t/2\) 的反演，該點不必是原點）。下述 Sohncke 與極性兩項性質與此互斥：反演中心會反轉所有方向，所以中心對稱群絕不可能是極性的；且 \(-I\) 的行列式為 \(-1\)，所以中心對稱群也絕不可能是 Sohncke 群。
Sohncke（保向）群 — 每一個操作的矩陣部都滿足 \(\det R=+1\)：群中只含真旋轉與螺旋旋轉，絕無鏡面、滑移、反演或旋轉反演。230 種空間群類型中有 65 種是 Sohncke 群。Sohncke 群是「結構可容納具特定手性的物體（手性分子、蛋白質、石英、…）而不同時包含其鏡像」的對稱性條件。這比「屬於一對真正互異之鏡像空間群類型中的一員」是更寬的概念 — 見下一項對映體夥伴。
對映體夥伴 — 在 65 種 Sohncke 類型中，有 11 對（22 種類型）彼此只能以反轉取向的變換相互關聯，而無法以任何真（保向）變換關聯：對這些空間群之一的晶體施加鏡映，必定使它變成該對中的另一個成員，無論如何重新標記晶軸都不會變回自身。這 11 對正是建立在手性相反之螺旋軸上的那些：
其餘 \(65-22=43\) 種 Sohncke 類型則與自身的鏡像相同（作為空間群類型是非手性的，即使其中每一個具體結構仍然有手性）。
簡單型（Symmorphic） — 73 種空間群類型之一：可以選擇一個原點，使得每一個陪集代表元（對點陣平移取模）的固有（螺旋／滑移）平移成分皆為零 — 等價地說，晶胞內存在某一點，其位置對稱群與完整點群同構。（心化平移當然仍然保留；「簡單型」是關於點群操作之非初基平移部分的陳述，與點陣無關。）簡單型空間群在該特定原點下描述時，永遠可以僅由其點群與點陣生成，完全不需要螺旋軸或滑移面 — 而這正是 ITA 對簡單型類型實際收錄的原點，因此其標準簡式／全式符號本來就不含螺旋／滑移字母。（把同一個群的操作改在平移過或差一個心化平移的原點下描述，可能使個別操作看起來帶有螺旋／滑移平移，但這不會改變該類型的簡單型分類 — 分類只問是否存在一個無此類平移的原點，而對這 73 種類型而言確實存在。）
極性 — 是否存在某個方向被每一個操作的矩陣部保持不變，\(Rv=v\)（不是 \(\pm v\)：真正的極性方向必須被嚴格保持，而不只是被反轉或作為二重軸留下）。可能的情形為：無（沒有這樣的方向） / 單一軸 \([uvw]\) / 整個平面（其中任何方向） / 任意方向（僅點群 \(1\)）。極性軸即對稱性允許自發極化沿其出現的方向（見下文物理性質表）。
晶族、格子系、布拉維型 — 晶系之上的 IUCr 標準分類層級：共有 6 個晶族、7 個晶系、7 個格子系與 14 種布拉維點陣型。微妙之處在於六方晶族：作為晶系它分為三方與六方，但作為格子系它的分法不同，分為六方與菱面體 — 三方空間群若其點陣為 \(P\) 型則屬六方格子系，若為 \(R\) 心化則屬菱面體格子系，與它屬於兩個晶系中的哪一個無關。
算術晶類 — （可能帶方向解析的）點群符號與布拉維點陣字母的配對，例如 4mmP；共有 73 個算術晶類。由於少數點群符號（3m1 與 31m，即 \(3m\) 點群相對於六方點陣兩種不等價的擺放方式）本身已編碼其相對於點陣的取向，因此把帶取向的點群符號與點陣字母並列，就足以無歧義地指名該類。
Patterson 對稱 — 點陣類型加上勞厄類（將 \(-1\) 加入空間群自身點群所得的中心對稱點群），並剝除所有螺旋／滑移資訊，例如 30 個斜方晶系 \(P\) 點陣空間群無論其中哪些帶有滑移面，一律為 Pmmm。這是在運動學近似下由繞射強度 \(|F|^2\) 計算出的 Patterson 函數的對稱性，因為 \(|F|^2\) 對滑移／螺旋平移引入的相位移不敏感（不過其造成的系統消光，以及 Patterson 圖中的 Harker 峰，仍可能間接洩露其存在）。對動力學電子繞射而言，這幅運動學圖像並不嚴格成立；參見 附錄 A3。
物理性質的對稱性允許¶
群性質索引標籤的最後幾列報告：對目前的點群而言，給定的巨觀物理性質是否為對稱性所允許 — 這是必要條件，並不保證該效應在實際晶體中很大、甚至存在（Nye《Physical Properties of Crystals》的慣例）：
| 性質 | 對稱性條件 | 點群 |
|---|---|---|
| 熱電 / 鐵電 | 極性（允許一階極性向量 — 自發極化） | 10 個極性點群 |
| 壓電 | 非中心對稱且點群 \(\ne 432\) | 21 個非中心對稱點群中的 20 個 |
| 二次諧波產生（塊材電偶極 \(\chi^{(2)}\)） | 與壓電相同的條件（三階極性張量） | 同樣的 20 個點群 |
| 旋光性（自然旋光） | 只含真旋轉的 11 個點群，加上 4 個並非純 Sohncke 卻具旋光性的點群 | \(1,2,3,4,6,222,32,422,622,23,432\) 與 \(m,mm2,\bar4,\bar42m\) — 共 15 個點群 |
\(432\) 是唯一沒有壓電／SHG 響應的非中心對稱點群：它的旋轉對稱性太高（立方、全為真旋轉），任何三階極性張量分量都無法存活，儘管它並非中心對稱。
對稱性允許，不代表必然觀測到
這些列陳述的是點群「允許」什麼。實際晶體是否真能切換其極化（真正的鐵電性），或是否呈現有實用意義的壓電或 SHG 響應，取決於對稱性之外的化學與結構細節。
設定一覽索引標籤¶
列出與目前空間群共用同一 IT 編號的所有收錄原點／軸設定選擇（例如 \(Fd\bar 3m\) 的兩種原點選擇，或單斜晶群的不同晶胞選法），各附其 HM 與 Hall 符號；對應目前顯示設定的列會加上標記。此索引標籤僅供瀏覽各種選項 — 選取某一列並不會變更晶體。
對稱元素示意圖¶
左圖重現目前設定的 ITA Vol. A 樣式對稱性示意圖，沿 方向（a/b/c）控制項所選的軸投影。
垂直於紙面的軸繪製為實心點狀符號，其形狀編碼旋轉重數；螺旋軸另加小尾翼（其數目與排列同時編碼螺距 \(p\) 及其手性，因此例如 \(3_1\) 與 \(3_2\) — 同重數但旋向相反的螺旋 — 是以互為鏡像的尾翼圖樣繪製，而不只是尾翼數目不同）：
| 符號 | 元素 |
|---|---|
| 實心透鏡形（兩端尖的橢圓） | 二重旋轉軸 |
| 帶尾翼的實心透鏡形 | \(2_1\) 螺旋軸 |
| 實心三角形 | 三重旋轉軸 |
| 帶尾翼的實心三角形 | \(3_1\) / \(3_2\) 螺旋軸 |
| 實心正方形 | 四重旋轉軸 |
| 帶尾翼的實心正方形 | \(4_1\) / \(4_2\) / \(4_3\) 螺旋軸 |
| 實心六邊形 | 六重旋轉軸 |
| 帶尾翼的實心六邊形 | \(6_1 \ldots 6_5\) 螺旋軸 |
| 小空心圓 | 反演中心（\(-1\)） |
| 空心／實心組合符號 | 旋轉反演軸（\(-3,-4,-6\)） |
傾斜於紙面或位於紙面內的軸（僅出現於立方晶系 \(\langle 111\rangle\) 體對角線或 \(\langle 110\rangle\) 面對角線等特殊方向）依同樣的 ITA 慣例繪製為箭頭，並在其尾端附上該點狀符號。
面繪製為線條，線型標示滑移類型 — 字母指出滑移向量沿哪個點陣方向（或者為對角／四分之一晶胞）；至於該平移恰好位於紙面內還是穿出紙面，則取決於所選的投影軸：
| 線型 | 面 |
|---|---|
| 實線 | 鏡面 \(m\) |
| 長虛線 | 軸向滑移 \(a\) 或 \(b\) |
| 點線 | 軸向滑移 \(c\)（常見情形：其平移穿出紙面） |
| 點劃線 | 對角滑移 \(n\) |
| 帶箭頭的點劃線 | 鑽石滑移 \(d\)（四分之一晶胞的平移；僅出現於有心晶胞） |
| 雙線 | 「雙重滑移」\(e\) — 兩個獨立的滑移向量共存於同一平面（僅出現於有心晶胞：滑移及其經心化平移的對應者通過同一平面） |
符號旁的分數高度標記（例如 1/4）給出該元素沿投影軸的座標；凡元素不位於高度 0 之平面內時皆會標註。
F 點陣立方晶群：僅繪製八分之一區
對於 \(F\) 心立方空間群，ReciPro 僅繪製晶胞八分之一區的左上象限（否則圖會過密而難以閱讀）；完整晶胞可由心化平移以及圖中已繪出的對稱元素自身重複而得。同樣的對稱元素也可以直接疊加到 結構檢視器 的 3D 模型上。
一般位置示意圖¶
右圖以同樣的 ITA 樣式，繪出一般等價位置 — 一個一般點 \((x,y,z)\) 在空間群所有操作作用下的軌道：
- 每個圓圈是該點某個對稱等價複本的投影。
- 圓圈內的逗號標示由第二類操作（鏡面、滑移、反演或旋轉反演）生成的複本 — 它與置於原始點的手性測試物手性相反，正如 ITA 本身所用的「鏡像手／原樣手」成對圖示。
- 對切的圓圈（一半無逗號、一半有逗號）標示真操作複本與非真操作複本投影到同一點的位置。
- 圓圈旁的高度標記（
+、−、½+、…）給出該複本沿投影軸的座標，相對於參考點 —+表示「位於 \(z\)」，−表示「位於 \(-z\)」，½+表示「位於 \(z+\tfrac12\)」，依此類推；它不是絕對高度。 - （僅立方空間群）細輔助線連接由體對角線 \(\langle111\rangle\) 三重軸相互關聯的三個圓圈。
- 一般而言，一個圓圈（或對切圓圈的一半）對應一個等價位置，因此圓圈數與 Wyckoff 位置 索引標籤顯示的一般位置多重度一致 — 這是閱讀任一張圖時方便的快速核對。若所選的投影軸恰使多個同手性的複本完全重合，它們會疊在同一點上（僅以各自的高度標記區分），而不是並排畫成多個圓圈，此時可見的圓圈數就會少於多重度。
方向 下方的 numericBox 欄位可將測試點 \((x,y,z)\) 移離該點群的預設位置；當多個圓圈原本會重合、圖面顯得雜亂時，這偶爾很有用。
另請參閱¶
- 2. 對稱性資訊 — 本附錄所解說的 GUI 指南。
- A4.2. 群與子群的關係 — 沿用此處介紹的 Seitz 符號／幾何類型語彙。
- 附錄 A4. 對稱性與空間群