付録 A2. ビーム相互作用(固体物理的背景)¶

本編 3. ビーム相互作用は GUI の操作マニュアルで、どのボタンを押すか、各列が何を意味するかを説明します。この付録は、それらの数値の背後にある 固体物理・散乱理論 をまとめます — なぜ X線・電子線・中性子線で原子の散乱の仕方がこれほど違うのか、構造因子とその虚部はどこから来るのか、ビームが固体中でどのように減衰し減速するのか、そして蛍光プレビューが何を表し何を表さないのか。

ウィンドウには4つのタブがあり、理論は「ある量が次の量を決める」依存順に読むのが自然です。

原子散乱因子 — 1個の原子 が各ビームをどう散乱するか。
構造因子 — 単位胞内 の原子がどう干渉するか(Debye–Waller 因子・消滅則を含む)。
減衰・輸送 — ビームが物質中を進むにつれてどう 除去・減速 されるか。
蛍光 — 内殻電離に続いて起こる特性X線発光。

散乱の幾何と変数 \(s\)¶

このウィンドウの散乱量はすべて、ビームの向きがどれだけ変わるかの関数です。入射・散乱波数ベクトルを \(\mathbf k_i\), \(\mathbf k_s\)(弾性散乱なので \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\))とすると、散乱ベクトル とその大きさは

\[\mathbf Q = 2\pi(\mathbf k_s - \mathbf k_i), \qquad Q = |\mathbf Q| = \frac{4\pi\sin\theta}{\lambda} = 4\pi s .\]

\(\theta\) : Bragg 角 — 全散乱角の半分。反射表に並ぶのは全角 \(2\theta\) です。
\(s = \dfrac{\sin\theta}{\lambda}\)(Å⁻¹) : 散乱因子 タブの横軸。あらゆる原子形状因子の自然な引数です。
\(d\) : 面間隔。Bragg 条件 \(\lambda = 2d\sin\theta\) より \(s = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{|\mathbf g|}{2}\)。ここで \(\mathbf g\) は逆格子ベクトルで \(|\mathbf g| = 1/d\)。

3つの表し方は同じ幾何を指し、スケールが違うだけです。ウィンドウは複数を併用するので、対応を整理しておきます。

ウィンドウ上の量	記号	関係
反射表	\(q = 2\pi/d\)	\(q = 2\pi\lvert\mathbf g\rvert = Q = 4\pi s\)
反射表	\(2\theta\)	全散乱角、\(\sin\theta = \lambda s\)
散乱因子タブ	\(s = \sin\theta/\lambda\)	\(s = q/4\pi = 1/(2d)\)
回折ピーク図	\(Q = 4\pi\sin\theta/\lambda\)	\(Q = q = 4\pi s\)

単位

形状因子の公表されたパラメータ化は \(s\) を Å⁻¹(したがって \(s^2\) を Å⁻²)で扱いますが、ReciPro は内部的に \(s^2\) を nm⁻² で保持します(両者は \(s^2\) で 100 倍異なる)。曲線・表は各表のヘッダに記された単位で表示されます。1つのモデル — Kirkland — だけは \(s\) ではなく \(q = 2s = 1/d\) に対して与えられています(原子散乱因子参照)。

Bragg・Laue・Ewald 球¶

Bragg 条件は、1つの幾何学的要請の一面にすぎません。建設的干渉(Laue 条件)は、散乱ベクトルが逆格子ベクトルに等しいことを要求します。

\[\mathbf k_s = \mathbf k_i + \mathbf g, \qquad |\mathbf k_i + \mathbf g|^2 = |\mathbf k_i|^2 .\]

\(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\) を使うと、これは

\[2\,\mathbf k_i\cdot\mathbf g + |\mathbf g|^2 = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad |\mathbf g| = \frac{1}{d} = \frac{2\sin\theta}{\lambda},\]

すなわち Bragg の法則 \(\lambda = 2d\sin\theta\) に帰着します。幾何的にはこれが Ewald 球 の構成で、逆格子点が半径 \(1/\lambda\) の球面上に乗ったときに反射が励起されます。(ここで \(\mathbf g\) は \(1/d\) 単位なので \(\mathbf Q = 2\pi\mathbf g\)。)

位相規約¶

ReciPro は結晶学の位相規約

\[F_{\mathbf g} = \sum_j \dots \exp\!\left(-2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_j\right)\]

すなわち指数部に マイナス 符号を持つ形で構造因子を組み立てます。この選択が、構造因子の虚部(反射表の F_inv)の符号と、異常分散を有効にしたときの Friedel 対の関係を決めます。本付録では一度ここで述べ、以降は前提とします(帰結は構造因子で展開します)。

運動学的散乱と動力学的散乱¶

この付録は 単一(運動学的)散乱 を扱います。入射ビームは1回だけ散乱し、回折振幅は次ページの構造因子です。これは相互作用が弱いとき — ほとんどの試料での X線・中性子線、そして 十分に薄い 試料での電子線 — に正しい描像です。

相互作用が強いとき — 最も薄い場合を除く結晶中の電子線 — ビームは出るまでに何度も散乱し、強度が反射間で再分配され、\(\lvert F\rvert^2\) はもはや測定強度を与えません。この領域には付録 A3 の 動力学 理論が必要です。ここで導く散乱因子・構造因子は、どちらの描像でも入力になります。

運動学的極限でも、回折振幅は構造因子だけでは決まりません。厚さ \(t\) のスラブを通して散乱波を足し合わせると

\[A_{\mathbf g}(t) \;\propto\; F_{\mathbf g}\int_0^t e^{\,2\pi i S_{\mathbf g} z}\,dz = F_{\mathbf g}\, t\, e^{\,\pi i S_{\mathbf g} t}\,\operatorname{sinc}(\pi S_{\mathbf g} t)\]

となります。ここで \(S_{\mathbf g}\) は 励起誤差(逆格子点と Ewald 球との距離)です。強度は \(S_{\mathbf g}=0\) で鋭くピークし、厚さとともに振動します(厚さ縞の起源)。付録 A3 の動力学理論は、この単一ビームの結果を結合ビームの振る舞いに置き換えます。

3つのプローブの比較¶

	X線	電子線	中性子線
相互作用する相手	電子密度 \(\rho_e\)	静電ポテンシャル \(V\)	原子核(と不対スピン)
相互作用の強さ	弱い	強い	非常に弱い
典型的な侵入深さ	µm – mm	nm – µm	mm – cm
単一散乱は有効か	ほぼ常に	薄膜のみ	ほぼ常に
軽元素への感度	低い(\(\propto Z\))	中程度	しばしば優れる

これらの対比は以降の各ページに繰り返し現れ、いずれも原子散乱因子の散乱機構にさかのぼれます。