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附錄 A2. 電子束交互作用 (固態物理背景)

主視窗章節 3. Beam interaction 是 GUI 的操作指南：它告訴你該按哪些按鈕，以及每一欄代表什麼意思。本附錄則彙整這些數值背後的固態與散射物理 — 為什麼原子對 X 射線、電子與中子的散射差異如此之大，結構因子及其虛部從何而來，電子束在固體內如何被衰減與減速，以及螢光預覽究竟代表與不代表什麼。

Beam Interaction window

此視窗有四個索引標籤，而理論最好依照一個物理量饋入下一個物理量的順序來閱讀：

  1. Atomic scattering factors — 單一原子如何散射每一種電子束。
  2. Structure factor — 晶胞中的原子如何彼此干涉，包括德拜-沃勒因子與消光規則。
  3. Attenuation & transport — 電子束在穿越材料時如何被移除與減速。
  4. 螢光 — 內殼層游離之後伴隨而來的特徵 X 射線發射。

散射幾何與變數 \(s\)

此視窗中的每一個散射量都是電子束方向改變幅度的函數。以 \(\mathbf k_i\) 與 \(\mathbf k_s\) 分別表示入射與散射波向量 (彈性散射，故 \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\))，則散射向量及其大小為

\[\mathbf Q = 2\pi(\mathbf k_s - \mathbf k_i), \qquad Q = |\mathbf Q| = \frac{4\pi\sin\theta}{\lambda} = 4\pi s .\]
  • \(\theta\) : 布拉格角 — 總散射角的一半。繞射 表列出的是全角 \(2\theta\)。
  • \(s = \dfrac{\sin\theta}{\lambda}\) (Å⁻¹) : 散射因子 索引標籤所對應繪製的變數。它是每一個原子形狀因子的自然引數。
  • \(d\) : 晶面間距。在布拉格條件 \(\lambda = 2d\sin\theta\) 下，\(s = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{|\mathbf g|}{2}\)，其中 \(\mathbf g\) 為倒易點陣向量，\(|\mathbf g| = 1/d\)。

這三種慣例描述的是同一個幾何；只是尺度不同。由於此視窗同時使用了其中不止一種，因此值得把對應關係理清：

在視窗中 符號 關係
繞射 表 \(q = 2\pi/d\) \(q = 2\pi\lvert\mathbf g\rvert = Q = 4\pi s\)
繞射 表 \(2\theta\) 全散射角，\(\sin\theta = \lambda s\)
散射因子 索引標籤 \(s = \sin\theta/\lambda\) \(s = q/4\pi = 1/(2d)\)
繞射峰圖 \(Q = 4\pi\sin\theta/\lambda\) \(Q = q = 4\pi s\)

單位

形狀因子已發表的參數化以 Å⁻¹ 為單位表示 \(s\) (故 \(s^2\) 以 Å⁻² 為單位)，而 ReciPro 內部則以 nm⁻² 攜帶 \(s^2\)。兩者在 \(s^2\) 上相差一個因子 \(100\)；曲線與表格皆以各表標頭所註明的單位呈現。有一個模型 — Kirkland — 是針對 \(q = 2s = 1/d\) 而非 \(s\) 製表的；參見 Atomic scattering factors。

布拉格、勞厄與厄瓦爾德球

布拉格條件是單一幾何要求的一個面向。建設性干涉 (勞厄條件) 要求散射向量等於一個倒易點陣向量，

\[\mathbf k_s = \mathbf k_i + \mathbf g, \qquad |\mathbf k_i + \mathbf g|^2 = |\mathbf k_i|^2 ,\]

在 \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\) 下，化簡為

\[2\,\mathbf k_i\cdot\mathbf g + |\mathbf g|^2 = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad |\mathbf g| = \frac{1}{d} = \frac{2\sin\theta}{\lambda},\]

亦即布拉格定律 \(\lambda = 2d\sin\theta\)。在幾何上這就是厄瓦爾德球作圖法：當某反射的倒易點陣點落在半徑 \(1/\lambda\) 的球面上時，該反射即被激發。(此處 \(\mathbf g\) 以 \(1/d\) 為單位，故 \(\mathbf Q = 2\pi\mathbf g\)。)

相位慣例

ReciPro 以結晶學相位慣例建構結構因子

\[F_{\mathbf g} = \sum_j \dots \exp\!\left(-2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_j\right),\]

亦即指數中帶有一個負號。此選擇固定了結構因子虛部 (繞射 表中的 F_inv) 的正負號，以及在開啟反常散射後 Friedel 對之間的關係。這裡只敘述一次，並在整個附錄中假定成立；其後果在 Structure factor 中詳細推演。

運動學散射與動力學散射

本附錄處理單次 (運動學) 散射：入射束只散射一次，繞射振幅即為下一頁所述的結構因子。當交互作用較弱時這是正確的圖像 — 幾乎所有試樣中的 X 射線與中子，以及極薄試樣中的電子。

當交互作用較強時 — 除最薄晶體以外的任何情況下的電子 — 電子束在離開之前會被多次散射，強度會在各反射之間重新分配，而 \(\lvert F\rvert^2\) 不再給出量測到的強度。此情形需要 Appendix A3 的動力學理論。這裡推導出的散射因子與結構因子是兩種圖像的輸入。

即使在運動學極限下，繞射振幅也不僅僅是結構因子：將散射波對厚度為 \(t\) 的薄板加總可得

\[A_{\mathbf g}(t) \;\propto\; F_{\mathbf g}\int_0^t e^{\,2\pi i S_{\mathbf g} z}\,dz = F_{\mathbf g}\, t\, e^{\,\pi i S_{\mathbf g} t}\,\operatorname{sinc}(\pi S_{\mathbf g} t),\]

其中 \(S_{\mathbf g}\) 為偏離向量 — 倒易點陣點到厄瓦爾德球的距離。強度在 \(S_{\mathbf g}=0\) 處達到尖銳峰值，並隨厚度振盪 (厚度條紋的起源)；Appendix A3 的動力學理論以耦合多束行為取代了此單束結果。

三種探束一覽

X 射線 電子 中子
交互作用對象 電子密度 \(\rho_e\) 靜電位能 \(V\) 原子核 (及未配對自旋)
交互作用強度 弱 強 極弱
典型穿透深度 µm – mm nm – µm mm – cm
單次散射是否成立？ 幾乎總是 僅限薄膜 幾乎總是
對輕原子的靈敏度 差 (\(\propto Z\)) 中等 通常極佳

這些對比在後續各頁中反覆出現，每一項皆可追溯至 Atomic scattering factors 中的散射機制。

另請參閱