Перейти к содержанию

Приложение A2. Взаимодействие пучка (физика твёрдого тела)

Глава о главном окне 3. Beam interaction — это руководство по GUI: она объясняет, какие кнопки нажимать и что означает каждый столбец. В этом приложении собрана физика твёрдого тела и рассеяния, стоящая за этими числами — почему атом так по-разному рассеивает рентгеновские лучи, электроны и нейтроны, откуда берутся структурный фактор и его мнимая часть, как пучок ослабляется и замедляется внутри твёрдого тела, и что предпросмотр флуоресценции отображает, а что нет.

Окно Beam Interaction

Окно имеет четыре вкладки, и теорию лучше всего читать в том порядке, в котором одна величина переходит в следующую:

  1. Atomic scattering factors — как отдельный атом рассеивает каждый вид пучка.
  2. Structure factor — как атомы в элементарной ячейке интерферируют, включая фактор Дебая–Валлера и правила погасания.
  3. Attenuation & transport — как пучок удаляется и замедляется при прохождении через материал.
  4. Флуоресценция — характеристическое рентгеновское излучение, следующее за ионизацией внутренней оболочки.

Геометрия рассеяния и переменная \(s\)

Каждая величина рассеяния в этом окне является функцией того, насколько сильно меняется направление пучка. Обозначая \(\mathbf k_i\) и \(\mathbf k_s\) для падающего и рассеянного волновых векторов (упругое рассеяние, поэтому \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\)), вектор рассеяния и его модуль равны

\[\mathbf Q = 2\pi(\mathbf k_s - \mathbf k_i), \qquad Q = |\mathbf Q| = \frac{4\pi\sin\theta}{\lambda} = 4\pi s .\]
  • \(\theta\) : угол Брэгга — половина полного угла рассеяния. Таблица рефлексов приводит полный угол \(2\theta\).
  • \(s = \dfrac{\sin\theta}{\lambda}\) (Å⁻¹) : переменная, относительно которой строится вкладка Факторы рассеяния. Это естественный аргумент любого атомного форм-фактора.
  • \(d\) : межплоскостное расстояние. При условии Брэгга \(\lambda = 2d\sin\theta\) выполняется \(s = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{|\mathbf g|}{2}\), где \(\mathbf g\) — вектор обратной решётки с \(|\mathbf g| = 1/d\).

Эти три соглашения описывают одну и ту же геометрию; различается только масштаб. Стоит держать это соответствие ясным, поскольку окно использует более одного из них:

В окне Символ Соотношение
Таблица рефлексов \(q = 2\pi/d\) \(q = 2\pi\lvert\mathbf g\rvert = Q = 4\pi s\)
Таблица рефлексов \(2\theta\) полный угол рассеяния, \(\sin\theta = \lambda s\)
Вкладка Факторы рассеяния \(s = \sin\theta/\lambda\) \(s = q/4\pi = 1/(2d)\)
Диаграмма дифракционных пиков \(Q = 4\pi\sin\theta/\lambda\) \(Q = q = 4\pi s\)

Единицы

Опубликованные параметризации форм-факторов используют \(s\) в Å⁻¹ (поэтому \(s^2\) в Å⁻²), тогда как ReciPro внутренне ведёт \(s^2\) в нм⁻². Эти две величины различаются множителем \(100\) в \(s^2\); кривые и таблицы представлены в единицах, указанных в заголовке каждой таблицы. Одна модель — Kirkland — табулирована относительно \(q = 2s = 1/d\), а не \(s\); см. Atomic scattering factors.

Брэгг, Лауэ и сфера Эвальда

Условие Брэгга — одна из граней единого геометрического требования. Конструктивная интерференция (условие Лауэ) требует, чтобы вектор рассеяния был равен вектору обратной решётки,

\[\mathbf k_s = \mathbf k_i + \mathbf g, \qquad |\mathbf k_i + \mathbf g|^2 = |\mathbf k_i|^2 ,\]

что при \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\) сводится к

\[2\,\mathbf k_i\cdot\mathbf g + |\mathbf g|^2 = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad |\mathbf g| = \frac{1}{d} = \frac{2\sin\theta}{\lambda},\]

то есть к закону Брэгга \(\lambda = 2d\sin\theta\). Геометрически это построение сферы Эвальда: рефлекс возбуждается, когда его точка обратной решётки лежит на сфере радиуса \(1/\lambda\). (Здесь \(\mathbf g\) в единицах \(1/d\), поэтому \(\mathbf Q = 2\pi\mathbf g\).)

Соглашение о фазе

ReciPro строит структурные факторы с кристаллографическим соглашением о фазе

\[F_{\mathbf g} = \sum_j \dots \exp\!\left(-2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_j\right),\]

то есть со знаком минус в показателе экспоненты. Этот выбор фиксирует знак мнимой части структурного фактора (F_inv в таблице рефлексов) и соотношение между парами Фриделя после включения аномальной дисперсии. Оно устанавливается здесь однажды и предполагается на протяжении всего приложения; следствия разобраны в Structure factor.

Кинематическое и динамическое рассеяние

В этом приложении рассматривается однократное (кинематическое) рассеяние: падающий пучок рассеивается один раз, и дифрагированная амплитуда есть структурный фактор следующей страницы. Это верная картина, когда взаимодействие слабое — рентгеновские лучи и нейтроны почти во всех образцах, и электроны в очень тонких препаратах.

Когда взаимодействие сильное — электроны во всех, кроме самых тонких, кристаллах — пучок рассеивается многократно, прежде чем покинуть образец, интенсивность перераспределяется между рефлексами, и \(\lvert F\rvert^2\) более не даёт измеряемую интенсивность. Этот режим требует динамической теории из Appendix A3. Факторы рассеяния и структурные факторы, выведенные здесь, являются входными данными для обеих картин.

Даже в кинематическом пределе дифрагированная амплитуда не является лишь структурным фактором: суммирование рассеянной волны через пластину толщиной \(t\) даёт

\[A_{\mathbf g}(t) \;\propto\; F_{\mathbf g}\int_0^t e^{\,2\pi i S_{\mathbf g} z}\,dz = F_{\mathbf g}\, t\, e^{\,\pi i S_{\mathbf g} t}\,\operatorname{sinc}(\pi S_{\mathbf g} t),\]

где \(S_{\mathbf g}\) — ошибка возбуждения — расстояние точки обратной решётки от сферы Эвальда. Интенсивность достигает резкого максимума при \(S_{\mathbf g}=0\) и осциллирует с толщиной (происхождение полос толщины); динамическая теория из Appendix A3 заменяет этот одноволновой результат поведением связанных волн.

Три зонда с первого взгляда

Рентген Электрон Нейтрон
Взаимодействует с электронной плотностью \(\rho_e\) электростатическим потенциалом \(V\) ядрами (и неспаренными спинами)
Сила взаимодействия слабая сильная очень слабая
Типичная глубина проникновения мкм – мм нм – мкм мм – см
Однократное рассеяние применимо? почти всегда только тонкие фольги почти всегда
Чувствительность к лёгким атомам низкая (\(\propto Z\)) умеренная часто отличная

Эти контрасты повторяются на следующих страницах, каждый из них восходит к механизму рассеяния в Atomic scattering factors.

См. также