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附录 A2. 射束相互作用（固体物理背景）

主窗口章节 3. Beam interaction 是 GUI 的操作指南：它告诉你该按哪些按钮、每一列代表什么。本附录汇集这些数值背后的固体物理与散射物理 — 为什么一个原子对 X 射线、电子和中子的散射方式如此不同，结构因子及其虚部从何而来，射束在固体内部如何被衰减和减速，以及荧光预览表示什么、不表示什么。

射束相互作用窗口

该窗口有四个选项卡，理论最好按照“一个量决定下一个量”的依赖顺序来阅读：

  1. Atomic scattering factors — 单个原子 如何散射每一种射束。
  2. Structure factor — 晶胞 中的原子如何干涉，包括德拜-沃勒因子和消光规则。
  3. Attenuation & transport — 射束在穿过材料的过程中如何被 移除和减速。
  4. 荧光 — 内壳层电离之后产生的特征 X 射线发射。

散射几何与变量 \(s\)

本窗口中的每一个散射量都是射束方向变化大小的函数。以 \(\mathbf k_i\) 和 \(\mathbf k_s\) 表示入射和散射波矢（弹性散射，因此 \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\)），则散射矢量及其大小为

\[\mathbf Q = 2\pi(\mathbf k_s - \mathbf k_i), \qquad Q = |\mathbf Q| = \frac{4\pi\sin\theta}{\lambda} = 4\pi s .\]
  • \(\theta\) ：布拉格角 — 总散射角的 一半。衍射 表中列出的是全角 \(2\theta\)。
  • \(s = \dfrac{\sin\theta}{\lambda}\)（Å⁻¹）：散射因子 选项卡所对应的横轴变量。它是每一个原子形状因子的自然变量。
  • \(d\) ：面间距。在布拉格条件 \(\lambda = 2d\sin\theta\) 下，\(s = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{|\mathbf g|}{2}\)，其中 \(\mathbf g\) 是倒易点阵矢量，满足 \(|\mathbf g| = 1/d\)。

这三种约定描述的是同一几何关系，只是标度不同。由于本窗口同时使用了其中不止一种，因此值得把它们的对应关系理清楚：

窗口中的量 符号 关系
衍射 表 \(q = 2\pi/d\) \(q = 2\pi\lvert\mathbf g\rvert = Q = 4\pi s\)
衍射 表 \(2\theta\) 全散射角，\(\sin\theta = \lambda s\)
散射因子 选项卡 \(s = \sin\theta/\lambda\) \(s = q/4\pi = 1/(2d)\)
衍射峰图 \(Q = 4\pi\sin\theta/\lambda\) \(Q = q = 4\pi s\)

单位

已发表的形状因子参数化使用以 Å⁻¹ 为单位的 \(s\)（因此 \(s^2\) 以 Å⁻² 为单位），而 ReciPro 内部以 nm⁻² 保存 \(s^2\)。两者在 \(s^2\) 上相差 \(100\) 倍；曲线和表格以各表表头中标注的单位呈现。有一个模型 — Kirkland — 是对 \(q = 2s = 1/d\) 而非对 \(s\) 制表的；参见 Atomic scattering factors。

布拉格、劳厄与埃瓦尔德球

布拉格条件只是同一几何要求的一个侧面。相长干涉（劳厄条件）要求散射矢量等于一个倒易点阵矢量，

\[\mathbf k_s = \mathbf k_i + \mathbf g, \qquad |\mathbf k_i + \mathbf g|^2 = |\mathbf k_i|^2 ,\]

利用 \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\)，可化简为

\[2\,\mathbf k_i\cdot\mathbf g + |\mathbf g|^2 = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad |\mathbf g| = \frac{1}{d} = \frac{2\sin\theta}{\lambda},\]

即 布拉格定律 \(\lambda = 2d\sin\theta\)。在几何上这就是 埃瓦尔德球 构造：当某反射的倒易点阵点落在半径为 \(1/\lambda\) 的球面上时，该反射被激发。（此处 \(\mathbf g\) 以 \(1/d\) 为单位，因此 \(\mathbf Q = 2\pi\mathbf g\)。）

相位约定

ReciPro 采用晶体学相位约定来构建结构因子

\[F_{\mathbf g} = \sum_j \dots \exp\!\left(-2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_j\right),\]

即指数中带 负 号。这一选择确定了结构因子虚部（衍射 表中的 F_inv）的符号，以及开启反常色散后弗里德尔对之间的关系。这里只陈述一次，并在整个附录中作为前提；其推论将在 Structure factor 中展开。

运动学散射与动力学散射

本附录处理 单次（运动学）散射：入射束散射一次，衍射振幅就是下一页的结构因子。当相互作用较弱时这一图像是正确的 — 几乎所有样品中的 X 射线和中子，以及 非常薄 样品中的电子。

当相互作用较强时 — 除最薄晶体之外的任何晶体中的电子 — 射束在离开之前会多次散射，强度在各反射之间被重新分配，\(\lvert F\rvert^2\) 不再给出测量强度。该区域需要 Appendix A3 的 动力学 理论。这里导出的散射因子和结构因子是两种图像的 输入。

即使在运动学极限下，衍射振幅也不仅仅是结构因子：将散射波在厚度为 \(t\) 的薄板上求和给出

\[A_{\mathbf g}(t) \;\propto\; F_{\mathbf g}\int_0^t e^{\,2\pi i S_{\mathbf g} z}\,dz = F_{\mathbf g}\, t\, e^{\,\pi i S_{\mathbf g} t}\,\operatorname{sinc}(\pi S_{\mathbf g} t),\]

其中 \(S_{\mathbf g}\) 是 偏离矢量 — 倒易点阵点到埃瓦尔德球的距离。强度在 \(S_{\mathbf g}=0\) 处出现尖锐峰值，并随厚度振荡（厚度条纹的起源）；Appendix A3 的动力学理论用耦合束行为取代了这一单束结果。

三种探针一览

X 射线 电子 中子
相互作用对象 电子密度 \(\rho_e\) 静电势 \(V\) 原子核（及未配对自旋）
相互作用强度 弱 强 非常弱
典型穿透深度 µm – mm nm – µm mm – cm
单次散射是否成立？ 几乎总是 仅薄膜 几乎总是
对轻原子的敏感性 差（\(\propto Z\)） 中等 通常极佳

这些对比在后续各页中反复出现，每一项都可追溯到 Atomic scattering factors 中的散射机制。

另请参阅