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Apéndice A2. Interacción del haz (fundamentos de física del estado sólido)

El capítulo de la ventana principal 3. Beam interaction es una guía de la GUI: indica qué botones pulsar y qué significa cada columna. Este apéndice reúne la física del estado sólido y de la dispersión que hay detrás de esos números — por qué un átomo dispersa los rayos X, los electrones y los neutrones de forma tan distinta, de dónde provienen el factor de estructura y su parte imaginaria, cómo se atenúa y se frena un haz dentro de un sólido, y qué representa y qué no representa la previsualización de fluorescencia.

Beam Interaction window

La ventana tiene cuatro pestañas, y la teoría se lee mejor en el orden en que una magnitud alimenta a la siguiente:

  1. Atomic scattering factors — cómo un único átomo dispersa cada tipo de haz.
  2. Structure factor — cómo interfieren los átomos de una celda elemental, incluyendo el factor de Debye–Waller y las reglas de extinción.
  3. Attenuation & transport — cómo el haz es eliminado y frenado a medida que atraviesa el material.
  4. Fluorescencia — la emisión de rayos X característicos que sigue a la ionización de una capa interna.

Geometría de dispersión y la variable \(s\)

Toda magnitud de dispersión en esta ventana es función de cuánto cambia la dirección del haz. Escribiendo \(\mathbf k_i\) y \(\mathbf k_s\) para los vectores de onda incidente y dispersado (elástico, así que \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\)), el vector de dispersión y su módulo son

\[\mathbf Q = 2\pi(\mathbf k_s - \mathbf k_i), \qquad Q = |\mathbf Q| = \frac{4\pi\sin\theta}{\lambda} = 4\pi s .\]
  • \(\theta\) : el ángulo de Bragg — la mitad del ángulo de dispersión total. La tabla de reflexiones indica el ángulo completo \(2\theta\).
  • \(s = \dfrac{\sin\theta}{\lambda}\) (Å⁻¹) : la variable frente a la que se representa la pestaña Factores de dispersión. Es el argumento natural de todo factor de forma atómico.
  • \(d\) : el espaciado interplanar. En la condición de Bragg \(\lambda = 2d\sin\theta\), de modo que \(s = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{|\mathbf g|}{2}\), donde \(\mathbf g\) es el vector de la red recíproca con \(|\mathbf g| = 1/d\).

Estas tres convenciones describen la misma geometría; solo difiere la escala. Conviene tener clara la correspondencia, porque la ventana utiliza más de una de ellas:

En la ventana Símbolo Relación
Tabla de reflexiones \(q = 2\pi/d\) \(q = 2\pi\lvert\mathbf g\rvert = Q = 4\pi s\)
Tabla de reflexiones \(2\theta\) ángulo de dispersión completo, \(\sin\theta = \lambda s\)
Pestaña Factores de dispersión \(s = \sin\theta/\lambda\) \(s = q/4\pi = 1/(2d)\)
Gráfico de picos de difracción \(Q = 4\pi\sin\theta/\lambda\) \(Q = q = 4\pi s\)

Unidades

Las parametrizaciones publicadas de los factores de forma usan \(s\) en Å⁻¹ (por lo que \(s^2\) en Å⁻²), mientras que ReciPro maneja \(s^2\) internamente en nm⁻². Ambas difieren en un factor \(100\) en \(s^2\); las curvas y las tablas se presentan en las unidades indicadas en el encabezado de cada tabla. Un modelo — Kirkland — está tabulado frente a \(q = 2s = 1/d\) en lugar de frente a \(s\); véase Atomic scattering factors.

Bragg, Laue y la esfera de Ewald

La condición de Bragg es una cara de un único requisito geométrico. La interferencia constructiva (la condición de Laue) exige que el vector de dispersión sea igual a un vector de la red recíproca,

\[\mathbf k_s = \mathbf k_i + \mathbf g, \qquad |\mathbf k_i + \mathbf g|^2 = |\mathbf k_i|^2 ,\]

lo que, con \(|\mathbf k_i|=|\mathbf k_s|=1/\lambda\), se reduce a

\[2\,\mathbf k_i\cdot\mathbf g + |\mathbf g|^2 = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad |\mathbf g| = \frac{1}{d} = \frac{2\sin\theta}{\lambda},\]

es decir, la ley de Bragg \(\lambda = 2d\sin\theta\). Geométricamente esto es la construcción de la esfera de Ewald: una reflexión se excita cuando su punto de la red recíproca se sitúa sobre la esfera de radio \(1/\lambda\). (Aquí \(\mathbf g\) está en unidades de \(1/d\), así que \(\mathbf Q = 2\pi\mathbf g\).)

Convención de fase

ReciPro construye los factores de estructura con la convención de fase cristalográfica

\[F_{\mathbf g} = \sum_j \dots \exp\!\left(-2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_j\right),\]

es decir, con un signo menos en el exponente. Esta elección fija el signo de la parte imaginaria del factor de estructura (F_inv en la tabla de reflexiones) y la relación entre los pares de Friedel una vez que se activa la dispersión anómala. Se establece aquí una sola vez y se da por supuesta a lo largo del apéndice; las consecuencias se desarrollan en Structure factor.

Dispersión cinemática frente a dinámica

Este apéndice trata la dispersión simple (cinemática): el haz incidente se dispersa una vez, y la amplitud difractada es el factor de estructura de la página siguiente. Esa es la imagen correcta cuando la interacción es débil — rayos X y neutrones en casi todas las muestras, y electrones en especímenes muy delgados.

Cuando la interacción es fuerte — electrones en cualquier cristal salvo los más delgados — el haz se dispersa muchas veces antes de salir, la intensidad se redistribuye entre las reflexiones, y \(\lvert F\rvert^2\) ya no proporciona la intensidad medida. Ese régimen requiere la teoría dinámica del Appendix A3. Los factores de dispersión y los factores de estructura aquí deducidos son la entrada de ambas imágenes.

Incluso en el límite cinemático la amplitud difractada no es únicamente el factor de estructura: sumar la onda dispersada a través de una lámina de espesor \(t\) da

\[A_{\mathbf g}(t) \;\propto\; F_{\mathbf g}\int_0^t e^{\,2\pi i S_{\mathbf g} z}\,dz = F_{\mathbf g}\, t\, e^{\,\pi i S_{\mathbf g} t}\,\operatorname{sinc}(\pi S_{\mathbf g} t),\]

donde \(S_{\mathbf g}\) es el error de excitación — la distancia del punto de la red recíproca a la esfera de Ewald. La intensidad alcanza un máximo agudo en \(S_{\mathbf g}=0\) y oscila con el espesor (el origen de las franjas de espesor); la teoría dinámica del Appendix A3 sustituye este resultado de haz único por un comportamiento de haces acoplados.

Las tres sondas de un vistazo

Rayos X Electrón Neutrón
Interactúa con densidad electrónica \(\rho_e\) potencial electrostático \(V\) núcleos (y espines no apareados)
Intensidad de la interacción débil fuerte muy débil
Penetración típica µm – mm nm – µm mm – cm
¿Dispersión simple válida? casi siempre solo láminas delgadas casi siempre
Sensibilidad a átomos ligeros pobre (\(\propto Z\)) moderada a menudo excelente

Estos contrastes reaparecen a lo largo de las páginas siguientes, cada uno rastreable hasta el mecanismo de dispersión de Atomic scattering factors.

Véase también