Cálculo de EBSD¶

O EBSD (difração de elétrons retroespalhados) usa o mesmo núcleo de Bethe/ondas de Bloch que CBED e STEM, mas o problema é formulado de maneira diferente. CBED e STEM são problemas de feixe incidente: uma onda eletrônica entra na amostra a partir do exterior e a onda de saída é calculada. O EBSD é um problema de direção de saída: elétrons que sofreram espalhamento inelástico no interior da amostra emergem como elétrons retroespalhados, e o cálculo pergunta quanta intensidade sai em cada direção externa.

O ReciPro converte esse problema de direção de saída em um problema comum de feixe incidente por meio do teorema da reciprocidade. Ele primeiro calcula um master pattern no espaço de direções e, em seguida, combina esse master pattern com os pesos de Monte Carlo para profundidade / energia / direção e a geometria do detector para formar o detector pattern.

Reformulação com o teorema da reciprocidade¶

Se a amplitude de um ponto-fonte interno \(\mathbf r_n\) para uma direção externa \(\widehat{\mathbf s}\) fosse calculada diretamente, seria necessário um problema de espalhamento separado para cada ponto-fonte. Isso não é prático.

O teorema da reciprocidade reescreve o problema da seguinte forma: a amplitude para que um elétron que parte de \(\mathbf r_n\) apareça na direção de campo distante \(\widehat{\mathbf s}\) é igual à amplitude, em \(\mathbf r_n\), de uma onda recíproca incidente a partir da direção externa \(-\widehat{\mathbf s}\). Essa onda recíproca é uma solução comum de Bethe/ondas de Bloch. Escrevendo-a como \(\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r)\), a intensidade de EBSD na direção \(\widehat{\mathbf s}\) pode ser escrita como

\[I_{\mathrm{EBSD}}(\widehat{\mathbf s};E,z)\propto \sum_n \sigma_n(E,z)\, \left|\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r_n;E,z)\right|^2\]

onde \(\sigma_n(E,z)\) é o peso para o espalhamento inelástico próximo à posição atômica \(\mathbf r_n\) no canal de retroespalhamento na energia \(E\) e profundidade \(z\). Os termos de fonte são somados como intensidades, não como uma soma de amplitudes coerente, porque se supõe que o espalhamento inelástico destrói a relação de fase entre diferentes posições de fonte.

Master Pattern¶

O master pattern de EBSD armazena a parte de difração dinâmica específica do cristal da expressão acima em uma grade de direções. Conceitualmente,

\[M(\widehat{\mathbf s};E,z)= \sum_n w_n(E,z)\, \left|\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r_n)\right|^2\]

onde \(w_n\) é o peso de fonte inelástica do lado do cristal na posição atômica \(\mathbf r_n\). O ReciPro usa o peso empírico

\[w_n \propto Z_n^{1.7}\,\mathrm{occ}_n\]

com número atômico \(Z_n\) e ocupação \(\mathrm{occ}_n\). Isso é separado da distribuição de profundidade / energia de transporte produzida pelo Monte Carlo.

Na implementação, a onda de Bloch recíproca é avaliada em cada posição atômica:

\[\beta_n^{(j)}= \alpha^{(j)} \sum_{\mathbf g}C_{\mathbf g}^{(j)} \exp\!\left[2\pi i(\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)\cdot\mathbf r_n\right]\]

O código então forma a matriz de pares de ondas de Bloch

\[S_{jj'}=\sum_n w_n\,\beta_n^{(j)}\,\overline{\beta_n^{(j')}}\]

e a integral analítica de espessura

\[\mathcal F_{jj'}(t)= \frac{\exp\!\left[2\pi i(\gamma^{(j)}-\overline{\gamma^{(j')}})t\right]-1} {2\pi i(\gamma^{(j)}-\overline{\gamma^{(j')}})}\]

de modo que o master pattern é avaliado como

\[M(\widehat{\mathbf s};E,t)= \mathrm{Re}\left\{\sum_{j,j'}S_{jj'}(E)\,\mathcal F_{jj'}(t)\right\}\]

No limite degenerado em que o denominador está próximo de zero, \(\mathcal F_{jj'}(t)\to t\).

Amostragem do espaço de direções¶

O master pattern não é a própria imagem do detector; é uma distribuição de intensidade no espaço de direções fixo ao cristal. O ReciPro amostra esse espaço de direções com uma projeção equiárea de Rosca-Lambert e armazena os hemisférios \(+Z\) e \(-Z\) como matrizes planas separadas. A amostragem equiárea reduz o viés de densidade entre os polos e o equador.

Nesse estágio, o master pattern depende da estrutura cristalina, da tensão de aceleração, da profundidade, da energia e do modelo de absorção. A geometria do detector, como o centro do padrão e a posição da tela, ainda não foi aplicada.

Pesos de Monte Carlo e detector pattern¶

Para obter um detector pattern de EBSD próximo do observável experimental, o master pattern deve ser ponderado por quantos elétrons retroespalhados emergem de cada profundidade, energia e direção. Escrevendo esse peso de transporte como

\[W(E,z;\widehat{\mathbf s})\]

e usando \(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p)\) para a direção fixa ao cristal correspondente ao pixel do detector \(\mathbf p\), o detector pattern final é

\[P(\mathbf p)= \sum_{i,j} W(E_i,z_j;\widehat{\mathbf s}(\mathbf p))\, M(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p);E_i,z_j)\]

como uma soma discreta sobre energia e profundidade.

A parte de Monte Carlo acompanha o espalhamento elástico, o espalhamento inelástico, a perda de energia e o escape pela superfície da amostra. Para os elétrons retroespalhados, ela constrói distribuições de profundidade, energia e direção de saída. O ReciPro distingue modelos que usam a última posição de espalhamento inelástico e a energia imediatamente posterior a ela como fonte efetiva, e modelos que usam a profundidade de escape e a energia de escape.

Fundo de TDS e modelo de absorção¶

Os padrões de EBSD contêm não apenas a estrutura geométrica de bandas de Kikuchi, mas também um fundo suave proveniente do espalhamento térmico difuso (TDS). Quando IncludeTDSBackground está habilitado, o ReciPro avalia a componente de TDS espalhada para o hemisfério posterior,

\[\pi/2\leq\theta\leq\pi\]

como uma matriz de absorção \(\mu_{\mathrm{back}}\) e adiciona a intensidade de fundo usando a mesma soma de pares de ondas de Bloch que o master pattern. Como a mesma autossolução é reutilizada, o fundo de TDS acrescenta relativamente pouco custo adicional.

Quando UseNonLocalAbsorption está habilitado, o potencial de absorção é tratado não apenas como \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\), mas como uma forma não local que depende da direção e dos pares de feixes. Isso pode melhorar a precisão, mas também exige a reconstrução da matriz de absorção para as direções da grade do master pattern, podendo, portanto, aumentar substancialmente o tempo de cálculo.

Parâmetros práticos¶

Número de feixes: Poucos feixes perdem os detalhes das bandas de Kikuchi e a estrutura de bandas de HOLZ. Eixos de zona de baixos índices podem exigir várias centenas de feixes.
Matrizes de profundidade e energia: Se forem mais grosseiras que a escala de variação do peso de Monte Carlo \(W(E,z;\widehat{\mathbf s})\), a largura de banda dependente da energia e os efeitos de profundidade de canalização são suprimidos pela média.
Geometria do detector: O centro do padrão, a distância da tela e a inclinação da amostra determinam o mapeamento \(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p)\), de modo que o detector pattern pode mudar mesmo quando o master pattern permanece inalterado.
Interpretação da reciprocidade: O master pattern não é a imagem do detector. Ele só se torna um detector pattern após a ponderação de Monte Carlo e a projeção no detector.
Fundo de TDS: Habilite-o para comparações quantitativas de contraste de bandas. Desabilite-o quando a estrutura geométrica de Kikuchi for mais fácil de inspecionar sem o fundo suave.