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EBSD 計算

EBSD（電子背向散射繞射）使用與 CBED 和 STEM 相同的 Bethe/布洛赫波核心，但問題的提法不同。CBED 和 STEM 是入射束問題：一束電子波從試樣外部進入，並計算其出射波。EBSD 是出射方向問題：在試樣內部經歷了非彈性散射的電子作為背向散射電子射出，計算所要回答的是有多少強度沿每個外部方向離開。

ReciPro 透過倒易定理將該出射方向問題轉化為一個普通的入射束問題。它首先計算方向空間中的 master pattern，然後將該 master pattern 與蒙地卡羅的深度 / 能量 / 方向權重以及偵測器幾何相結合，形成偵測器圖樣。

用倒易定理的重新表述

如果直接計算從內部源點 \(\mathbf r_n\) 到外部方向 \(\widehat{\mathbf s}\) 的振幅，那麼對每一個源點都需要一個單獨的散射問題。這並不現實。

倒易定理將該問題重寫如下：一個從 \(\mathbf r_n\) 出發的電子出現在遠場方向 \(\widehat{\mathbf s}\) 上的振幅，等於一束從外部方向 \(-\widehat{\mathbf s}\) 入射的倒易波在 \(\mathbf r_n\) 處的振幅。這束倒易波是一個普通的 Bethe/布洛赫波解。將其記為 \(\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r)\)，則沿方向 \(\widehat{\mathbf s}\) 的 EBSD 強度可以寫為

\[I_{\mathrm{EBSD}}(\widehat{\mathbf s};E,z)\propto \sum_n \sigma_n(E,z)\, \left|\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r_n;E,z)\right|^2\]

其中 \(\sigma_n(E,z)\) 是在原子位置 \(\mathbf r_n\) 附近、於能量 \(E\) 和深度 \(z\) 處發生非彈性散射進入背向散射通道的權重。這些源項作為強度相加，而不是作為同調振幅之和相加，因為假定非彈性散射會破壞不同源位置之間的相位關係。

Master Pattern

EBSD master pattern 將上式中與晶體相關的動力學繞射部分儲存在一個方向網格上。從概念上講，

\[M(\widehat{\mathbf s};E,z)= \sum_n w_n(E,z)\, \left|\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r_n)\right|^2\]

其中 \(w_n\) 是在原子位置 \(\mathbf r_n\) 處的晶體側非彈性源權重。ReciPro 使用經驗權重

\[w_n \propto Z_n^{1.7}\,\mathrm{occ}_n\]

其中 \(Z_n\) 為原子序數，\(\mathrm{occ}_n\) 為佔有率。這與蒙地卡羅產生的傳輸深度 / 能量分布是分開的。

在實作中，倒易布洛赫波在每個原子位置處被求值：

\[\beta_n^{(j)}= \alpha^{(j)} \sum_{\mathbf g}C_{\mathbf g}^{(j)} \exp\!\left[2\pi i(\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)\cdot\mathbf r_n\right]\]

隨後程式碼構造布洛赫波對矩陣

\[S_{jj'}=\sum_n w_n\,\beta_n^{(j)}\,\overline{\beta_n^{(j')}}\]

以及解析的厚度積分

\[\mathcal F_{jj'}(t)= \frac{\exp\!\left[2\pi i(\gamma^{(j)}-\overline{\gamma^{(j')}})t\right]-1} {2\pi i(\gamma^{(j)}-\overline{\gamma^{(j')}})}\]

從而 master pattern 被求值為

\[M(\widehat{\mathbf s};E,t)= \mathrm{Re}\left\{\sum_{j,j'}S_{jj'}(E)\,\mathcal F_{jj'}(t)\right\}\]

在分母接近零的退化極限下，\(\mathcal F_{jj'}(t)\to t\)。

方向空間取樣

master pattern 本身並不是偵測器影像；它是晶體固定方向空間中的強度分布。ReciPro 用等面積的 Roşca–Lambert 投影對該方向空間進行取樣，並將 \(+Z\) 與 \(-Z\) 兩個半球儲存為各自獨立的平面陣列。等面積取樣減小了兩極與赤道之間的密度偏差。

在此階段，master pattern 依賴於晶體結構、加速電壓、深度、能量和吸收模型。諸如圖樣中心和螢幕位置之類的偵測器幾何尚未套用。

蒙地卡羅權重與偵測器圖樣

為了得到接近實驗可觀測量的 EBSD 偵測器圖樣，必須按照從每個深度、能量和方向射出的背向散射電子數量對 master pattern 加權。將該傳輸權重記為

\[W(E,z;\widehat{\mathbf s})\]

並以 \(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p)\) 表示與偵測器像素 \(\mathbf p\) 相對應的晶體固定方向，則最終的偵測器圖樣為

\[P(\mathbf p)= \sum_{i,j} W(E_i,z_j;\widehat{\mathbf s}(\mathbf p))\, M(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p);E_i,z_j)\]

即一個對能量和深度的離散求和。

蒙地卡羅部分追蹤彈性散射、非彈性散射、能量損失以及通過試樣表面的逸出。對於背向散射電子，它構建深度、能量和出射方向的分布。ReciPro 區分兩類模型：一類使用最後一次非彈性散射位置以及其後緊接的能量作為有效源，另一類使用逸出深度和逸出能量。

源深度與路徑長度

根據相反定理，方向 \(\widehat{\mathbf s}\) 的 master pattern 被當作沿 \(-\widehat{\mathbf s}\) 入射的平面波問題求解，並且對每個方向都把晶體表面視為垂直於 \(\widehat{\mathbf s}\)。因此其厚度座標 \(t\) 是沿出射方向量測的長度。與此不同，蒙地卡羅給出的源深度 \(z\) 是沿傾斜試樣表面的法線方向量測的深度。設出射方向與表面法線的夾角為 \(\chi\)、\(\mu=\cos\chi\)，則深度為 \(z\) 的源沿出射方向到表面的路徑長度為

\[t=\frac{z}{\mu}\]

ReciPro 對每個出射方向的分箱與每個能量，以指數分布 \(\propto e^{-z/\lambda_z(E)}\) 擬合深度分布，在偵測器的每個像素上以該像素的 \(\mu\) 換算為 \(\lambda_t=\lambda_z/\mu\)，再將在深度陣列範圍內正規化的分布依 master pattern 的每個厚度區間積分，作為權重。因此上式求和中的深度下標遍歷厚度 \(t_j\)，像素的權重不僅取決於 \(\widehat{\mathbf s}\)，也取決於該像素的 \(\mu\)。出射越掠射（\(\mu\) 越小），同一深度的源經過的路徑越長，權重便移向更厚的切片。

自動設定的深度陣列以到達偵測器之電子的路徑長度 \(z/\mu\) 的第 99.9 百分位數（無條件進位至 2 位有效數字）為上限，由越靠近表面越密的 40 個不等間距點組成。

TDS 背景與吸收模型

EBSD 圖樣不僅包含幾何菊池帶結構，還包含來自熱漫散射（TDS）的平滑背景。當啟用 IncludeTDSBackground 時，ReciPro 將散射進入後半球的 TDS 分量，

\[\pi/2\leq\theta\leq\pi\]

作為吸收矩陣 \(\mu_{\mathrm{back}}\) 求值，並使用與 master pattern 相同的布洛赫波對求和來添加背景強度。由於重複使用了同一個本徵解，TDS 背景所增加的額外開銷相對較少。

當啟用 UseNonLocalAbsorption 時，吸收位能不再僅作為 \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\) 處理，而是作為依賴於方向和束對的非局域形式處理。這可以提高精度，但同時也需要為 master pattern 網格中的各個方向重建吸收矩陣，因此可能顯著增加計算時間。

實用參數

  • 束數：束數過少會丟失菊池帶細節和 HOLZ 帶結構。低指數晶帶軸可能需要數百束。
  • 深度和能量陣列：如果它們比蒙地卡羅權重 \(W(E,z;\widehat{\mathbf s})\) 的變化尺度更粗，則與能量相關的帶寬以及通道深度效應會被平均掉。
  • 偵測器幾何：圖樣中心、螢幕距離和試樣傾斜決定了映射 \(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p)\)，因此即使 master pattern 不變，偵測器圖樣也可能改變。
  • 倒易性解釋：master pattern 不是偵測器影像。只有在經過蒙地卡羅加權和偵測器投影之後，它才成為偵測器圖樣。
  • TDS 背景：在進行定量帶襯度對比時啟用它。在不帶平滑背景時幾何菊池結構更易於檢視的情況下，則停用它。

另請參閱