Cálculo dinâmico (núcleo comum)¶

Os simuladores de difração e de imagem do ReciPro compartilham um núcleo dinâmico de espalhamento de ondas de Bloch (Bethe) comum, descrito nesta página (potencial do cristal, termos de Debye–Waller e de absorção, o problema de autovalores, os coeficientes de transmissão e as intensidades). Os protocolos específicos de cada método se baseiam neste núcleo:

Para a teoria subjacente (equação de Schrödinger, teorema de Bloch, equação dinâmica de Bethe, o problema de autovalores e as definições da esfera de Ewald), veja Apêndice A3. Difração dinâmica pelo método de ondas de Bloch.

Constantes¶

\[\gamma = \frac{m}{m_0} = 1 + \frac{e_0 E}{m_0 c^2}, \qquad \beta = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2} = \sqrt{1 - \gamma^{-2}}\]

\(\gamma\) : fator de correção relativística; \(E\) : tensão de aceleração; \(m_0\), \(m\) : massa de repouso e massa relativística do elétron.
\(\Omega\) : volume da célula unitária.
\(k_{vac}\) : número de onda do elétron no vácuo.

Potencial do cristal para o espalhamento elástico¶

O coeficiente de Fourier do potencial do cristal para o espalhamento elástico, somado sobre os átomos \(k\) nas posições \(\mathbf r_k\), é

\[U_{\mathbf g}^{C} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f_k(\mathbf g)\,\exp\!\left[2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g, M_k)\]

onde o fator de espalhamento atômico usa uma parametrização gaussiana \((a_i, b_i)\),

\[f_k(\mathbf g) = \sum_i a_i\exp\!\left[-b_i\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

e \(T_k\) é o fator de Debye–Waller (temperatura). Para um fator de temperatura isotrópico \(M_k\),

\[T_k(\mathbf g, M_k) = \exp\!\left[-M_k\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

e para um tensor anisotrópico de deslocamento atômico \(\mathbf U\),

\[T_k(\mathbf g) = \exp\!\left[-2\pi\,\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g\right]\]

com a forma quadrática

\[\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g = \begin{pmatrix} g_x & g_y & g_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} & U_{13}\\ U_{12} & U_{22} & U_{23}\\ U_{13} & U_{23} & U_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = g_x^2 U_{11} + g_y^2 U_{22} + g_z^2 U_{33} + 2\!\left(g_x g_y U_{12} + g_y g_z U_{23} + g_x g_z U_{13}\right)\]

As componentes cartesianas de \(\mathbf g\) são obtidas a partir dos vetores da base recíproca e dos índices de Miller:

\[\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x^{*} & b_x^{*} & c_x^{*}\\ a_y^{*} & b_y^{*} & c_y^{*}\\ a_z^{*} & b_z^{*} & c_z^{*}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} h\\ k\\ l\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h\,a_x^{*} + k\,b_x^{*} + l\,c_x^{*}\\ h\,a_y^{*} + k\,b_y^{*} + l\,c_y^{*}\\ h\,a_z^{*} + k\,b_z^{*} + l\,c_z^{*}\end{pmatrix}\]

Note

Os valores \(U_{\mathbf g}\) exibidos na tabela Details do simulador de difração são os valores brutos antes da aplicação do fator relativístico \(\gamma\).

Potencial de absorção (espalhamento térmico difuso)¶

O potencial imaginário (de absorção) que leva em conta o espalhamento térmico difuso (TDS) é

\[U'_{g,h} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f'_k(\mathbf g,\mathbf h)\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf g-\mathbf h)\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g-\mathbf h, M_k)\]

com o fator de espalhamento de absorção

\[f'_k(\mathbf g,\mathbf h) = \frac{2h}{\beta\, m_0\, c}\sum_i\sum_j a_i a_j\left[\frac{1}{b_i+b_j}\exp\!\left\{-\frac{b_i b_j}{b_i+b_j}\,\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}\right\} - \frac{1}{b_i+b_j+2M_k}\exp\!\left\{-\frac{b_i b_j - M_k^2}{b_i+b_j+2M_k}\,\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}\right\}\right]\]

Aqui \(h\) no pré-fator \(2h/(\beta m_0 c)\) é a constante de Planck (não um índice de feixe). Os coeficientes \(U^{C}\) e \(U'\) são os elementos da matriz de estrutura \(\mathbf A\) no Apêndice A3.

Da solução de autovalores à intensidade difratada¶

A diagonalização da matriz de estrutura (veja o Apêndice A3) fornece os autovalores \(\lambda^{(j)}\) e as amplitudes das ondas de Bloch \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). As amplitudes de onda na superfície de saída — os coeficientes de transmissão \(T_{\mathbf g}\) — para a espessura da amostra \(t\) são

\[\begin{pmatrix} T_0\\ T_g\\ T_h\\ \vdots\end{pmatrix} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t} \begin{pmatrix} e^{\pi i P_0 t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{\pi i P_g t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{\pi i P_h t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0^{(1)} & C_0^{(2)} & C_0^{(3)} & \cdots\\ C_g^{(1)} & C_g^{(2)} & C_g^{(3)} & \cdots\\ C_h^{(1)} & C_h^{(2)} & C_h^{(3)} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2\pi i\lambda^{(1)} t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{2\pi i\lambda^{(2)} t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{2\pi i\lambda^{(3)} t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^{(1)}\\ \alpha^{(2)}\\ \alpha^{(3)}\\ \vdots\end{pmatrix}\]

ou, componente a componente,

\[T_{\mathbf g} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t}\; e^{\pi i P_g t}\sum_j C_{\mathbf g}^{(j)}\,e^{2\pi i\lambda^{(j)} t}\,\alpha^{(j)}\]

\(\alpha^{(j)}\) : os coeficientes de ponderação (excitação) de cada onda de Bloch, fixados pela condição de contorno na superfície de entrada.
\(t\) : espessura da amostra.

A intensidade difratada do feixe \(\mathbf g\) é então

\[I_{\mathbf g} = \left|T_{\mathbf g}\right|^2\]

Cálculo de SAED de feixe paralelo¶

A SAED comum (difração de elétrons de área selecionada) é tratada como difração de feixe paralelo com uma única direção de incidência. Diferentemente do CBED, ela não varre muitos pontos \(\mathbf K\) dentro de uma abertura convergente. A orientação atual do cristal e a tensão de aceleração definem um vetor de onda incidente \(\mathbf k_0\), e o ReciPro avalia a posição e a intensidade de cada reflexão \(\mathbf g\) para essa condição.

O cálculo pode ser organizado da seguinte forma.

Use a orientação do cristal, a tensão de aceleração, o comprimento de onda, o comprimento de câmera e a geometria do detector para definir o vetor de onda incidente no vácuo \(\mathbf k_{vac}\) e o plano do detector.
Aplique a correção de refração a partir do potencial interno médio \(U_0\) e obtenha o vetor de onda de referência do cristal \(\mathbf k_0\).
Enumere os vetores candidatos da rede recíproca \(\mathbf g\) e avalie sua distância à esfera de Ewald por meio de grandezas como \(Q_g=|\mathbf k_0|^2-|\mathbf k_0+\mathbf g|^2\) e o erro de excitação \(S_g\).
Calcule a intensidade de cada reflexão usando o modo de intensidade selecionado.
Projete a direção de \(\mathbf k_0+\mathbf g\) sobre o plano do detector e desenhe-a como um ponto de difração.

O modo SAED do ReciPro oferece principalmente os seguintes modelos de intensidade.

Modo	Cálculo	Uso típico
Apenas erro de excitação	Estima a intensidade apenas a partir de quão próxima a reflexão está da esfera de Ewald. Os fatores de estrutura não são usados.	Verificações rápidas de posições de pontos e da geometria do eixo de zona.
Cinemática + erro de excitação	Usa \(\lvert F_{\mathbf g}\rvert^2\) junto com o amortecimento pelo erro de excitação. O espalhamento múltiplo não é incluído.	Amostras finas, difração fraca e verificações de regras de extinção.
Teoria dinâmica	Usa o núcleo de ondas de Bloch desta página para obter \(T_{\mathbf g}(t)\) e define \(I_{\mathbf g}=\lvert T_{\mathbf g}\rvert^2\).	Dependência da espessura, espalhamento múltiplo e reflexões fortes de difração de elétrons.

Os modos de exibição dos pontos da rede recíproca, como seções transversais de esfera sólida e pontos gaussianos, controlam principalmente o perfil de desenho. No modo de teoria dinâmica, a intensidade física da reflexão é determinada pelo valor de onda de Bloch \(|T_{\mathbf g}|^2\), e essa intensidade é então atribuída ao perfil de exibição escolhido.

A PED pode ser vista como a integração deste cálculo de SAED de feixe paralelo sobre as direções de precessão, enquanto o CBED pode ser visto como a disposição de muitas direções de incidência dentro dos discos de difração.

Potencial interno médio e refração¶

Quando o elétron entra no cristal a partir do vácuo, o potencial interno médio \(U_0\) altera ligeiramente o vetor de onda de referência dentro do cristal. A componente paralela à superfície é fixada pela condição de contorno, de modo que o vetor de onda no vácuo \(\mathbf k_{vac}\) e o vetor de onda de referência do cristal \(\mathbf k_0\) podem ser escritos como

\[|\mathbf k_0|^2 = k_{vac}^2 + U_0, \qquad \mathbf k_0 = \mathbf k_{vac} + x\,\hat{\mathbf n}\]

onde \(x\) é a correção ao longo da normal à superfície. Ela é obtida de

\[x^2 + 2(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf k_{vac})x - U_0 = 0\]

Este \(\mathbf k_0\) refratado é usado ao avaliar \(P_g\), \(Q_g\), os erros de excitação e a matriz de estrutura \(\mathbf A\) na página de visão geral. O potencial de absorção também possui uma componente \(\mathbf g=\mathbf 0\), \(U'_0\), que atua como uma atenuação média comum para as ondas que se propagam através do cristal.

Seleção de feixes¶

O cálculo de ondas de Bloch não pode incluir infinitos vetores da rede recíproca, portanto o ReciPro seleciona um conjunto finito de feixes \(\{\mathbf g\}\). A grandeza de ordenação é

\[R_{\mathbf g}=|\mathbf g|\,Q_{\mathbf g}^{\,2}\]

e os feixes com \(R_{\mathbf g}\) menor são incluídos primeiro. Isso favorece feixes com vetores da rede recíproca curtos que também estão próximos da esfera de Ewald.

Em cálculos práticos, é importante verificar quanto a intensidade ou a imagem muda à medida que o número máximo de ondas de Bloch é aumentado. Condições de eixo de zona fortes e padrões CBED com detalhes de linhas HOLZ podem exigir várias centenas de feixes, enquanto condições fora do eixo de zona podem convergir com menos feixes.

Escolha do solucionador¶

Depois que o conjunto finito de feixes é escolhido, o ReciPro usa principalmente duas maneiras equivalentes de obter os coeficientes de transmissão.

Método	Característica	Uso típico
Método de autovalores	Diagonaliza a matriz de estrutura \(\mathbf A\) e obtém os autovalores \(\lambda^{(j)}\) e os autovetores \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). A dependência da espessura é então avaliada por meio de \(e^{2\pi i\lambda^{(j)}t}\).	Séries de espessura, e cálculos de CBED e EBSD que varrem muitas profundidades ou energias
Método da exponencial de matriz	Avalia diretamente a matriz de espalhamento \(\exp(2\pi i\mathbf A t)\) sem usar explicitamente uma decomposição em autovalores.	Cálculos STEM de espessura única e cálculos integrados por fatias

Ambos os métodos resolvem a mesma equação de Bethe. Na implementação, o código escolhe entre o método de autovalores, o método da exponencial de matriz, rotinas gerenciadas .NET e a biblioteca nativa Eigen de acordo com o número de feixes, o vetor de espessuras e a disponibilidade da biblioteca nativa.

Verificações de convergência¶

Para cálculos dinâmicos, verificar se a base é grande o suficiente é tão importante quanto a própria fórmula. Um diagnóstico útil é a variação relativa quando a contagem de feixes é aumentada de \(N-\Delta N\) para \(N\):

\[\Delta I_N=\frac{|I_N-I_{N-\Delta N}|}{I_N}\]

Para STEM, verifique isso junto com a configuração do ângulo do detector. Para CBED, inspecione os interiores dos discos e as linhas HOLZ. Para EBSD, compare também as larguras das bandas de Kikuchi e o fundo no master pattern. Isso conecta a convergência numérica com as características físicas visíveis no resultado simulado.