Ir para o conteúdo

Atenuação & Transporte

Os fatores de espalhamento descrevem um único evento de espalhamento; esta página trata do que acontece com o feixe como um todo à medida que ele atravessa o sólido — quão rapidamente ele é removido, quão profundamente ele penetra e (no caso dos elétrons) como ele é desacelerado. A física relevante é completamente diferente para os três feixes, razão pela qual a aba Atenuação & Transporte altera de forma tão drástica seus gráficos e tabelas conforme a radiação.

Atenuação & Transporte — X-ray

Atenuação & Transporte — electron

Atenuação & Transporte — neutron

Raios X — absorção e refração

Atenuação de Beer–Lambert

Um feixe de raios X monocromático é removido exponencialmente com o comprimento do caminho:

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : o coeficiente de atenuação mássico (cm²/g) — a grandeza tabelada, independente da densidade.
  • \(\mu\) : o coeficiente de atenuação linear (cm⁻¹) na densidade real \(\rho\) do material.
  • \(1/\mu\) : o comprimento de atenuação (a intensidade cai para \(1/e\)).
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : a camada semirredutora.
  • \(T = e^{-\mu t}\) : a transmissão para uma amostra de espessura \(t\).

Do que se compõe \(\mu/\rho\)

A atenuação mássica total é a soma de três processos, representados separadamente na aba:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

Para um composto, a atenuação mássica é a soma ponderada pela massa dos valores elementares, enquanto o coeficiente linear soma diretamente as seções de choque atômicas:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

com \(w_i\) as frações mássicas e \(n_i\) as densidades numéricas. As três componentes são:

  • Fotoabsorção \(\tau\) — um fóton é absorvido e ejeta um elétron ligado. Ela domina em baixa energia, caindo aproximadamente como \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) entre as bordas. Este é o termo que ejeta o elétron de camada interna cuja relaxação produz fluorescência.
  • Espalhamento Rayleigh (coerente) — espalhamento elástico por elétrons ligados, relacionado ao fator de forma coerente \(F(q)\).
  • Espalhamento Compton (incoerente) — espalhamento inelástico por elétrons fracamente ligados, relacionado à função incoerente \(S(q)\); sua importância relativa cresce em alta energia. O fóton espalhado tem seu comprimento de onda deslocado em
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

de modo que um evento Compton remove o fóton do feixe monocromático (uma perda inelástica).

As bordas de absorção são os aumentos abruptos de \(\tau\) quando a energia do fóton ultrapassa a energia de ligação de uma camada (\(K\), \(L_3\), …), abrindo um novo canal de ionização. A razão de salto é o fator pelo qual \(\mu/\rho\) aumenta ao cruzar a borda; o ReciPro lista as energias e os saltos das bordas \(K\) e \(L_3\). O coeficiente mássico de absorção de energia \(\mu_\text{en}/\rho\) é a parte de \(\mu/\rho\) que deposita energia localmente (excluindo a energia carregada pelos fótons espalhados e fluorescentes).

Refração, ângulo crítico e SLD

O índice de refração de raios X de um sólido é ligeiramente menor que 1, escrito como

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

onde \(n_i\) é a densidade numérica do elemento \(i\) e \(r_e\) o raio clássico do elétron. Aqui \(\mu_\text{abs}\) é a parte absortiva da atenuação (vinculada a \(f''\)); ela não precisa ser igual ao \(\mu\) total acima, que também contém o espalhamento Rayleigh e Compton. Como \(n<1\), os raios X sofrem reflexão externa total abaixo de um pequeno ângulo crítico rasante

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

Isto decorre da geometria de refração: para um ângulo rasante \(\alpha\), o vetor de onda vertical dentro do sólido é \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\), que atinge zero em \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\); abaixo disso a onda não consegue se propagar para dentro do material e é totalmente refletida. A parte real da densidade de comprimento de espalhamento, \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\), fixa \(\delta\) e é o análogo de raios X da SLD de nêutrons usada em refletometria. O ReciPro reporta \(\delta\), \(\beta\), \(\theta_c\) e a SLD de raios X na tabela escalar.

Elétrons — espalhamento, desaceleração e alcance

Um elétron rápido em um sólido tanto espalha (mudando de direção) quanto perde energia continuamente, de modo que seu transporte necessita de mais de uma escala de comprimento.

Espalhamento elástico e livre caminho médio

A seção de choque elástica \(\sigma_\text{el}\) mede com que facilidade um único átomo desvia o elétron. O ReciPro usa as seções de choque NIST Mott (uma solução por ondas parciais da equação relativística de Dirac no potencial atômico blindado), válidas aproximadamente no intervalo 50 eV – 36.4 keV; fora desse intervalo, ou para elementos não presentes na tabela, ele recorre à aproximação de Rutherford blindado. As duas não precisam se conectar de forma perfeitamente suave na fronteira. A seção de choque total é a integral angular da diferencial,

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

onde o parâmetro de blindagem \(\eta\) arredonda a divergência para a frente da seção de choque de Rutherford pura; o tratamento de Mott inclui adicionalmente os efeitos de spin e relativísticos que o Rutherford blindado omite. A partir da seção de choque,

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

fornecem o coeficiente de espalhamento macroscópico e o livre caminho médio elástico — a distância média entre eventos elásticos.

Poder de freamento e perdas inelásticas

A energia é perdida principalmente em excitações eletrônicas (ionização, plasmons). O poder de freamento é definido como uma grandeza positiva,

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

onde aqui \(s\) é o comprimento do caminho ao longo da trajetória (a variável da curva |dE/ds| da aba), não a variável de espalhamento \(\sin\theta/\lambda\) usada em outras partes deste apêndice. O gradiente de energia \(dE/ds\) é negativo, de modo que a aba traça \(S\) para cima. Em energias de keV, ele segue, conceitualmente, a forma de Bethe

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

com \(J\) a energia média de excitação do sólido. Este esboço não relativístico mostra apenas o escalonamento; o ReciPro avalia uma forma corrigida/empírica (do tipo Joy–Luo) que permanece bem-comportada em baixa energia. A energia de plasmon \(E_p\) na tabela escalar é uma caracterização relacionada, mas distinta, das mesmas excitações eletrônicas. O livre caminho médio inelástico (IMFP) é a distância média correspondente entre colisões com perda de energia; o ReciPro pode avaliá-la a partir da fórmula preditiva TPP-2M,

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

com \(E\) em eV, \(\lambda_\text{in}\) em Å, e os parâmetros \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\) construídos a partir de \(E_p\), da densidade, do gap de banda e do número de elétrons de valência.

Dois tipos de alcance

  • Alcance CSDA — a aproximação de desaceleração contínua (continuous-slowing-down approximation) integra o poder de freamento para fornecer o comprimento total do caminho percorrido antes de o elétron parar:
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

(Na prática, a integral desce até um valor de corte de baixa energia \(E_\text{cut}\), abaixo do qual o esboço de Bethe acima não mais se aplica.)

  • Alcance de Kanaya–Okayama — uma estimativa empírica amplamente usada da profundidade de penetração (não do comprimento do caminho), levando em conta a trajetória tortuosa e espalhada:
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

Os dois respondem a perguntas diferentes — distância total percorrida vs. quão fundo no sólido o elétron chega — de modo que diferem em valor, e o ReciPro reporta ambos. Esses alcances definem o volume de interação por trás das simulações de trajetórias eletrônicas e EBSD.

Nêutrons — seção de choque macroscópica e a lei 1/v

Para nêutrons não há curva de atenuação dependente da energia; a interação é fixada por seções de choque nucleares. O feixe é atenuado pela seção de choque total macroscópica, ela própria a soma das partes coerente, incoerente e de absorção:

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

com comprimento de atenuação \(1/\Sigma_\text{total}\). A parte de absorção depende da velocidade \(v\) do nêutron (portanto do comprimento de onda): para a maioria dos nuclídeos, o tempo passado próximo ao núcleo escala como \(1/v\), resultando na lei 1/v

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

Alguns absorvedores fortes (Cd, Sm, Eu, Gd) têm ressonâncias de baixa energia que violam o escalonamento 1/v simples; o ReciPro sinaliza esses nuclídeos. A densidade de comprimento de espalhamento coerente, \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\), é o análogo de nêutrons da SLD de raios X acima.

Penetração em um relance

Os três feixes sondam profundidades muito diferentes — a razão prática pela qual respondem a perguntas diferentes:

Feixe Amostra típica Penetração (ordem de grandeza) Determinada por
Raios X (≈8 keV) pó / monocristal 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
Elétron (≈200 keV) folha TEM 10–100 nm (útil) MFP elástico + perda inelástica
Nêutron (térmico) volume, tamanho de cm 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

As mesmas escalas de comprimento explicam por que os elétrons exigem amostras ultrafinas e teoria dinâmica, enquanto os nêutrons enxergam uma amostra volumétrica inteira sob cinemática de espalhamento simples.

Veja também