Расчёт EBSD¶

EBSD (дифракция обратно рассеянных электронов) использует то же ядро Бете / блоховских волн, что CBED и STEM, но задача ставится иначе. CBED и STEM — это задачи о падающем пучке: электронная волна входит в образец извне, и вычисляется выходящая волна. EBSD — это задача о направлении выхода: электроны, испытавшие неупругое рассеяние внутри образца, выходят как обратно рассеянные электроны, и расчёт определяет, сколько интенсивности уходит в каждое внешнее направление.

ReciPro преобразует эту задачу о направлении выхода в обычную задачу о падающем пучке с помощью теоремы взаимности. Сначала вычисляется master pattern в пространстве направлений, а затем этот master pattern объединяется с весами Монте-Карло по глубине / энергии / направлению и геометрией детектора для формирования картины на детекторе.

Переформулировка с помощью теоремы взаимности¶

Если бы амплитуда от внутренней точки-источника \(\mathbf r_n\) во внешнее направление \(\widehat{\mathbf s}\) вычислялась напрямую, для каждой точки-источника потребовалась бы отдельная задача рассеяния. Это непрактично.

Теорема взаимности переписывает задачу так: амплитуда того, что электрон, стартующий из \(\mathbf r_n\), появится в направлении дальнего поля \(\widehat{\mathbf s}\), равна амплитуде — в точке \(\mathbf r_n\) — взаимной волны, падающей из внешнего направления \(-\widehat{\mathbf s}\). Эта взаимная волна является обычным решением Бете / блоховских волн. Записывая её как \(\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r)\), интенсивность EBSD в направлении \(\widehat{\mathbf s}\) можно записать как

\[I_{\mathrm{EBSD}}(\widehat{\mathbf s};E,z)\propto \sum_n \sigma_n(E,z)\, \left|\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r_n;E,z)\right|^2\]

где \(\sigma_n(E,z)\) — вес неупругого рассеяния вблизи положения атома \(\mathbf r_n\) в канал обратного рассеяния при энергии \(E\) и глубине \(z\). Члены-источники складываются как интенсивности, а не как когерентная сумма амплитуд, поскольку предполагается, что неупругое рассеяние разрушает фазовую связь между разными положениями источников.

Master pattern¶

EBSD master pattern хранит специфичную для кристалла часть динамической дифракции из приведённого выше выражения на сетке направлений. Концептуально,

\[M(\widehat{\mathbf s};E,z)= \sum_n w_n(E,z)\, \left|\psi_{\widehat{\mathbf s}}^{\mathrm{rec}}(\mathbf r_n)\right|^2\]

где \(w_n\) — кристаллическая часть веса неупругого источника в положении атома \(\mathbf r_n\). ReciPro использует эмпирический вес

\[w_n \propto Z_n^{1.7}\,\mathrm{occ}_n\]

с атомным номером \(Z_n\) и заселённостью \(\mathrm{occ}_n\). Это отделено от распределения по транспортной глубине / энергии, получаемого методом Монте-Карло.

В реализации взаимная блоховская волна вычисляется в каждом положении атома:

\[\beta_n^{(j)}= \alpha^{(j)} \sum_{\mathbf g}C_{\mathbf g}^{(j)} \exp\!\left[2\pi i(\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)\cdot\mathbf r_n\right]\]

Затем код формирует матрицу пар блоховских волн

\[S_{jj'}=\sum_n w_n\,\beta_n^{(j)}\,\overline{\beta_n^{(j')}}\]

и аналитический интеграл по толщине

\[\mathcal F_{jj'}(t)= \frac{\exp\!\left[2\pi i(\gamma^{(j)}-\overline{\gamma^{(j')}})t\right]-1} {2\pi i(\gamma^{(j)}-\overline{\gamma^{(j')}})}\]

так что master pattern вычисляется как

\[M(\widehat{\mathbf s};E,t)= \mathrm{Re}\left\{\sum_{j,j'}S_{jj'}(E)\,\mathcal F_{jj'}(t)\right\}\]

В вырожденном пределе, когда знаменатель близок к нулю, \(\mathcal F_{jj'}(t)\to t\).

Дискретизация пространства направлений¶

Master pattern — это не само изображение детектора; это распределение интенсивности в связанном с кристаллом пространстве направлений. ReciPro дискретизирует это пространство направлений равновеликой проекцией Роски-Ламберта и хранит полусферы \(+Z\) и \(-Z\) как отдельные плоские массивы. Равновеликая дискретизация снижает смещение плотности между полюсами и экватором.

На этом этапе master pattern зависит от структуры кристалла, ускоряющего напряжения, глубины, энергии и модели поглощения. Геометрия детектора, такая как центр картины и положение экрана, ещё не применена.

Веса Монте-Карло и картина на детекторе¶

Чтобы получить картину на детекторе EBSD, близкую к экспериментальной наблюдаемой величине, master pattern нужно взвесить по тому, сколько обратно рассеянных электронов выходит с каждой глубины, энергии и направления. Записывая этот транспортный вес как

\[W(E,z;\widehat{\mathbf s})\]

и используя \(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p)\) для связанного с кристаллом направления, соответствующего пикселю детектора \(\mathbf p\), окончательная картина на детекторе равна

\[P(\mathbf p)= \sum_{i,j} W(E_i,z_j;\widehat{\mathbf s}(\mathbf p))\, M(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p);E_i,z_j)\]

как дискретная сумма по энергии и глубине.

Часть Монте-Карло отслеживает упругое рассеяние, неупругое рассеяние, потерю энергии и выход через поверхность образца. Для обратно рассеянных электронов она строит распределения глубины, энергии и направления выхода. ReciPro различает модели, в которых в качестве эффективного источника используется последнее положение неупругого рассеяния и энергия сразу после него, и модели, в которых используются глубина выхода и энергия выхода.

Фон TDS и модель поглощения¶

Картины EBSD содержат не только геометрическую структуру линий Кикучи, но и гладкий фон от теплового диффузного рассеяния (TDS). Когда включён IncludeTDSBackground, ReciPro вычисляет компоненту TDS, рассеянную в заднюю полусферу,

\[\pi/2\leq\theta\leq\pi\]

как матрицу поглощения \(\mu_{\mathrm{back}}\) и добавляет интенсивность фона с помощью того же суммирования по парам блоховских волн, что и для master pattern. Поскольку повторно используется то же собственное решение, фон TDS добавляет относительно немного дополнительных затрат.

Когда включён UseNonLocalAbsorption, поглощающий потенциал трактуется не просто как \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\), а как нелокальная форма, зависящая от направления и пар пучков. Это может повысить точность, но также требует перестроения матрицы поглощения для направлений в сетке master pattern, поэтому может существенно увеличить время расчёта.

Практические параметры¶

Число пучков: Слишком малое число пучков приводит к потере деталей линий Кикучи и структуры линий HOLZ. Низкоиндексные оси зон могут требовать нескольких сотен пучков.
Массивы глубины и энергии: Если они грубее, чем масштаб изменения веса Монте-Карло \(W(E,z;\widehat{\mathbf s})\), зависящие от энергии ширина линий и эффекты глубины каналирования усредняются.
Геометрия детектора: Центр картины, расстояние до экрана и наклон образца определяют отображение \(\widehat{\mathbf s}(\mathbf p)\), поэтому картина на детекторе может меняться, даже когда master pattern не изменяется.
Интерпретация взаимности: Master pattern — это не изображение детектора. Он становится картиной на детекторе только после взвешивания методом Монте-Карло и проекции на детектор.
Фон TDS: Включайте его для количественных сравнений контраста линий. Отключайте его, когда геометрическую структуру Кикучи легче рассматривать без гладкого фона.