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Anhang A3. Dynamische Beugung mit der Bloch-Wellen-Methode

Dieser Anhang gibt einen Überblick über die Theorie der dynamischen Elektronenbeugung, die ReciPros Simulatoren Beugungssimulator, CBED und HRTEM/STEM verwenden. ReciPro folgt der Bethe-/Bloch-Wellen-Formulierung. Die schrittweise Berechnung (optisches Potential, Transmissionskoeffizienten, Intensitäten) ist unter Dynamische Berechnung (gemeinsamer Kern) beschrieben.

Die Wellengleichung im Kristall

Ein schnelles Elektron, das sich durch das periodische elektrostatische Potential eines Kristalls bewegt, gehorcht der (hochenergetischen, stationären) Schrödinger-Gleichung, die sich wie folgt schreiben lässt:

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]
  • \(k_{vac}\) : Wellenzahl des Elektrons im Vakuum.
  • \(U_{\mathbf g}\) : Fourier-Komponente des Kristallpotentials für den reziproken Gittervektor \(\mathbf g\). Da das Potential gitterperiodisch ist, wird es als Fourier-Reihe über das reziproke Gitter geschrieben.

Blochsches Theorem

Da das Potential die Periodizität des Kristallgitters besitzt, sind die Lösungen Bloch-Wellen:

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]
  • \(u(\mathbf r)\) : eine Funktion mit derselben Periodizität wie das Kristallgitter, sodass sie selbst über das reziproke Gitter entwickelt werden kann: \(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\).
  • \(\mathbf{k}^{(j)}\) : der \(j\)-te Bloch-Wellenvektor.
  • \(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : die Amplitude (Eigenvektor-Komponente) des Strahls \(\mathbf g\) in der \(j\)-ten Bloch-Welle.

Bethes dynamische Gleichung

Das Einsetzen der Bloch-Wellen-Entwicklung in die Wellengleichung liefert Bethes dynamische Gleichung — eine gekoppelte Gleichung für jeden Strahl \(\mathbf g\):

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]
  • \(U^C_{\mathbf g}\) : Kristallpotential für die elastische Streuung.
  • \(U'_{\mathbf g}\) : imaginäres (Absorptions-)Potential, das die thermisch diffuse Streuung (TDS) berücksichtigt. Wie es und der Debye–Waller-Faktor eingehen, wird im Berechnungskern ausführlich beschrieben.

Geometrische Definitionen (Ewald-Kugel)

Die oben auftretenden Vektoren und Skalare sind auf der Ewald-Kugel definiert:

Definitionen der in der Bloch-Wellen-Berechnung verwendeten Vektoren und Skalare

  • \(\hat{\mathbf n}\) : Einheitsvektor normal zur Kristalloberfläche.
  • \(\mathbf k\) : einfallender Wellenvektor (seine Spitze liegt auf der Ewald-Kugel); \(\mathbf k_{vac}\) ist der Vakuum-Wellenvektor.
  • \(\mathbf g\) : reziproker Gittervektor; \(\mathbf k + \mathbf g\) zeigt zum reziproken Gitterpunkt.
  • \(\mathbf k^{(j)}\) : der \(j\)-te Bloch-Wellenvektor. Alle Bloch-Wellenvektoren haben dieselbe Tangentialkomponente (Stetigkeit an der Oberfläche) und unterscheiden sich nur entlang \(\hat{\mathbf n}\): \(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\).
  • \(\gamma^{(j)}\) : der \(j\)-te Eigenwert (die Komponente von \(\mathbf k^{(j)}\) entlang \(\hat{\mathbf n}\), gemessen von \(\mathbf k\)).

Aus der Geometrie folgt:

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

und der Anregungsfehler \(S_g\) (die Abweichung des reziproken Gitterpunkts von der Ewald-Kugel) sowie die zur Reihung der Reflexe verwendete Bewertungsfunktion \(R\) lauten:

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

Reduktion auf ein Eigenwertproblem

Schreibt man \(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\) und verwendet \(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\) zusammen mit der Linearisierung \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\), so wird Bethes Gleichung (nach Division durch \(P_g\)) zu einem gewöhnlichen Matrix-Eigenwertproblem:

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]
  • Die Spalten von \(\mathbf{C}\) sind die Eigenvektoren \(C^{(j)}_*\) (die Bloch-Wellen-Amplituden).
  • \(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\) enthält die Eigenwerte \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\).

Explizit ausgeschrieben — mit den Strahlen in der Reihenfolge durchgehender Strahl \(0\), dann \(g\), \(h\), \(\dots\) — lautet dies:

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Die Diagonalisierung von \(\mathbf{A}\) liefert alle Bloch-Wellenvektoren und Amplituden auf einmal. Die Amplituden der gebeugten Strahlen — und damit die Intensitäten — folgen dann aus den Randbedingungen an der Eintritts- und Austrittsfläche sowie aus der Probendicke. Diese Schritte, das optische (komplexe) Potential, der Debye–Waller-Faktor und die Transmissionskoeffizienten \(T_{\mathbf g}\) sind unter Dynamische Berechnung (gemeinsamer Kern) beschrieben.

Hinweis: Die in der Tabelle Details des Beugungssimulators angezeigten \(V_{\mathbf g}\)-Werte sind die Rohwerte vor Anwendung des relativistischen Korrekturfaktors.

Siehe auch