Saltar a contenido

Apéndice A3. Difracción dinámica por el método de ondas de Bloch

Este apéndice ofrece una visión general de la teoría de la difracción dinámica de electrones empleada por los simuladores Simulador de difracción, CBED y HRTEM/STEM de ReciPro. ReciPro sigue la formulación de Bethe / ondas de Bloch. El cálculo paso a paso (potencial óptico, coeficientes de transmisión, intensidades) se describe en Cálculo dinámico (núcleo común).

La ecuación de onda en un cristal

Un electrón rápido que se desplaza a través del potencial electrostático periódico de un cristal obedece la ecuación de Schrödinger (de alta energía, estacionaria), que puede escribirse como

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]
  • \(k_{vac}\) : número de onda del electrón en el vacío.
  • \(U_{\mathbf g}\) : componente de Fourier del potencial del cristal para el vector de la red recíproca \(\mathbf g\). Como el potencial es periódico con la red, se escribe como una serie de Fourier sobre la red recíproca.

Teorema de Bloch

Dado que el potencial posee la periodicidad de la red cristalina, las soluciones son ondas de Bloch:

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]
  • \(u(\mathbf r)\) : una función con la misma periodicidad que la red cristalina, de modo que ella misma puede desarrollarse sobre la red recíproca: \(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\).
  • \(\mathbf{k}^{(j)}\) : el \(j\)-ésimo vector de onda de Bloch.
  • \(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : la amplitud (componente del vector propio) del haz \(\mathbf g\) en la \(j\)-ésima onda de Bloch.

Ecuación dinámica de Bethe

Sustituir el desarrollo en ondas de Bloch en la ecuación de onda da lugar a la ecuación dinámica de Bethe — una ecuación acoplada para cada haz \(\mathbf g\):

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]
  • \(U^C_{\mathbf g}\) : potencial del cristal para la dispersión elástica.
  • \(U'_{\mathbf g}\) : potencial imaginario (de absorción), que tiene en cuenta la dispersión térmica difusa (TDS). Cómo entran este y el factor de Debye–Waller se detalla en el núcleo de cálculo.

Definiciones geométricas (esfera de Ewald)

Los vectores y escalares que aparecen arriba están definidos sobre la esfera de Ewald:

Definiciones de los vectores y escalares usados en el cálculo de ondas de Bloch

  • \(\hat{\mathbf n}\) : vector unitario normal a la superficie del cristal.
  • \(\mathbf k\) : vector de onda incidente (su extremo se sitúa sobre la esfera de Ewald); \(\mathbf k_{vac}\) es el vector de onda en el vacío.
  • \(\mathbf g\) : vector de la red recíproca; \(\mathbf k + \mathbf g\) apunta al punto de la red recíproca.
  • \(\mathbf k^{(j)}\) : el \(j\)-ésimo vector de onda de Bloch. Todos los vectores de onda de Bloch comparten la misma componente tangencial (continuidad a través de la superficie) y difieren solo a lo largo de \(\hat{\mathbf n}\): \(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\).
  • \(\gamma^{(j)}\) : el \(j\)-ésimo valor propio (la componente de \(\mathbf k^{(j)}\) a lo largo de \(\hat{\mathbf n}\), medida desde \(\mathbf k\)).

A partir de la geometría,

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

y el error de excitación \(S_g\) (la desviación del punto de la red recíproca respecto de la esfera de Ewald) junto con la función de evaluación \(R\) utilizada para ordenar las reflexiones son

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

Reducción a un problema de valores propios

Escribiendo \(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\) y usando \(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\) junto con la linealización \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\), la ecuación de Bethe se convierte (tras dividir por \(P_g\)) en un problema matricial de valores propios estándar:

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]
  • Las columnas de \(\mathbf{C}\) son los vectores propios \(C^{(j)}_*\) (las amplitudes de las ondas de Bloch).
  • \(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\) contiene los valores propios \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\).

Escrito explícitamente — ordenando los haces como el haz transmitido \(0\), luego \(g\), \(h\), \(\dots\) — esto es

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

La diagonalización de \(\mathbf{A}\) proporciona todos los vectores de onda de Bloch y las amplitudes de una sola vez. Las amplitudes de los haces difractados — y, por tanto, las intensidades — se obtienen entonces a partir de las condiciones de contorno en las superficies de entrada y de salida y del espesor de la muestra. Esos pasos, el potencial óptico (complejo), el factor de Debye–Waller y los coeficientes de transmisión \(T_{\mathbf g}\) se describen en Cálculo dinámico (núcleo común).

Nota: Los valores de \(V_{\mathbf g}\) mostrados en la tabla Details del simulador de difracción son los valores en bruto antes de aplicar el factor de corrección relativista.

Véase también