Перейти к содержанию

Приложение A3. Динамическая дифракция методом блоховских волн

Это приложение даёт обзор теории динамической дифракции электронов, которую используют симуляторы ReciPro Симулятор дифракции, CBED и HRTEM/STEM. ReciPro следует формулировке Бете / блоховских волн. Пошаговый расчёт (оптический потенциал, коэффициенты пропускания, интенсивности) описан в разделе Динамический расчёт (общее ядро).

Волновое уравнение в кристалле

Быстрый электрон, движущийся через периодический электростатический потенциал кристалла, подчиняется (высокоэнергетическому, стационарному) уравнению Шрёдингера, которое можно записать в виде

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]
  • \(k_{vac}\) : волновое число электрона в вакууме.
  • \(U_{\mathbf g}\) : фурье-компонента потенциала кристалла для вектора обратной решётки \(\mathbf g\). Поскольку потенциал является периодическим по решётке, он записывается в виде ряда Фурье по обратной решётке.

Теорема Блоха

Поскольку потенциал обладает периодичностью кристаллической решётки, решениями являются блоховские волны:

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]
  • \(u(\mathbf r)\) : функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решётка, поэтому её саму можно разложить по обратной решётке: \(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\).
  • \(\mathbf{k}^{(j)}\) : \(j\)-й блоховский волновой вектор.
  • \(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : амплитуда (компонента собственного вектора) пучка \(\mathbf g\) в \(j\)-й блоховской волне.

Динамическое уравнение Бете

Подстановка разложения по блоховским волнам в волновое уравнение даёт динамическое уравнение Бете — одно связанное уравнение для каждого пучка \(\mathbf g\):

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]
  • \(U^C_{\mathbf g}\) : потенциал кристалла для упругого рассеяния.
  • \(U'_{\mathbf g}\) : мнимый (поглощающий) потенциал, который учитывает тепловое диффузное рассеяние (TDS). Как он и фактор Дебая–Валлера входят в расчёт, подробно описано в ядре расчёта.

Геометрические определения (сфера Эвальда)

Векторы и скаляры, появляющиеся выше, определены на сфере Эвальда:

Определения векторов и скаляров, используемых в расчёте методом блоховских волн

  • \(\hat{\mathbf n}\) : единичный вектор, нормальный к поверхности кристалла.
  • \(\mathbf k\) : падающий волновой вектор (его конец лежит на сфере Эвальда); \(\mathbf k_{vac}\) — вакуумный волновой вектор.
  • \(\mathbf g\) : вектор обратной решётки; \(\mathbf k + \mathbf g\) указывает на узел обратной решётки.
  • \(\mathbf k^{(j)}\) : \(j\)-й блоховский волновой вектор. Все блоховские волновые векторы имеют одну и ту же тангенциальную компоненту (непрерывность на поверхности) и различаются только вдоль \(\hat{\mathbf n}\): \(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\).
  • \(\gamma^{(j)}\) : \(j\)-е собственное значение (компонента \(\mathbf k^{(j)}\) вдоль \(\hat{\mathbf n}\), отсчитываемая от \(\mathbf k\)).

Из геометрии следует:

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

а ошибка возбуждения \(S_g\) (отклонение узла обратной решётки от сферы Эвальда) вместе с оценочной функцией \(R\), используемой для ранжирования рефлексов, равны:

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

Сведение к задаче на собственные значения

Записывая \(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\) и используя \(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\) вместе с линеаризацией \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\), уравнение Бете (после деления на \(P_g\)) превращается в обычную матричную задачу на собственные значения:

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]
  • Столбцы \(\mathbf{C}\) — это собственные векторы \(C^{(j)}_*\) (амплитуды блоховских волн).
  • \(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\) содержит собственные значения \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\).

В явном виде — при упорядочении пучков как проходящий пучок \(0\), затем \(g\), \(h\), \(\dots\) — это записывается так:

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Диагонализация \(\mathbf{A}\) даёт все блоховские волновые векторы и амплитуды сразу. Амплитуды дифрагированных пучков — а значит, и интенсивности — затем следуют из граничных условий на входной и выходной поверхностях, а также из толщины образца. Эти шаги, оптический (комплексный) потенциал, фактор Дебая–Валлера и коэффициенты пропускания \(T_{\mathbf g}\) описаны в разделе Динамический расчёт (общее ядро).

Примечание: Значения \(V_{\mathbf g}\), показанные в таблице Details симулятора дифракции, являются исходными значениями до применения релятивистского поправочного коэффициента.

См. также