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Abschwächung & Transport

Streufaktoren beschreiben ein einzelnes Streuereignis; auf dieser Seite geht es darum, was mit dem Strahl als Ganzes geschieht, während er den Festkörper durchläuft – wie schnell er entfernt wird, wie tief er eindringt und (bei Elektronen) wie er abgebremst wird. Die maßgebliche Physik ist für die drei Strahlungsarten völlig verschieden, weshalb die Registerkarte Schwächung & Transport ihre Diagramme und Tabellen je nach Strahlung so drastisch ändert.

Schwächung & Transport — X-ray

Schwächung & Transport — electron

Schwächung & Transport — neutron

Röntgenstrahlen — Absorption und Brechung

Beer–Lambert-Abschwächung

Ein monochromatischer Röntgenstrahl wird mit der Weglänge exponentiell entfernt:

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : der Massenabschwächungskoeffizient (cm²/g) — die tabellierte, dichteunabhängige Größe.
  • \(\mu\) : der lineare Abschwächungskoeffizient (cm⁻¹) bei der tatsächlichen Dichte \(\rho\) des Materials.
  • \(1/\mu\) : die Abschwächungslänge (Intensität fällt auf \(1/e\)).
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : die Halbwertsschicht.
  • \(T = e^{-\mu t}\) : die Transmission für eine Probe der Dicke \(t\).

Woraus sich \(\mu/\rho\) zusammensetzt

Die gesamte Massenabschwächung ist die Summe dreier Prozesse, die in der Registerkarte getrennt dargestellt werden:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

Bei einer Verbindung ist die Massenabschwächung die massengewichtete Summe der Elementwerte, während der lineare Koeffizient die atomaren Wirkungsquerschnitte direkt aufaddiert:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

mit \(w_i\) den Massenanteilen und \(n_i\) den Teilchendichten. Die drei Komponenten sind:

  • Photoabsorption \(\tau\) — ein Photon wird absorbiert und schlägt ein gebundenes Elektron heraus. Sie dominiert bei niedriger Energie und fällt zwischen den Kanten ungefähr wie \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) ab. Dies ist der Term, der das innere Schalenelektron herausschlägt, dessen Relaxation Fluoreszenz erzeugt.
  • Rayleigh-Streuung (kohärent) — elastische Streuung an gebundenen Elektronen, verknüpft mit dem kohärenten Formfaktor \(F(q)\).
  • Compton-Streuung (inkohärent) — inelastische Streuung an schwach gebundenen Elektronen, verknüpft mit der inkohärenten Funktion \(S(q)\); ihre relative Bedeutung wächst bei hoher Energie. Das gestreute Photon wird in der Wellenlänge verschoben um
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

sodass ein Compton-Ereignis das Photon aus dem monochromatischen Strahl entfernt (ein inelastischer Verlust).

Die Absorptionskanten sind die steilen Anstiege von \(\tau\), wenn die Photonenenergie die Bindungsenergie einer Schale (\(K\), \(L_3\), …) überschreitet und einen neuen Ionisationskanal öffnet. Das Sprungverhältnis ist der Faktor, um den \(\mu/\rho\) über die Kante hinweg ansteigt; ReciPro listet die \(K\)- und \(L_3\)-Kantenenergien und -sprünge auf. Der Massenenergie-Absorptionskoeffizient \(\mu_\text{en}/\rho\) ist der Teil von \(\mu/\rho\), der Energie lokal deponiert (unter Ausschluss der von gestreuten und fluoreszenten Photonen weggetragenen Energie).

Brechung, kritischer Winkel und SLD

Der Röntgenbrechungsindex eines Festkörpers ist etwas kleiner als 1 und wird geschrieben als

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

wobei \(n_i\) die Teilchendichte des Elements \(i\) und \(r_e\) der klassische Elektronenradius ist. Hier ist \(\mu_\text{abs}\) der absorptive Anteil der Abschwächung (an \(f''\) gekoppelt); er muss nicht gleich dem gesamten \(\mu\) oben sein, das auch Rayleigh- und Compton-Streuung enthält. Da \(n<1\), erfahren Röntgenstrahlen Totalreflexion unterhalb eines kleinen streifenden kritischen Winkels

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

Dies folgt aus der Brechungsgeometrie: für einen streifenden Winkel \(\alpha\) ist der vertikale Wellenvektor im Festkörper \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\), der bei \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\) null erreicht; darunter kann sich die Welle nicht in das Material ausbreiten und wird vollständig reflektiert. Der Realteil der Streulängendichte, \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\), legt \(\delta\) fest und ist das Röntgenanalogon der in der Reflektometrie verwendeten Neutronen-SLD. ReciPro gibt \(\delta\), \(\beta\), \(\theta_c\) und die Röntgen-SLD in der Skalartabelle an.

Elektronen — Streuung, Abbremsung und Reichweite

Ein schnelles Elektron in einem Festkörper streut (ändert die Richtung) und verliert zugleich kontinuierlich Energie, sodass sein Transport mehr als eine Längenskala benötigt.

Elastische Streuung und mittlere freie Weglänge

Der elastische Wirkungsquerschnitt \(\sigma_\text{el}\) misst, wie leicht ein einzelnes Atom das Elektron ablenkt. ReciPro verwendet die NIST-Mott-Wirkungsquerschnitte (eine Partialwellenlösung der relativistischen Dirac-Gleichung im abgeschirmten atomaren Potential), die etwa über 50 eV – 36.4 keV gültig sind; außerhalb dieses Bereichs oder für nicht in der Tabelle enthaltene Elemente greift es auf die abgeschirmte Rutherford-Näherung zurück. Die beiden müssen an der Grenze nicht perfekt glatt aneinander anschließen. Der totale Wirkungsquerschnitt ist das Winkelintegral des differentiellen,

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

wobei der Abschirmparameter \(\eta\) die Vorwärtsdivergenz des reinen Rutherford-Wirkungsquerschnitts abrundet; die Mott-Behandlung berücksichtigt zusätzlich die Spin- und relativistischen Effekte, die das abgeschirmte Rutherford-Modell weglässt. Aus dem Wirkungsquerschnitt ergeben

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

den makroskopischen Streukoeffizienten und die elastische mittlere freie Weglänge — die mittlere Distanz zwischen elastischen Ereignissen.

Bremsvermögen und inelastische Verluste

Energie geht hauptsächlich durch elektronische Anregungen (Ionisation, Plasmonen) verloren. Das Bremsvermögen ist als positive Größe definiert,

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

wobei hier \(s\) die Weglänge entlang der Trajektorie ist (die Variable der |dE/ds|-Kurve der Registerkarte), nicht die andernorts in diesem Anhang verwendete Streuvariable \(\sin\theta/\lambda\). Der Energiegradient \(dE/ds\) ist negativ, sodass die Registerkarte \(S\) nach oben aufträgt. Bei keV-Energien folgt es konzeptionell der Bethe-Form

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

mit \(J\) der mittleren Anregungsenergie des Festkörpers. Diese nichtrelativistische Skizze zeigt nur die Skalierung; ReciPro wertet eine korrigierte/empirische Form (vom Joy–Luo-Typ) aus, die bei niedriger Energie gutartig bleibt. Die Plasmonenenergie \(E_p\) in der Skalartabelle ist eine verwandte, aber getrennte Charakterisierung derselben elektronischen Anregungen. Die inelastische mittlere freie Weglänge (IMFP) ist die entsprechende mittlere Distanz zwischen energieverlustbehafteten Stößen; ReciPro kann sie aus der TPP-2M-Vorhersageformel auswerten,

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

mit \(E\) in eV, \(\lambda_\text{in}\) in Å und den aus \(E_p\), der Dichte, der Bandlücke und der Valenzelektronenzahl aufgebauten Parametern \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\).

Zwei Arten von Reichweite

  • CSDA-Reichweite — die Näherung der kontinuierlichen Abbremsung (continuous-slowing-down approximation) integriert das Bremsvermögen, um die gesamte zurückgelegte Weglänge zu liefern, bevor das Elektron zur Ruhe kommt:
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

(In der Praxis läuft das Integral bis zu einem niederenergetischen Abschneidewert \(E_\text{cut}\) herunter, unterhalb dessen die obige Bethe-Skizze nicht mehr gilt.)

  • Kanaya–Okayama-Reichweite — eine weit verbreitete empirische Abschätzung der Eindringtiefe (nicht der Weglänge), die die gewundene, gestreute Trajektorie berücksichtigt:
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

Die beiden beantworten unterschiedliche Fragen — gesamte geflogene Distanz vs. wie weit in den Festkörper das Elektron gelangt — und unterscheiden sich daher im Wert, und ReciPro gibt beide an. Diese Reichweiten legen das Wechselwirkungsvolumen hinter den Simulationen der Elektronenbahnen und der EBSD-Simulation fest.

Neutronen — makroskopischer Wirkungsquerschnitt und das 1/v-Gesetz

Für Neutronen gibt es keine energieabhängige Abschwächungskurve; die Wechselwirkung ist durch nukleare Wirkungsquerschnitte festgelegt. Der Strahl wird durch den makroskopischen totalen Wirkungsquerschnitt abgeschwächt, der selbst die Summe aus kohärenten, inkohärenten und absorptiven Anteilen ist:

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

mit der Abschwächungslänge \(1/\Sigma_\text{total}\). Der Absorptionsanteil hängt von der Neutronengeschwindigkeit \(v\) ab (und damit von der Wellenlänge): für die meisten Nuklide skaliert die in Kernnähe verbrachte Zeit wie \(1/v\), was das 1/v-Gesetz ergibt

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

Einige starke Absorber (Cd, Sm, Eu, Gd) besitzen niederenergetische Resonanzen, die die einfache 1/v-Skalierung verletzen; ReciPro kennzeichnet diese Nuklide. Die kohärente Streulängendichte, \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\), ist das Neutronenanalogon der obigen Röntgen-SLD.

Eindringtiefe auf einen Blick

Die drei Strahlungsarten sondieren ganz unterschiedliche Tiefen — der praktische Grund, warum sie unterschiedliche Fragen beantworten:

Strahl Typische Probe Eindringtiefe (Größenordnung) Bestimmt durch
Röntgen (≈8 keV) Pulver / Einkristall 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
Elektron (≈200 keV) TEM-Folie 10–100 nm (nutzbar) elastische MFP + inelastischer Verlust
Neutron (thermisch) Volumen, cm-groß 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

Dieselben Längenskalen erklären, warum Elektronen ultradünne Proben und dynamische Theorie erfordern, während Neutronen eine ganze Volumenprobe unter kinematischer Einfachstreuung erfassen.

Siehe auch