附錄 A3. 布洛赫波法的動力學繞射¶

本附錄概述 ReciPro 的 繞射模擬器、CBED 與 HRTEM/STEM 模擬器所採用的動力學電子繞射理論。ReciPro 遵循 Bethe / 布洛赫波 的表述方式。逐步的計算流程（光學位能、透射係數、強度）在動力學計算（共用核心）中說明。

晶體中的波動方程式¶

在晶體的週期性靜電位能中傳播的高速電子，遵循（高能、穩態）薛丁格方程式，可寫成如下形式：

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]

\(k_{vac}\) : 電子在真空中的波數。
\(U_{\mathbf g}\) : 對應倒易點陣向量 \(\mathbf g\) 的晶體位能的傅立葉分量。由於位能具有點陣週期性，故將其寫為對倒易點陣的傅立葉級數。

布洛赫定理¶

由於位能具有晶體點陣的週期性，其解為 布洛赫波：

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]

\(u(\mathbf r)\) : 一個與晶體點陣具有相同週期性的函式，因此它本身也可在倒易點陣上展開：\(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\)。
\(\mathbf{k}^{(j)}\) : 第 \(j\) 個布洛赫波向量。
\(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : 第 \(j\) 個布洛赫波中射束 \(\mathbf g\) 的振幅（本徵向量分量）。

Bethe 動力學方程式¶

將布洛赫波展開代入波動方程式，得到 Bethe 動力學方程式 —— 每個射束 \(\mathbf g\) 對應一個耦合方程式：

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]

\(U^C_{\mathbf g}\) : 對應彈性散射的晶體位能。
\(U'_{\mathbf g}\) : 虛（吸收）位能，用以計入 熱漫散射（TDS）。它與德拜-沃勒因子如何進入計算，在計算核心中詳述。

幾何定義（厄瓦爾德球）¶

上面出現的向量與純量均定義在厄瓦爾德球上：

\(\hat{\mathbf n}\) : 垂直於晶體表面的單位向量。
\(\mathbf k\) : 入射波向量（其端點位於厄瓦爾德球上）；\(\mathbf k_{vac}\) 為真空波向量。
\(\mathbf g\) : 倒易點陣向量；\(\mathbf k + \mathbf g\) 指向倒易點陣點。
\(\mathbf k^{(j)}\) : 第 \(j\) 個布洛赫波向量。所有布洛赫波向量具有相同的切向分量（表面處的連續性），僅沿 \(\hat{\mathbf n}\) 方向不同：\(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\)。
\(\gamma^{(j)}\) : 第 \(j\) 個本徵值（\(\mathbf k^{(j)}\) 沿 \(\hat{\mathbf n}\) 的分量，自 \(\mathbf k\) 起量取）。

由幾何關係可得：

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

而 偏離向量 \(S_g\)（倒易點陣點偏離厄瓦爾德球的程度）以及用於對反射排序的 評價函式 \(R\) 為：

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

歸約為本徵值問題¶

令 \(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\)，並利用 \(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\) 以及線性化 \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\)，則 Bethe 方程式（在除以 \(P_g\) 後）化為標準的 矩陣本徵值問題：

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]

\(\mathbf{C}\) 的各列即本徵向量 \(C^{(j)}_*\)（布洛赫波振幅）。
\(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\) 包含本徵值 \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\)。

顯式寫出 —— 將射束按透射束 \(0\)、隨後 \(g\), \(h\), \(\dots\) 的順序排列 —— 即為：

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

將 \(\mathbf{A}\) 對角化即可一次性得到所有布洛赫波向量與振幅。繞射束的振幅 —— 進而其強度 —— 隨後由入射面與出射面處的邊界條件以及試樣厚度確定。這些步驟、光學（複）位能、德拜-沃勒因子以及透射係數 \(T_{\mathbf g}\) 均在動力學計算（共用核心）中說明。

註: 繞射模擬器的 Details 表中所顯示的 \(V_{\mathbf g}\) 值為套用相對論修正因子之前的原始值。