附录 A3. 布洛赫波法的动力学衍射¶

本附录概述 ReciPro 的 衍射模拟器、CBED 与 HRTEM/STEM 模拟器所采用的动力学电子衍射理论。ReciPro 遵循 Bethe / 布洛赫波 的表述方式。逐步的计算流程（光学势、透射系数、强度）在动力学计算（公共内核）中说明。

晶体中的波动方程¶

在晶体的周期性静电势中传播的高速电子，遵循（高能、稳态）薛定谔方程，可写成如下形式：

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]

\(k_{vac}\) : 电子在真空中的波数。
\(U_{\mathbf g}\) : 对应倒易点阵矢量 \(\mathbf g\) 的晶体势的傅里叶分量。由于势具有点阵周期性，故将其写为对倒易点阵的傅里叶级数。

布洛赫定理¶

由于势具有晶体点阵的周期性，其解为 布洛赫波：

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]

\(u(\mathbf r)\) : 一个与晶体点阵具有相同周期性的函数，因此它本身也可在倒易点阵上展开：\(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\)。
\(\mathbf{k}^{(j)}\) : 第 \(j\) 个布洛赫波矢。
\(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : 第 \(j\) 个布洛赫波中射束 \(\mathbf g\) 的振幅（本征矢量分量）。

Bethe 动力学方程¶

将布洛赫波展开代入波动方程，得到 Bethe 动力学方程 —— 每个射束 \(\mathbf g\) 对应一个耦合方程：

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]

\(U^C_{\mathbf g}\) : 对应弹性散射的晶体势。
\(U'_{\mathbf g}\) : 虚（吸收）势，用以计入 热漫散射（TDS）。它与德拜-沃勒因子如何进入计算，在计算核心中详述。

几何定义（埃瓦尔德球）¶

上面出现的矢量与标量均定义在埃瓦尔德球上：

\(\hat{\mathbf n}\) : 垂直于晶体表面的单位矢量。
\(\mathbf k\) : 入射波矢（其端点位于埃瓦尔德球上）；\(\mathbf k_{vac}\) 为真空波矢。
\(\mathbf g\) : 倒易点阵矢量；\(\mathbf k + \mathbf g\) 指向倒易点阵点。
\(\mathbf k^{(j)}\) : 第 \(j\) 个布洛赫波矢。所有布洛赫波矢具有相同的切向分量（表面处的连续性），仅沿 \(\hat{\mathbf n}\) 方向不同：\(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\)。
\(\gamma^{(j)}\) : 第 \(j\) 个本征值（\(\mathbf k^{(j)}\) 沿 \(\hat{\mathbf n}\) 的分量，自 \(\mathbf k\) 起量取）。

由几何关系可得：

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

而 偏离矢量 \(S_g\)（倒易点阵点偏离埃瓦尔德球的程度）以及用于对反射排序的 评价函数 \(R\) 为：

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

归约为本征值问题¶

令 \(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\)，并利用 \(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\) 以及线性化 \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\)，则 Bethe 方程（在除以 \(P_g\) 后）化为标准的 矩阵本征值问题：

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]

\(\mathbf{C}\) 的各列即本征矢量 \(C^{(j)}_*\)（布洛赫波振幅）。
\(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\) 包含本征值 \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\)。

显式写出 —— 将射束按透射束 \(0\)、随后 \(g\), \(h\), \(\dots\) 的顺序排列 —— 即为：

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

将 \(\mathbf{A}\) 对角化即可一次性得到所有布洛赫波矢与振幅。衍射束的振幅 —— 进而其强度 —— 随后由入射面与出射面处的边界条件以及样品厚度确定。这些步骤、光学（复）势、德拜-沃勒因子以及透射系数 \(T_{\mathbf g}\) 均在动力学计算（公共内核）中说明。

注: 衍射模拟器的 Details 表中所显示的 \(V_{\mathbf g}\) 值为应用相对论修正因子之前的原始值。