Cálculo dinámico (núcleo común)¶

Los simuladores de difracción y de imágenes de ReciPro comparten un núcleo común de dispersión dinámica de ondas de Bloch (Bethe), descrito en esta página (potencial del cristal, términos de Debye–Waller y de absorción, el problema de valores propios, los coeficientes de transmisión y las intensidades). Los protocolos específicos de cada método se construyen sobre este núcleo:

Para la teoría subyacente (ecuación de Schrödinger, teorema de Bloch, ecuación dinámica de Bethe, el problema de valores propios y las definiciones de la esfera de Ewald), véase Apéndice A3. Difracción dinámica por el método de ondas de Bloch.

Constantes¶

\[\gamma = \frac{m}{m_0} = 1 + \frac{e_0 E}{m_0 c^2}, \qquad \beta = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2} = \sqrt{1 - \gamma^{-2}}\]

\(\gamma\) : factor de corrección relativista; \(E\) : voltaje de aceleración; \(m_0\), \(m\) : masa del electrón en reposo y relativista.
\(\Omega\) : volumen de la celda elemental.
\(k_{vac}\) : número de onda del electrón en el vacío.

Potencial del cristal para la dispersión elástica¶

El coeficiente de Fourier del potencial del cristal para la dispersión elástica, sumado sobre los átomos \(k\) en las posiciones \(\mathbf r_k\), es

\[U_{\mathbf g}^{C} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f_k(\mathbf g)\,\exp\!\left[2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g, M_k)\]

donde el factor de dispersión atómico emplea una parametrización gaussiana \((a_i, b_i)\),

\[f_k(\mathbf g) = \sum_i a_i\exp\!\left[-b_i\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

y \(T_k\) es el factor de Debye–Waller (de temperatura). Para un factor de temperatura isótropo \(M_k\),

\[T_k(\mathbf g, M_k) = \exp\!\left[-M_k\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

y para un tensor anisótropo de desplazamiento atómico \(\mathbf U\),

\[T_k(\mathbf g) = \exp\!\left[-2\pi\,\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g\right]\]

con la forma cuadrática

\[\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g = \begin{pmatrix} g_x & g_y & g_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} & U_{13}\\ U_{12} & U_{22} & U_{23}\\ U_{13} & U_{23} & U_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = g_x^2 U_{11} + g_y^2 U_{22} + g_z^2 U_{33} + 2\!\left(g_x g_y U_{12} + g_y g_z U_{23} + g_x g_z U_{13}\right)\]

Las componentes cartesianas de \(\mathbf g\) se obtienen a partir de los vectores de la base recíproca y los índices de Miller:

\[\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x^{*} & b_x^{*} & c_x^{*}\\ a_y^{*} & b_y^{*} & c_y^{*}\\ a_z^{*} & b_z^{*} & c_z^{*}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} h\\ k\\ l\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h\,a_x^{*} + k\,b_x^{*} + l\,c_x^{*}\\ h\,a_y^{*} + k\,b_y^{*} + l\,c_y^{*}\\ h\,a_z^{*} + k\,b_z^{*} + l\,c_z^{*}\end{pmatrix}\]

Note

Los valores de \(U_{\mathbf g}\) mostrados en la tabla Details del simulador de difracción son los valores en bruto antes de aplicar el factor relativista \(\gamma\).

Potencial de absorción (dispersión térmica difusa)¶

El potencial imaginario (de absorción) que da cuenta de la dispersión térmica difusa (TDS) es

\[U'_{g,h} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f'_k(\mathbf g,\mathbf h)\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf g-\mathbf h)\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g-\mathbf h, M_k)\]

con el factor de dispersión de absorción — una integral que convoluciona el factor de dispersión elástico \(f_e\) sobre la esfera de Ewald:

\[f'_k(\mathbf g,\mathbf h) = \frac{\gamma\,k_{vac}}{2}\oint_{|\mathbf K|=k_{vac}} f_{e,k}(s_-)\,f_{e,k}(s_+)\left[1-\exp\!\left\{M_k\left(\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}-s_-^2-s_+^2\right)\right\}\right]\mathrm d\Omega, \qquad s_\mp=\frac{1}{2}\left|\mathbf K\mp\frac{\mathbf g-\mathbf h}{2}\right|\]

Aquí \(\mathbf K\) es un vector de onda que recorre la esfera de Ewald y \(\mathrm d\Omega\) es su elemento de ángulo sólido. ReciPro evalúa esta integral numéricamente mediante cuadratura de Gauss–Legendre (el integrando tiene un pico agudo hacia adelante, así que el ángulo polar se divide en intervalos geométricos del módulo del vector de dispersión para resolverlo). Para la TDS captada por un detector anular de STEM, o la TDS retrodispersada en EBSD, el mismo integrando se integra sobre el rango angular del detector (un anillo o el hemisferio trasero).

El factor elástico \(f_{e,k}\) del integrando tiene una construcción en dos tramos: a \(s\) bajo es el ajuste de 5 gaussianas de Peng de la página del factor de dispersión; a \(s\) alto (\(s \ge 2.5\) Å⁻¹) es la relación de Mott–Bethe evaluada directamente con el factor de rayos X de Waasmaier–Kirfel \(f_0(s)\), con una mezcla suave entre \(1.5\) y \(2.5\) Å⁻¹. La razón es que la suma gaussiana de Peng decae demasiado rápido más allá de \(s \gtrsim 2\) Å⁻¹ (las colas gaussianas se desvanecen exponencialmente, mientras que el \(f_e\) real tiene una cola \(1/s^2\)), lo que subestima la retrodispersión en muchos órdenes de magnitud a \(s\) del orden de \(k_{vac}\) (unos 40 Å⁻¹ a 200 kV). Dos detalles de implementación: \(f_0(s)\) se limita a \([0, Z]\) (algunas formas ajustadas divergen fuera de su rango de ajuste), y se usa el \(f_0\) del átomo neutro incluso para las entradas iónicas (a \(s\) alto solo se ve la carga nuclear, no la nube electrónica).

Note

Cuando \(f_e\) es una suma gaussiana pura, esta integral tiene una solución cerrada como doble suma gaussiana, que las versiones anteriores de ReciPro usaban como factor de dispersión de absorción. No existe forma cerrada para un \(f_e\) con la cola de \(s\) alto, así que se reemplazó por la cuadratura numérica, verificada para reproducir la forma cerrada cuando la cola está desactivada.

Los coeficientes \(U^{C}\) y \(U'\) son los elementos de la matriz de estructura \(\mathbf A\) en el Apéndice A3.

De la solución propia a la intensidad difractada¶

La diagonalización de la matriz de estructura (véase el Apéndice A3) da los valores propios \(\lambda^{(j)}\) y las amplitudes de las ondas de Bloch \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). Las amplitudes de onda en la superficie de salida —los coeficientes de transmisión \(T_{\mathbf g}\)— al espesor de la muestra \(t\) son

\[\begin{pmatrix} T_0\\ T_g\\ T_h\\ \vdots\end{pmatrix} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t} \begin{pmatrix} e^{\pi i P_0 t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{\pi i P_g t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{\pi i P_h t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0^{(1)} & C_0^{(2)} & C_0^{(3)} & \cdots\\ C_g^{(1)} & C_g^{(2)} & C_g^{(3)} & \cdots\\ C_h^{(1)} & C_h^{(2)} & C_h^{(3)} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2\pi i\lambda^{(1)} t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{2\pi i\lambda^{(2)} t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{2\pi i\lambda^{(3)} t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^{(1)}\\ \alpha^{(2)}\\ \alpha^{(3)}\\ \vdots\end{pmatrix}\]

o, componente a componente,

\[T_{\mathbf g} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t}\; e^{\pi i P_g t}\sum_j C_{\mathbf g}^{(j)}\,e^{2\pi i\lambda^{(j)} t}\,\alpha^{(j)}\]

\(\alpha^{(j)}\) : los coeficientes de ponderación (de excitación) de cada onda de Bloch, fijados por la condición de contorno en la superficie de entrada.
\(t\) : espesor de la muestra.

La intensidad difractada del haz \(\mathbf g\) es entonces

\[I_{\mathbf g} = \left|T_{\mathbf g}\right|^2\]

Cálculo SAED de haz paralelo¶

La SAED ordinaria (difracción de electrones de área seleccionada) se trata como difracción de haz paralelo con una única dirección de incidencia. A diferencia de CBED, no recorre muchos puntos \(\mathbf K\) dentro de una apertura convergente. La orientación actual del cristal y el voltaje de aceleración definen un vector de onda incidente \(\mathbf k_0\), y ReciPro evalúa la posición y la intensidad de cada reflexión \(\mathbf g\) para esa condición.

El cálculo puede organizarse del siguiente modo.

Use la orientación del cristal, el voltaje de aceleración, la longitud de onda, la longitud de cámara y la geometría del detector para definir el vector de onda incidente en el vacío \(\mathbf k_{vac}\) y el plano del detector.
Aplique la corrección por refracción a partir del potencial interno medio \(U_0\) y obtenga el vector de onda de referencia del cristal \(\mathbf k_0\).
Enumere los vectores candidatos de la red recíproca \(\mathbf g\) y evalúe su distancia a la esfera de Ewald mediante cantidades como \(Q_g=|\mathbf k_0|^2-|\mathbf k_0+\mathbf g|^2\) y el error de excitación \(S_g\).
Calcule la intensidad de cada reflexión usando el modo de intensidad seleccionado.
Proyecte la dirección de \(\mathbf k_0+\mathbf g\) sobre el plano del detector y dibújela como un punto de difracción.

El modo SAED de ReciPro ofrece principalmente los siguientes modelos de intensidad.

Modo	Cálculo	Uso típico
Solo error de excitación	Estima la intensidad únicamente a partir de la cercanía de la reflexión a la esfera de Ewald. No se usan los factores de estructura.	Comprobaciones rápidas de las posiciones de los puntos y de la geometría del eje de zona.
Cinemática + error de excitación	Usa \(\lvert F_{\mathbf g}\rvert^2\) junto con la atenuación por el error de excitación. No se incluye la dispersión múltiple.	Muestras delgadas, difracción débil y comprobación de reglas de extinción.
Teoría dinámica	Usa el núcleo de ondas de Bloch de esta página para obtener \(T_{\mathbf g}(t)\) y fija \(I_{\mathbf g}=\lvert T_{\mathbf g}\rvert^2\).	Dependencia del espesor, dispersión múltiple y reflexiones intensas de difracción de electrones.

Los modos de visualización de los puntos de la red recíproca, como las secciones transversales de esfera sólida y los puntos gaussianos, controlan principalmente el perfil de dibujo. En el modo de teoría dinámica, la intensidad física de la reflexión se determina por el valor de la onda de Bloch \(|T_{\mathbf g}|^2\), y esa intensidad se asigna después al perfil de visualización elegido.

PED puede verse como la integración de este cálculo SAED de haz paralelo sobre las direcciones de precesión, mientras que CBED puede verse como la disposición de muchas direcciones de incidencia dentro de los discos de difracción.

Potencial interno medio y refracción¶

Cuando el electrón entra en el cristal desde el vacío, el potencial interno medio \(U_0\) cambia ligeramente el vector de onda de referencia dentro del cristal. La componente paralela a la superficie está fijada por la condición de contorno, de modo que el vector de onda en el vacío \(\mathbf k_{vac}\) y el vector de onda de referencia del cristal \(\mathbf k_0\) pueden escribirse como

\[|\mathbf k_0|^2 = k_{vac}^2 + U_0, \qquad \mathbf k_0 = \mathbf k_{vac} + x\,\hat{\mathbf n}\]

donde \(x\) es la corrección a lo largo de la normal a la superficie. Se obtiene de

\[x^2 + 2(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf k_{vac})x - U_0 = 0\]

Este \(\mathbf k_0\) refractado se utiliza al evaluar \(P_g\), \(Q_g\), los errores de excitación y la matriz de estructura \(\mathbf A\) en la página general. El potencial de absorción también tiene una componente \(\mathbf g=\mathbf 0\), \(U'_0\), que actúa como una atenuación media común para las ondas que se propagan por el cristal.

Selección de haces¶

El cálculo de ondas de Bloch no puede incluir infinitos vectores de la red recíproca, por lo que ReciPro selecciona un conjunto finito de haces \(\{\mathbf g\}\). La cantidad de ordenación es

\[R_{\mathbf g}=|\mathbf g|\,Q_{\mathbf g}^{\,2}\]

y los haces con menor \(R_{\mathbf g}\) se incluyen primero. Esto favorece los haces con vectores de la red recíproca cortos que, además, están cerca de la esfera de Ewald.

En los cálculos prácticos, es importante comprobar cuánto cambia la intensidad o la imagen al aumentar el número máximo de ondas de Bloch. Las condiciones intensas de eje de zona y los patrones CBED con detalle de líneas HOLZ pueden requerir varios cientos de haces, mientras que las condiciones fuera del eje de zona pueden converger con menos haces.

Elección del solucionador¶

Una vez elegido el conjunto finito de haces, ReciPro emplea principalmente dos vías equivalentes para obtener los coeficientes de transmisión.

Método	Característica	Uso típico
Método de valores propios	Diagonaliza la matriz de estructura \(\mathbf A\) y obtiene los valores propios \(\lambda^{(j)}\) y los vectores propios \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). La dependencia del espesor se evalúa después mediante \(e^{2\pi i\lambda^{(j)}t}\).	Series de espesores, y cálculos CBED y EBSD que recorren muchas profundidades o energías
Método de la exponencial de matriz	Evalúa directamente la matriz de dispersión \(\exp(2\pi i\mathbf A t)\) sin usar explícitamente una descomposición propia.	Cálculos STEM de un único espesor y cálculos integrados por láminas

Ambos métodos resuelven la misma ecuación de Bethe. En la implementación, el código elige entre el método de valores propios, el método de la exponencial de matriz, las rutinas gestionadas de .NET y la biblioteca nativa Eigen según el número de haces, el conjunto de espesores y la disponibilidad de la biblioteca nativa.

Comprobaciones de convergencia¶

En los cálculos dinámicos, comprobar que la base es lo bastante grande es tan importante como la propia fórmula. Un diagnóstico útil es el cambio relativo cuando el número de haces aumenta de \(N-\Delta N\) a \(N\):

\[\Delta I_N=\frac{|I_N-I_{N-\Delta N}|}{I_N}\]

Para STEM, compruébelo junto con el ajuste del ángulo del detector. Para CBED, inspeccione el interior de los discos y las líneas HOLZ. Para EBSD, compare además las anchuras de las bandas de Kikuchi y el fondo en el master pattern. Esto conecta la convergencia numérica con las características físicas visibles en el resultado simulado.