Calcolo dinamico (nucleo comune)¶

I simulatori di diffrazione e di imaging di ReciPro condividono un comune nucleo di diffusione dinamica a onde di Bloch (Bethe), descritto in questa pagina (potenziale cristallino, termini di Debye–Waller e di assorbimento, il problema agli autovalori, i coefficienti di trasmissione e le intensità). I protocolli specifici di ciascun metodo si basano su questo nucleo:

Per la teoria sottostante (equazione di Schrödinger, teorema di Bloch, equazione dinamica di Bethe, il problema agli autovalori e le definizioni della sfera di Ewald), vedere Appendice A3. Diffrazione dinamica con il metodo delle onde di Bloch.

Costanti¶

\[\gamma = \frac{m}{m_0} = 1 + \frac{e_0 E}{m_0 c^2}, \qquad \beta = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2} = \sqrt{1 - \gamma^{-2}}\]

\(\gamma\) : fattore di correzione relativistico; \(E\) : tensione di accelerazione; \(m_0\), \(m\) : massa dell'elettrone a riposo e relativistica.
\(\Omega\) : volume della cella elementare.
\(k_{vac}\) : numero d'onda dell'elettrone nel vuoto.

Potenziale cristallino per la diffusione elastica¶

Il coefficiente di Fourier del potenziale cristallino per la diffusione elastica, sommato sugli atomi \(k\) nelle posizioni \(\mathbf r_k\), è

\[U_{\mathbf g}^{C} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f_k(\mathbf g)\,\exp\!\left[2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g, M_k)\]

dove il fattore di diffusione atomico utilizza una parametrizzazione gaussiana \((a_i, b_i)\),

\[f_k(\mathbf g) = \sum_i a_i\exp\!\left[-b_i\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

e \(T_k\) è il fattore di Debye–Waller (temperatura). Per un fattore di temperatura isotropo \(M_k\),

\[T_k(\mathbf g, M_k) = \exp\!\left[-M_k\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

e per un tensore di spostamento atomico anisotropo \(\mathbf U\),

\[T_k(\mathbf g) = \exp\!\left[-2\pi\,\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g\right]\]

con la forma quadratica

\[\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g = \begin{pmatrix} g_x & g_y & g_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} & U_{13}\\ U_{12} & U_{22} & U_{23}\\ U_{13} & U_{23} & U_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = g_x^2 U_{11} + g_y^2 U_{22} + g_z^2 U_{33} + 2\!\left(g_x g_y U_{12} + g_y g_z U_{23} + g_x g_z U_{13}\right)\]

Le componenti cartesiane di \(\mathbf g\) si ottengono dai vettori di base reciproci e dagli indici di Miller:

\[\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x^{*} & b_x^{*} & c_x^{*}\\ a_y^{*} & b_y^{*} & c_y^{*}\\ a_z^{*} & b_z^{*} & c_z^{*}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} h\\ k\\ l\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h\,a_x^{*} + k\,b_x^{*} + l\,c_x^{*}\\ h\,a_y^{*} + k\,b_y^{*} + l\,c_y^{*}\\ h\,a_z^{*} + k\,b_z^{*} + l\,c_z^{*}\end{pmatrix}\]

Note

I valori \(U_{\mathbf g}\) mostrati nella tabella Details del simulatore di diffrazione sono i valori grezzi prima dell'applicazione del fattore relativistico \(\gamma\).

Potenziale di assorbimento (diffusione termica diffusa)¶

Il potenziale immaginario (di assorbimento) che tiene conto della diffusione termica diffusa (TDS) è

\[U'_{g,h} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f'_k(\mathbf g,\mathbf h)\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf g-\mathbf h)\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g-\mathbf h, M_k)\]

con il fattore di diffusione di assorbimento

\[f'_k(\mathbf g,\mathbf h) = \frac{2h}{\beta\, m_0\, c}\sum_i\sum_j a_i a_j\left[\frac{1}{b_i+b_j}\exp\!\left\{-\frac{b_i b_j}{b_i+b_j}\,\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}\right\} - \frac{1}{b_i+b_j+2M_k}\exp\!\left\{-\frac{b_i b_j - M_k^2}{b_i+b_j+2M_k}\,\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}\right\}\right]\]

Qui \(h\) nel prefattore \(2h/(\beta m_0 c)\) è la costante di Planck (non un indice di fascio). I coefficienti \(U^{C}\) e \(U'\) sono gli elementi della matrice di struttura \(\mathbf A\) nell'Appendice A3.

Dalla soluzione agli autovalori all'intensità diffratta¶

La diagonalizzazione della matrice di struttura (vedere Appendice A3) fornisce gli autovalori \(\lambda^{(j)}\) e le ampiezze delle onde di Bloch \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). Le ampiezze d'onda sulla superficie di uscita — i coefficienti di trasmissione \(T_{\mathbf g}\) — allo spessore del campione \(t\) sono

\[\begin{pmatrix} T_0\\ T_g\\ T_h\\ \vdots\end{pmatrix} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t} \begin{pmatrix} e^{\pi i P_0 t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{\pi i P_g t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{\pi i P_h t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0^{(1)} & C_0^{(2)} & C_0^{(3)} & \cdots\\ C_g^{(1)} & C_g^{(2)} & C_g^{(3)} & \cdots\\ C_h^{(1)} & C_h^{(2)} & C_h^{(3)} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2\pi i\lambda^{(1)} t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{2\pi i\lambda^{(2)} t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{2\pi i\lambda^{(3)} t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^{(1)}\\ \alpha^{(2)}\\ \alpha^{(3)}\\ \vdots\end{pmatrix}\]

oppure, componente per componente,

\[T_{\mathbf g} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t}\; e^{\pi i P_g t}\sum_j C_{\mathbf g}^{(j)}\,e^{2\pi i\lambda^{(j)} t}\,\alpha^{(j)}\]

\(\alpha^{(j)}\) : i coefficienti di ponderazione (eccitazione) di ciascuna onda di Bloch, fissati dalla condizione al contorno sulla superficie di ingresso.
\(t\) : spessore del campione.

L'intensità diffratta del fascio \(\mathbf g\) è quindi

\[I_{\mathbf g} = \left|T_{\mathbf g}\right|^2\]

Calcolo SAED a fascio parallelo¶

La SAED ordinaria (diffrazione elettronica ad area selezionata) è trattata come diffrazione a fascio parallelo con una singola direzione di incidenza. A differenza del CBED, non esegue la scansione di molti punti \(\mathbf K\) all'interno di un'apertura convergente. L'orientazione del cristallo attuale e la tensione di accelerazione definiscono un singolo vettore d'onda incidente \(\mathbf k_0\), e ReciPro valuta la posizione e l'intensità di ciascuna riflessione \(\mathbf g\) per tale condizione.

Il calcolo può essere organizzato come segue.

Usare l'orientazione del cristallo, la tensione di accelerazione, la lunghezza d'onda, la lunghezza della camera e la geometria del rivelatore per definire il vettore d'onda incidente nel vuoto \(\mathbf k_{vac}\) e il piano del rivelatore.
Applicare la correzione di rifrazione dovuta al potenziale interno medio \(U_0\) e ottenere il vettore d'onda di riferimento nel cristallo \(\mathbf k_0\).
Enumerare i vettori del reticolo reciproco candidati \(\mathbf g\) e valutarne la distanza dalla sfera di Ewald tramite quantità come \(Q_g=|\mathbf k_0|^2-|\mathbf k_0+\mathbf g|^2\) e l'errore di eccitazione \(S_g\).
Calcolare l'intensità di ciascuna riflessione utilizzando la modalità di intensità selezionata.
Proiettare la direzione di \(\mathbf k_0+\mathbf g\) sul piano del rivelatore e disegnarla come spot di diffrazione.

La modalità SAED di ReciPro offre principalmente i seguenti modelli di intensità.

Modalità	Calcolo	Uso tipico
Solo errore di eccitazione	Stima l'intensità unicamente in base a quanto la riflessione è vicina alla sfera di Ewald. I fattori di struttura non vengono utilizzati.	Verifiche rapide delle posizioni degli spot e della geometria dell'asse di zona.
Cinematica + errore di eccitazione	Usa \(\lvert F_{\mathbf g}\rvert^2\) insieme allo smorzamento dovuto all'errore di eccitazione. La diffusione multipla non è inclusa.	Campioni sottili, diffrazione debole e verifiche delle regole di estinzione.
Teoria dinamica	Usa il nucleo a onde di Bloch di questa pagina per ottenere \(T_{\mathbf g}(t)\) e pone \(I_{\mathbf g}=\lvert T_{\mathbf g}\rvert^2\).	Dipendenza dallo spessore, diffusione multipla e riflessioni intense della diffrazione elettronica.

Le modalità di visualizzazione dei punti del reticolo reciproco, come le sezioni a sfera piena e gli spot gaussiani, controllano principalmente il profilo di disegno. Nella modalità a teoria dinamica, l'intensità fisica della riflessione è determinata dal valore a onde di Bloch \(|T_{\mathbf g}|^2\), e tale intensità viene poi assegnata al profilo di visualizzazione scelto.

Il PED può essere visto come l'integrazione di questo calcolo SAED a fascio parallelo sulle direzioni di precessione, mentre il CBED può essere visto come la disposizione di molte direzioni di incidenza all'interno dei dischi di diffrazione.

Potenziale interno medio e rifrazione¶

Quando l'elettrone entra nel cristallo dal vuoto, il potenziale interno medio \(U_0\) modifica leggermente il vettore d'onda di riferimento all'interno del cristallo. La componente parallela alla superficie è fissata dalla condizione al contorno, per cui il vettore d'onda nel vuoto \(\mathbf k_{vac}\) e il vettore d'onda di riferimento nel cristallo \(\mathbf k_0\) possono essere scritti come

\[|\mathbf k_0|^2 = k_{vac}^2 + U_0, \qquad \mathbf k_0 = \mathbf k_{vac} + x\,\hat{\mathbf n}\]

dove \(x\) è la correzione lungo la normale alla superficie. Essa si ottiene da

\[x^2 + 2(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf k_{vac})x - U_0 = 0\]

Questo \(\mathbf k_0\) rifratto viene utilizzato nella valutazione di \(P_g\), \(Q_g\), degli errori di eccitazione e della matrice di struttura \(\mathbf A\) nella pagina panoramica. Il potenziale di assorbimento possiede inoltre una componente \(\mathbf g=\mathbf 0\), \(U'_0\), che agisce come un'attenuazione media comune per le onde che si propagano attraverso il cristallo.

Selezione dei fasci¶

Il calcolo a onde di Bloch non può includere infiniti vettori del reticolo reciproco, perciò ReciPro seleziona un insieme finito di fasci \(\{\mathbf g\}\). La grandezza di ordinamento è

\[R_{\mathbf g}=|\mathbf g|\,Q_{\mathbf g}^{\,2}\]

e i fasci con \(R_{\mathbf g}\) minore vengono inclusi per primi. Ciò favorisce i fasci con vettori del reticolo reciproco corti che siano anche vicini alla sfera di Ewald.

Nei calcoli pratici, è importante verificare quanto cambia l'intensità o l'immagine al crescere del numero massimo di onde di Bloch. Condizioni di asse di zona intense e pattern CBED con dettaglio delle linee HOLZ possono richiedere diverse centinaia di fasci, mentre le condizioni fuori asse di zona possono convergere con un numero inferiore di fasci.

Scelta del solutore¶

Dopo aver scelto l'insieme finito di fasci, ReciPro utilizza principalmente due modi equivalenti per ottenere i coefficienti di trasmissione.

Metodo	Caratteristica	Uso tipico
Metodo agli autovalori	Diagonalizza la matrice di struttura \(\mathbf A\) e ottiene gli autovalori \(\lambda^{(j)}\) e gli autovettori \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). La dipendenza dallo spessore viene poi valutata tramite \(e^{2\pi i\lambda^{(j)}t}\).	Serie di spessori e calcoli CBED ed EBSD che esplorano molte profondità o energie
Metodo dell'esponenziale di matrice	Valuta direttamente la matrice di diffusione \(\exp(2\pi i\mathbf A t)\) senza usare esplicitamente una decomposizione agli autovalori.	Calcoli STEM a spessore singolo e calcoli integrati per fette

Entrambi i metodi risolvono la stessa equazione di Bethe. Nell'implementazione, il codice sceglie tra il metodo agli autovalori, il metodo dell'esponenziale di matrice, le routine gestite .NET e la libreria nativa Eigen a seconda del numero di fasci, dell'array degli spessori e della disponibilità della libreria nativa.

Verifiche di convergenza¶

Per i calcoli dinamici, verificare che la base sia sufficientemente grande è importante quanto la formula stessa. Una diagnostica utile è la variazione relativa quando il numero di fasci viene aumentato da \(N-\Delta N\) a \(N\):

\[\Delta I_N=\frac{|I_N-I_{N-\Delta N}|}{I_N}\]

Per lo STEM, controllare questo insieme all'impostazione dell'angolo del rivelatore. Per il CBED, ispezionare l'interno dei dischi e le linee HOLZ. Per l'EBSD, confrontare inoltre le larghezze delle bande di Kikuchi e il fondo nel master pattern. Questo collega la convergenza numerica con le caratteristiche fisiche visibili nel risultato simulato.