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Atenuación y transporte

Los factores de dispersión describen un único evento de dispersión; esta página trata de lo que le sucede al haz en su conjunto mientras atraviesa el sólido: con qué rapidez se elimina, cuánto penetra y (en el caso de los electrones) cómo se frena. La física relevante es completamente distinta para los tres haces, razón por la cual la pestaña Atenuación & Transporte cambia sus gráficas y tablas de forma tan drástica según la radiación.

Atenuación & Transporte — X-ray

Atenuación & Transporte — electron

Atenuación & Transporte — neutron

Rayos X — absorción y refracción

Atenuación de Beer–Lambert

Un haz de rayos X monocromático se elimina exponencialmente con la longitud de recorrido:

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : el coeficiente de atenuación másico (cm²/g) — la magnitud tabulada e independiente de la densidad.
  • \(\mu\) : el coeficiente de atenuación lineal (cm⁻¹) a la densidad real del material \(\rho\).
  • \(1/\mu\) : la longitud de atenuación (la intensidad cae a \(1/e\)).
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : el espesor de semirreducción.
  • \(T = e^{-\mu t}\) : la transmisión para una muestra de espesor \(t\).

De qué se compone \(\mu/\rho\)

La atenuación másica total es la suma de tres procesos, representados por separado en la pestaña:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

Para un compuesto, la atenuación másica es la suma ponderada por masa de los valores elementales, mientras que el coeficiente lineal suma directamente las secciones eficaces atómicas:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

con \(w_i\) las fracciones de masa y \(n_i\) las densidades numéricas. Las tres componentes son:

  • Fotoabsorción \(\tau\) — un fotón se absorbe y expulsa un electrón ligado. Domina a baja energía y decae aproximadamente como \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) entre bordes. Este es el término que expulsa el electrón de capa interna cuya relajación produce fluorescencia.
  • Dispersión Rayleigh (coherente) — dispersión elástica por electrones ligados, relacionada con el factor de forma coherente \(F(q)\).
  • Dispersión Compton (incoherente) — dispersión inelástica por electrones débilmente ligados, relacionada con la función incoherente \(S(q)\); su importancia relativa crece a alta energía. El fotón dispersado se desplaza en longitud de onda en
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

de modo que un evento Compton elimina el fotón del haz monocromático (una pérdida inelástica).

Los bordes de absorción son los aumentos abruptos de \(\tau\) cuando la energía del fotón supera la energía de enlace de una capa (\(K\), \(L_3\), …), abriendo un nuevo canal de ionización. La razón de salto es el factor por el que aumenta \(\mu/\rho\) a través del borde; ReciPro lista las energías y los saltos de los bordes \(K\) y \(L_3\). El coeficiente másico de absorción de energía \(\mu_\text{en}/\rho\) es la parte de \(\mu/\rho\) que deposita energía localmente (excluyendo la energía que se llevan los fotones dispersados y de fluorescencia).

Refracción, ángulo crítico y SLD

El índice de refracción de rayos X de un sólido es ligeramente menor que 1, escrito como

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

donde \(n_i\) es la densidad numérica del elemento \(i\) y \(r_e\) el radio clásico del electrón. Aquí \(\mu_\text{abs}\) es la parte absortiva de la atenuación (ligada a \(f''\)); no tiene por qué ser igual al \(\mu\) total de arriba, que también contiene dispersión Rayleigh y Compton. Como \(n<1\), los rayos X experimentan reflexión externa total por debajo de un pequeño ángulo crítico rasante

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

Esto se sigue de la geometría de refracción: para un ángulo rasante \(\alpha\) el vector de onda vertical dentro del sólido es \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\), que alcanza cero en \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\); por debajo de ese valor la onda no puede propagarse en el material y se refleja totalmente. La parte real de la densidad de longitud de dispersión, \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\), fija \(\delta\) y es el análogo de rayos X de la SLD de neutrones usada en reflectometría. ReciPro indica \(\delta\), \(\beta\), \(\theta_c\) y la SLD de rayos X en la tabla escalar.

Electrones — dispersión, frenado y alcance

Un electrón rápido en un sólido a la vez se dispersa (cambiando de dirección) y pierde energía de forma continua, por lo que su transporte necesita más de una escala de longitud.

Dispersión elástica y recorrido libre medio

La sección eficaz elástica \(\sigma_\text{el}\) mide con qué facilidad un solo átomo desvía el electrón. ReciPro emplea las secciones eficaces NIST Mott (una solución de ondas parciales de la ecuación relativista de Dirac en el potencial atómico apantallado), válidas aproximadamente en el rango 50 eV – 36.4 keV; fuera de ese rango, o para elementos que no figuran en la tabla, recurre a la aproximación de Rutherford apantallada. Las dos no tienen por qué unirse de forma perfectamente suave en el límite. La sección eficaz total es la integral angular de la diferencial,

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

donde el parámetro de apantallamiento \(\eta\) redondea la divergencia hacia adelante de la sección eficaz de Rutherford desnuda; el tratamiento de Mott incluye además los efectos de espín y relativistas que la Rutherford apantallada omite. A partir de la sección eficaz,

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

dan el coeficiente de dispersión macroscópico y el recorrido libre medio elástico — la distancia media entre eventos elásticos.

Poder de frenado y pérdidas inelásticas

La energía se pierde principalmente en excitaciones electrónicas (ionización, plasmones). El poder de frenado se define como una magnitud positiva,

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

donde aquí \(s\) es la longitud de recorrido a lo largo de la trayectoria (la variable de la curva |dE/ds| de la pestaña), no la variable de dispersión \(\sin\theta/\lambda\) usada en otras partes de este apéndice. El gradiente de energía \(dE/ds\) es negativo, por lo que la pestaña representa \(S\) hacia arriba. A energías de keV sigue, conceptualmente, la forma de Bethe

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

con \(J\) la energía media de excitación del sólido. Este esbozo no relativista muestra solo el escalado; ReciPro evalúa una forma corregida/empírica (del tipo Joy–Luo) que se mantiene bien comportada a baja energía. La energía de plasmón \(E_p\) en la tabla escalar es una caracterización relacionada pero distinta de las mismas excitaciones electrónicas. El recorrido libre medio inelástico (IMFP) es la distancia media correspondiente entre colisiones con pérdida de energía; ReciPro puede evaluarlo a partir de la fórmula predictiva TPP-2M,

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

con \(E\) en eV, \(\lambda_\text{in}\) en Å, y los parámetros \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\) construidos a partir de \(E_p\), la densidad, la banda prohibida y el número de electrones de valencia.

Dos tipos de alcance

  • Alcance CSDA — la aproximación de frenado continuo (continuous-slowing-down approximation) integra el poder de frenado para dar la longitud de recorrido total recorrida antes de que el electrón se detenga:
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

(En la práctica la integral baja hasta un valor de corte de baja energía \(E_\text{cut}\), por debajo del cual el esbozo de Bethe anterior ya no se cumple.)

  • Alcance de Kanaya–Okayama — una estimación empírica ampliamente utilizada de la profundidad de penetración (no de la longitud de recorrido), que tiene en cuenta la trayectoria tortuosa y dispersada:
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

Los dos responden a preguntas diferentes — distancia total recorrida frente a cuánto penetra el electrón en el sólido — por lo que difieren en valor, y ReciPro indica ambos. Estos alcances fijan el volumen de interacción que está detrás de las simulaciones de trayectorias electrónicas y EBSD.

Neutrones — sección eficaz macroscópica y la ley 1/v

Para los neutrones no hay una curva de atenuación dependiente de la energía; la interacción está fijada por las secciones eficaces nucleares. El haz se atenúa a través de la sección eficaz total macroscópica, que es a su vez la suma de las partes coherente, incoherente y de absorción:

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

con longitud de atenuación \(1/\Sigma_\text{total}\). La parte de absorción depende de la velocidad del neutrón \(v\) (y por tanto de la longitud de onda): para la mayoría de los nucleidos el tiempo que se pasa cerca del núcleo escala como \(1/v\), dando la ley 1/v

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

Unos pocos absorbentes fuertes (Cd, Sm, Eu, Gd) presentan resonancias de baja energía que violan el sencillo escalado 1/v; ReciPro marca estos nucleidos. La densidad de longitud de dispersión coherente, \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\), es el análogo de neutrones de la SLD de rayos X anterior.

Penetración de un vistazo

Los tres haces sondean profundidades enormemente diferentes — la razón práctica por la que responden a preguntas distintas:

Haz Muestra típica Penetración (orden de magnitud) Determinada por
Rayos X (≈8 keV) polvo / monocristal 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
Electrón (≈200 keV) lámina TEM 10–100 nm (útil) MFP elástico + pérdida inelástica
Neutrón (térmico) volumen, tamaño cm 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

Las mismas escalas de longitud explican por qué los electrones exigen muestras ultrafinas y teoría dinámica, mientras que los neutrones ven una muestra de volumen entera bajo cinemática de dispersión simple.

Véase también