Динамический расчёт (общее ядро)¶

Симуляторы дифракции и изображений ReciPro используют общее динамическое ядро рассеяния по методу блоховских волн (Бете), описанное на этой странице (кристаллический потенциал, члены Дебая–Валлера и поглощения, задача на собственные значения, коэффициенты пропускания и интенсивности). Методоспецифичные протоколы строятся на основе этого ядра:

Об основополагающей теории (уравнение Шрёдингера, теорема Блоха, динамическое уравнение Бете, задача на собственные значения и определения сферы Эвальда) см. Приложение A3. Динамическая дифракция методом блоховских волн.

Константы¶

\[\gamma = \frac{m}{m_0} = 1 + \frac{e_0 E}{m_0 c^2}, \qquad \beta = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2} = \sqrt{1 - \gamma^{-2}}\]

\(\gamma\) : релятивистский поправочный множитель; \(E\) : ускоряющее напряжение; \(m_0\), \(m\) : масса покоя и релятивистская масса электрона.
\(\Omega\) : объём элементарной ячейки.
\(k_{vac}\) : волновое число электрона в вакууме.

Кристаллический потенциал для упругого рассеяния¶

Фурье-коэффициент кристаллического потенциала для упругого рассеяния, просуммированный по атомам \(k\) в позициях \(\mathbf r_k\), равен

\[U_{\mathbf g}^{C} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f_k(\mathbf g)\,\exp\!\left[2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g, M_k)\]

где атомный фактор рассеяния использует гауссову параметризацию \((a_i, b_i)\):

\[f_k(\mathbf g) = \sum_i a_i\exp\!\left[-b_i\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

а \(T_k\) — фактор Дебая–Валлера (температурный). Для изотропного температурного фактора \(M_k\)

\[T_k(\mathbf g, M_k) = \exp\!\left[-M_k\,\frac{|\mathbf g|^2}{4}\right]\]

а для анизотропного тензора атомных смещений \(\mathbf U\)

\[T_k(\mathbf g) = \exp\!\left[-2\pi\,\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g\right]\]

с квадратичной формой

\[\mathbf g^{t}\mathbf U\,\mathbf g = \begin{pmatrix} g_x & g_y & g_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} & U_{13}\\ U_{12} & U_{22} & U_{23}\\ U_{13} & U_{23} & U_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = g_x^2 U_{11} + g_y^2 U_{22} + g_z^2 U_{33} + 2\!\left(g_x g_y U_{12} + g_y g_z U_{23} + g_x g_z U_{13}\right)\]

Декартовы компоненты \(\mathbf g\) получаются из базисных векторов обратной решётки и индексов Миллера:

\[\begin{pmatrix} g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x^{*} & b_x^{*} & c_x^{*}\\ a_y^{*} & b_y^{*} & c_y^{*}\\ a_z^{*} & b_z^{*} & c_z^{*}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} h\\ k\\ l\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h\,a_x^{*} + k\,b_x^{*} + l\,c_x^{*}\\ h\,a_y^{*} + k\,b_y^{*} + l\,c_y^{*}\\ h\,a_z^{*} + k\,b_z^{*} + l\,c_z^{*}\end{pmatrix}\]

Note

Значения \(U_{\mathbf g}\), показанные в таблице Details симулятора дифракции, являются исходными значениями до применения релятивистского множителя \(\gamma\).

Поглощающий потенциал (тепловое диффузное рассеяние)¶

Мнимый (поглощающий) потенциал, учитывающий тепловое диффузное рассеяние (TDS), равен

\[U'_{g,h} = \gamma\,\frac{1}{\pi\Omega}\sum_k f'_k(\mathbf g,\mathbf h)\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf g-\mathbf h)\cdot\mathbf r_k\right]T_k(\mathbf g-\mathbf h, M_k)\]

с поглощающим фактором рассеяния

\[f'_k(\mathbf g,\mathbf h) = \frac{2h}{\beta\, m_0\, c}\sum_i\sum_j a_i a_j\left[\frac{1}{b_i+b_j}\exp\!\left\{-\frac{b_i b_j}{b_i+b_j}\,\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}\right\} - \frac{1}{b_i+b_j+2M_k}\exp\!\left\{-\frac{b_i b_j - M_k^2}{b_i+b_j+2M_k}\,\frac{|\mathbf g-\mathbf h|^2}{4}\right\}\right]\]

Здесь \(h\) в предмножителе \(2h/(\beta m_0 c)\) — постоянная Планка (а не индекс пучка). Коэффициенты \(U^{C}\) и \(U'\) являются элементами структурной матрицы \(\mathbf A\) в Приложении A3.

От собственного решения к дифрагированной интенсивности¶

Диагонализация структурной матрицы (см. Приложение A3) даёт собственные значения \(\lambda^{(j)}\) и амплитуды блоховских волн \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). Амплитуды волн на выходной поверхности — коэффициенты пропускания \(T_{\mathbf g}\) — при толщине образца \(t\) равны

\[\begin{pmatrix} T_0\\ T_g\\ T_h\\ \vdots\end{pmatrix} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t} \begin{pmatrix} e^{\pi i P_0 t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{\pi i P_g t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{\pi i P_h t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0^{(1)} & C_0^{(2)} & C_0^{(3)} & \cdots\\ C_g^{(1)} & C_g^{(2)} & C_g^{(3)} & \cdots\\ C_h^{(1)} & C_h^{(2)} & C_h^{(3)} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2\pi i\lambda^{(1)} t} & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & e^{2\pi i\lambda^{(2)} t} & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & e^{2\pi i\lambda^{(3)} t} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^{(1)}\\ \alpha^{(2)}\\ \alpha^{(3)}\\ \vdots\end{pmatrix}\]

или, покомпонентно,

\[T_{\mathbf g} = e^{-2\pi i(\mathbf k_{vac}\cdot\mathbf n)\,t}\; e^{\pi i P_g t}\sum_j C_{\mathbf g}^{(j)}\,e^{2\pi i\lambda^{(j)} t}\,\alpha^{(j)}\]

\(\alpha^{(j)}\) : весовые (возбуждающие) коэффициенты каждой блоховской волны, задаваемые граничным условием на входной поверхности.
\(t\) : толщина образца.

Тогда дифрагированная интенсивность пучка \(\mathbf g\) равна

\[I_{\mathbf g} = \left|T_{\mathbf g}\right|^2\]

Расчёт SAED с параллельным пучком¶

Обычная SAED (электронная дифракция выбранной области) рассматривается как дифракция параллельного пучка с единственным направлением падения. В отличие от CBED, она не сканирует множество точек \(\mathbf K\) внутри сходящейся апертуры. Текущая ориентация кристалла и ускоряющее напряжение определяют один падающий волновой вектор \(\mathbf k_0\), и ReciPro вычисляет для этого условия положение и интенсивность каждого рефлекса \(\mathbf g\).

Расчёт можно организовать следующим образом.

Используйте ориентацию кристалла, ускоряющее напряжение, длину волны, длину камеры и геометрию детектора, чтобы определить падающий вакуумный волновой вектор \(\mathbf k_{vac}\) и плоскость детектора.
Примените поправку на преломление от среднего внутреннего потенциала \(U_0\) и получите опорный волновой вектор кристалла \(\mathbf k_0\).
Переберите кандидатные векторы обратной решётки \(\mathbf g\) и оцените их расстояние от сферы Эвальда через такие величины, как \(Q_g=|\mathbf k_0|^2-|\mathbf k_0+\mathbf g|^2\) и ошибка возбуждения \(S_g\).
Вычислите интенсивность каждого рефлекса с использованием выбранного режима интенсивности.
Спроецируйте направление \(\mathbf k_0+\mathbf g\) на плоскость детектора и нарисуйте его как дифракционный рефлекс.

Режим SAED в ReciPro в основном предлагает следующие модели интенсивности.

Режим	Расчёт	Типичное применение
Только ошибка возбуждения	Оценивает интенсивность только по тому, насколько близко рефлекс находится к сфере Эвальда. Структурные факторы не используются.	Быстрая проверка положений рефлексов и геометрии оси зоны.
Кинематическая + ошибка возбуждения	Использует \(\lvert F_{\mathbf g}\rvert^2\) вместе с затуханием по ошибке возбуждения. Многократное рассеяние не учитывается.	Тонкие образцы, слабая дифракция и проверка правил погасания.
Динамическая теория	Использует ядро блоховских волн с этой страницы для получения \(T_{\mathbf g}(t)\) и полагает \(I_{\mathbf g}=\lvert T_{\mathbf g}\rvert^2\).	Зависимость от толщины, многократное рассеяние и сильные рефлексы электронной дифракции.

Режимы отображения узлов обратной решётки, такие как сечения сплошных сфер и гауссовы рефлексы, в основном управляют профилем отрисовки. В режиме динамической теории физическая интенсивность рефлекса определяется значением блоховских волн \(|T_{\mathbf g}|^2\), и затем эта интенсивность назначается выбранному профилю отображения.

PED можно рассматривать как интегрирование этого расчёта SAED с параллельным пучком по направлениям прецессии, тогда как CBED можно рассматривать как размещение многих направлений падения внутри дифракционных дисков.

Средний внутренний потенциал и преломление¶

Когда электрон входит в кристалл из вакуума, средний внутренний потенциал \(U_0\) слегка изменяет опорный волновой вектор внутри кристалла. Компонента, параллельная поверхности, фиксируется граничным условием, поэтому вакуумный волновой вектор \(\mathbf k_{vac}\) и опорный волновой вектор кристалла \(\mathbf k_0\) можно записать как

\[|\mathbf k_0|^2 = k_{vac}^2 + U_0, \qquad \mathbf k_0 = \mathbf k_{vac} + x\,\hat{\mathbf n}\]

где \(x\) — поправка вдоль нормали к поверхности. Она получается из

\[x^2 + 2(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf k_{vac})x - U_0 = 0\]

Этот преломлённый \(\mathbf k_0\) используется при вычислении \(P_g\), \(Q_g\), ошибок возбуждения и структурной матрицы \(\mathbf A\) на обзорной странице. Поглощающий потенциал также имеет компоненту \(\mathbf g=\mathbf 0\), \(U'_0\), которая действует как общее среднее ослабление для волн, распространяющихся через кристалл.

Выбор пучков¶

Расчёт блоховских волн не может включать бесконечно много векторов обратной решётки, поэтому ReciPro выбирает конечное множество пучков \(\{\mathbf g\}\). Ранжирующая величина равна

\[R_{\mathbf g}=|\mathbf g|\,Q_{\mathbf g}^{\,2}\]

и пучки с меньшим \(R_{\mathbf g}\) включаются первыми. Это отдаёт предпочтение пучкам с короткими векторами обратной решётки, которые при этом близки к сфере Эвальда.

В практических расчётах важно проверять, насколько сильно меняется интенсивность или изображение при увеличении максимального числа блоховских волн. Сильные условия оси зоны и картины CBED с деталями HOLZ-линий могут потребовать нескольких сотен пучков, тогда как условия вне оси зоны могут сходиться при меньшем числе пучков.

Выбор решателя¶

После того как конечное множество пучков выбрано, ReciPro в основном использует два эквивалентных способа получения коэффициентов пропускания.

Метод	Особенность	Типичное применение
Метод собственных значений	Диагонализирует структурную матрицу \(\mathbf A\) и получает собственные значения \(\lambda^{(j)}\) и собственные векторы \(C_{\mathbf g}^{(j)}\). Зависимость от толщины затем вычисляется через \(e^{2\pi i\lambda^{(j)}t}\).	Серии по толщине, а также расчёты CBED и EBSD, сканирующие многие глубины или энергии
Метод матричной экспоненты	Напрямую вычисляет матрицу рассеяния \(\exp(2\pi i\mathbf A t)\) без явного использования собственного разложения.	Расчёты STEM для одной толщины и расчёты с послойным интегрированием

Оба метода решают одно и то же уравнение Бете. В реализации код выбирает между методом собственных значений, методом матричной экспоненты, управляемыми процедурами .NET и нативной библиотекой Eigen в зависимости от числа пучков, массива толщин и наличия нативной библиотеки.

Проверки сходимости¶

Для динамических расчётов проверка того, что базис достаточно велик, столь же важна, как и сама формула. Полезной диагностической мерой является относительное изменение при увеличении числа пучков с \(N-\Delta N\) до \(N\):

\[\Delta I_N=\frac{|I_N-I_{N-\Delta N}|}{I_N}\]

Для STEM проверяйте это вместе с настройкой угла детектора. Для CBED исследуйте внутренние области дисков и HOLZ-линии. Для EBSD дополнительно сравнивайте ширину линий Кикучи и фон на master pattern. Это связывает численную сходимость с физическими особенностями, видимыми в смоделированном результате.