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衰减与输运

散射因子描述的是单次散射事件；而本页关注的是射束作为整体穿过固体时会发生什么——它被移除得有多快、能穿透多深，以及（对于电子而言）它如何减速。这三种射束所涉及的物理过程完全不同，正因如此，衰减 & 输运 选项卡才会随辐射类型如此剧烈地改变其图表和表格。

衰减 & 输运 — X-ray

衰减 & 输运 — electron

衰减 & 输运 — neutron

X 射线——吸收与折射

Beer–Lambert 衰减

单色 X 射线束随路径长度按指数规律被移除：

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : 质量衰减系数（cm²/g）——已制成表格的、与密度无关的量。
  • \(\mu\) : 在材料实际密度 \(\rho\) 下的线衰减系数（cm⁻¹）。
  • \(1/\mu\) : 衰减长度（强度降至 \(1/e\)）。
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : 半值层。
  • \(T = e^{-\mu t}\) : 厚度为 \(t\) 的样品的透射率。

\(\mu/\rho\) 由什么构成

总质量衰减是三个过程之和，它们在选项卡中分别绘出：

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

对于化合物，质量衰减是各元素值的质量加权和，而线系数则直接将原子截面相加：

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

其中 \(w_i\) 为质量分数，\(n_i\) 为数密度。这三个分量为：

  • 光电吸收 \(\tau\) —— 光子被吸收并击出一个束缚电子。它在低能量时占主导，在吸收边之间大致按 \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) 下降。正是这一项击出内壳层电子，其弛豫产生荧光。
  • 瑞利（相干）散射 —— 在束缚电子上的弹性散射，与相干形状因子 \(F(q)\) 相关。
  • 康普顿（非相干）散射 —— 在弱束缚电子上的非弹性散射，与非相干函数 \(S(q)\) 相关；它在高能量时相对重要性增大。散射光子的波长发生位移
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

因此一次康普顿事件会把光子从单色束中移除（一种非弹性损失）。

当光子能量越过某壳层（\(K\)、\(L_3\)、……）的结合能、开启一个新的电离通道时，吸收边就是 \(\tau\) 的陡峭跃升。跃变比是 \(\mu/\rho\) 跨过吸收边时增大的倍数；ReciPro 列出 \(K\) 和 \(L_3\) 吸收边的能量与跃变。质量能量吸收系数 \(\mu_\text{en}/\rho\) 是 \(\mu/\rho\) 中将能量局部沉积的那一部分（不包括被散射光子和荧光光子带走的能量）。

折射、临界角与 SLD

固体的 X 射线折射率略小于 1，写作

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

其中 \(n_i\) 为元素 \(i\) 的数密度，\(r_e\) 为经典电子半径。这里 \(\mu_\text{abs}\) 是衰减中的吸收部分（与 \(f''\) 关联）；它不必等于上文的总 \(\mu\)，后者还包含瑞利散射和康普顿散射。由于 \(n<1\)，X 射线在一个小的掠射临界角以下会发生全外反射

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

这源自折射几何：对于掠射角 \(\alpha\)，固体内部的竖直波矢为 \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\)，它在 \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\) 处达到零；在此以下波无法传入材料并被全反射。散射长度密度的实部 \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\) 决定 \(\delta\)，是反射率测量中所用中子 SLD 的 X 射线类比量。ReciPro 在标量表中给出 \(\delta\)、\(\beta\)、\(\theta_c\) 以及 X 射线 SLD。

电子——散射、减速与射程

固体中的快电子既会散射（改变方向），又会连续地损失能量，因此其输运需要不止一个长度尺度。

弹性散射与平均自由程

弹性截面 \(\sigma_\text{el}\) 衡量单个原子使电子偏转的难易程度。ReciPro 使用 NIST Mott 截面（屏蔽原子势中相对论 Dirac 方程的分波解），大致在 50 eV – 36.4 keV 范围内有效；超出该范围，或对于表中没有的元素，则回退到屏蔽 Rutherford 近似。两者在边界处不必完美光滑地衔接。总截面是微分截面的角度积分，

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

其中屏蔽参数 \(\eta\) 抹平了裸 Rutherford 截面的前向发散；Mott 处理还额外包含了屏蔽 Rutherford 所略去的自旋效应与相对论效应。由截面可得

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

给出宏观散射系数与弹性平均自由程——弹性事件之间的平均距离。

阻止本领与非弹性损失

能量主要损失于电子激发（电离、等离激元）。阻止本领定义为一个正量，

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

其中此处的 \(s\) 是沿轨迹的路径长度（选项卡 |dE/ds| 曲线的变量），而非本附录其他地方所用的散射变量 \(\sin\theta/\lambda\)。能量梯度 \(dE/ds\) 为负，因此选项卡将 \(S\) 向上绘出。在 keV 能量下，它在概念上遵循 Bethe 形式

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

其中 \(J\) 为固体的平均激发能。这个非相对论的草图仅展示标度关系；ReciPro 实际计算的是一个经修正/经验的形式（Joy–Luo 类型），它在低能量下仍表现良好。标量表中的等离激元能量 \(E_p\) 是对同一电子激发的一个相关但独立的表征。非弹性平均自由程（IMFP）是损失能量的碰撞之间相应的平均距离；ReciPro 可由 TPP-2M 预测公式计算它，

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

其中 \(E\) 以 eV 为单位，\(\lambda_\text{in}\) 以 Å 为单位，参数 \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\) 由 \(E_p\)、密度、带隙和价电子数构建而成。

两种射程

  • CSDA 射程 —— 连续减速近似（continuous-slowing-down approximation）对阻止本领积分，给出电子停下之前所走过的总路径长度：
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

（实际中积分一直进行到一个低能量截断 \(E_\text{cut}\)，在此之下上文的 Bethe 草图不再成立。）

  • Kanaya–Okayama 射程 —— 一个广泛使用的穿透深度（而非路径长度）经验估计，考虑了曲折、被散射的轨迹：
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

两者回答的是不同的问题——飞行的总距离与电子进入固体的深度——因此其数值不同，ReciPro 同时给出两者。这些射程决定了电子轨迹和 EBSD 模拟背后的相互作用体积。

中子——宏观截面与 1/v 定律

对于中子，不存在依赖于能量的衰减曲线；相互作用由核截面确定。射束通过宏观总截面被衰减，而总截面本身是相干、非相干和吸收部分之和：

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

其衰减长度为 \(1/\Sigma_\text{total}\)。吸收部分取决于中子速度 \(v\)（从而取决于波长）：对于大多数核素，在原子核附近停留的时间按 \(1/v\) 标度，从而给出 1/v 定律

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

少数强吸收体（Cd、Sm、Eu、Gd）具有低能量共振，会违反简单的 1/v 标度；ReciPro 会标记这些核素。相干的散射长度密度 \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\) 是上述 X 射线 SLD 的中子类比量。

穿透深度一览

这三种射束探测的深度差异巨大——这正是它们回答不同问题的现实原因：

射束 典型样品 穿透深度（数量级） 由什么决定
X 射线（≈8 keV） 粉末 / 单晶 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
电子（≈200 keV） TEM 薄膜 10–100 nm（可用） 弹性 MFP + 非弹性损失
中子（热中子） 块体，厘米尺度 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

同样的长度尺度也解释了为什么电子需要超薄样品和动力学理论，而中子则能在单次散射运动学下观测整个块体样品。

另见