Перейти к содержанию

Ослабление и перенос

Факторы рассеяния описывают одиночное событие рассеяния; на этой странице речь идёт о том, что происходит с пучком в целом, пока он проходит сквозь твёрдое тело — как быстро он убывает, как глубоко проникает и (для электронов) как тормозится. Соответствующая физика для трёх видов излучения совершенно различна, и именно поэтому вкладка Ослабление & перенос так радикально меняет свои графики и таблицы в зависимости от излучения.

Ослабление & перенос — X-ray

Ослабление & перенос — electron

Ослабление & перенос — neutron

Рентгеновские лучи — поглощение и преломление

Ослабление по закону Бугера–Ламберта–Бера

Монохроматический рентгеновский пучок убывает экспоненциально с длиной пути:

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : массовый коэффициент ослабления (cm²/g) — табулированная, не зависящая от плотности величина.
  • \(\mu\) : линейный коэффициент ослабления (cm⁻¹) при фактической плотности материала \(\rho\).
  • \(1/\mu\) : длина ослабления (интенсивность падает до \(1/e\)).
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : слой половинного ослабления.
  • \(T = e^{-\mu t}\) : пропускание для образца толщиной \(t\).

Из чего складывается \(\mu/\rho\)

Полное массовое ослабление есть сумма трёх процессов, отображаемых на вкладке по отдельности:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

Для соединения массовое ослабление есть взвешенная по массе сумма значений для элементов, тогда как линейный коэффициент напрямую складывает атомные сечения:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

где \(w_i\) — массовые доли, а \(n_i\) — числовые плотности. Три составляющие таковы:

  • Фотопоглощение \(\tau\) — фотон поглощается и выбивает связанный электрон. Оно доминирует при низкой энергии, спадая между краями примерно как \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\). Это тот член, который выбивает электрон внутренней оболочки, релаксация которого порождает флуоресценцию.
  • Рэлеевское (когерентное) рассеяние — упругое рассеяние на связанных электронах, связанное с когерентным форм-фактором \(F(q)\).
  • Комптоновское (некогерентное) рассеяние — неупругое рассеяние на слабо связанных электронах, связанное с некогерентной функцией \(S(q)\); его относительная значимость растёт при высокой энергии. Рассеянный фотон смещается по длине волны на
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

так что комптоновское событие удаляет фотон из монохроматического пучка (неупругая потеря).

Края поглощения — это резкие подъёмы \(\tau\), когда энергия фотона пересекает энергию связи оболочки (\(K\), \(L_3\), …), открывая новый канал ионизации. Скачок — это множитель, на который \(\mu/\rho\) возрастает на краю; ReciPro приводит энергии и скачки краёв \(K\) и \(L_3\). Массовый коэффициент поглощения энергии \(\mu_\text{en}/\rho\) — это та часть \(\mu/\rho\), которая локально передаёт энергию (исключая энергию, уносимую рассеянными и флуоресцентными фотонами).

Преломление, критический угол и SLD

Рентгеновский показатель преломления твёрдого тела немного меньше 1 и записывается как

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

где \(n_i\) — числовая плотность элемента \(i\), а \(r_e\) — классический радиус электрона. Здесь \(\mu_\text{abs}\) — поглощательная часть ослабления (связанная с \(f''\)); она не обязана равняться полному \(\mu\) выше, которое содержит также рэлеевское и комптоновское рассеяние. Поскольку \(n<1\), рентгеновские лучи испытывают полное внешнее отражение ниже малого скользящего критического угла

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

Это следует из геометрии преломления: при скользящем угле \(\alpha\) вертикальный волновой вектор внутри твёрдого тела равен \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\), который обращается в нуль при \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\); ниже этого волна не может распространяться в материал и полностью отражается. Действительная часть плотности длины рассеяния, \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\), задаёт \(\delta\) и является рентгеновским аналогом нейтронной SLD, используемой в рефлектометрии. ReciPro приводит \(\delta\), \(\beta\), \(\theta_c\) и рентгеновскую SLD в скалярной таблице.

Электроны — рассеяние, торможение и пробег

Быстрый электрон в твёрдом теле одновременно рассеивается (меняя направление) и непрерывно теряет энергию, так что для его переноса требуется более одного масштаба длины.

Упругое рассеяние и длина свободного пробега

Упругое сечение \(\sigma_\text{el}\) показывает, насколько легко отдельный атом отклоняет электрон. ReciPro использует сечения NIST Mott (решение методом парциальных волн релятивистского уравнения Дирака в экранированном атомном потенциале), справедливые примерно в диапазоне 50 eV – 36.4 keV; вне этого диапазона или для элементов, отсутствующих в таблице, происходит переход к приближению экранированного Резерфорда. Эти два подхода не обязаны идеально гладко стыковаться на границе. Полное сечение есть угловой интеграл от дифференциального,

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

где параметр экранирования \(\eta\) сглаживает прямую расходимость чистого резерфордовского сечения; обработка Мотта дополнительно учитывает спиновые и релятивистские эффекты, которые экранированное резерфордовское приближение опускает. Из сечения

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

получаются макроскопический коэффициент рассеяния и упругая длина свободного пробега — среднее расстояние между упругими событиями.

Тормозная способность и неупругие потери

Энергия теряется главным образом на электронные возбуждения (ионизацию, плазмоны). Тормозная способность определяется как положительная величина,

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

где здесь \(s\) — длина пути вдоль траектории (переменная кривой |dE/ds| на вкладке), а не переменная рассеяния \(\sin\theta/\lambda\), используемая в других местах этого приложения. Градиент энергии \(dE/ds\) отрицателен, поэтому вкладка откладывает \(S\) вверх. При энергиях порядка keV он концептуально следует бетевской форме

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

с \(J\) — средней энергией возбуждения твёрдого тела. Этот нерелятивистский набросок показывает лишь масштабирование; ReciPro вычисляет скорректированную/эмпирическую форму (типа Joy–Luo), которая остаётся корректной при низкой энергии. Энергия плазмона \(E_p\) в скалярной таблице — это родственная, но отдельная характеристика тех же электронных возбуждений. Неупругая длина свободного пробега (IMFP) — это соответствующее среднее расстояние между столкновениями с потерей энергии; ReciPro может вычислять её по предсказательной формуле TPP-2M,

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

с \(E\) в eV, \(\lambda_\text{in}\) в Å и параметрами \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\), построенными из \(E_p\), плотности, ширины запрещённой зоны и числа валентных электронов.

Два вида пробега

  • CSDA-пробег — приближение непрерывного замедления (continuous-slowing-down approximation) интегрирует тормозную способность, давая полную длину пути, пройденную до остановки электрона:
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

(На практике интеграл доводится до низкоэнергетической отсечки \(E_\text{cut}\), ниже которой приведённый выше бетевский набросок более не применим.)

  • Пробег Канаи–Окаямы — широко используемая эмпирическая оценка глубины проникновения (а не длины пути), учитывающая извилистую, рассеянную траекторию:
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

Эти две величины отвечают на разные вопросы — полное пролетённое расстояние против того, как далеко вглубь твёрдого тела достигает электрон — поэтому они различаются по значению, и ReciPro приводит обе. Эти пробеги задают объём взаимодействия, лежащий в основе моделирования траекторий электронов и EBSD.

Нейтроны — макроскопическое сечение и закон 1/v

Для нейтронов не существует зависящей от энергии кривой ослабления; взаимодействие фиксируется ядерными сечениями. Пучок ослабляется через макроскопическое полное сечение, само являющееся суммой когерентной, некогерентной и поглощательной частей:

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

с длиной ослабления \(1/\Sigma_\text{total}\). Поглощательная часть зависит от скорости нейтрона \(v\) (а значит, от длины волны): для большинства нуклидов время, проведённое вблизи ядра, масштабируется как \(1/v\), что даёт закон 1/v

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

Несколько сильных поглотителей (Cd, Sm, Eu, Gd) обладают низкоэнергетическими резонансами, нарушающими простое масштабирование 1/v; ReciPro помечает эти нуклиды. Когерентная плотность длины рассеяния, \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\), является нейтронным аналогом приведённой выше рентгеновской SLD.

Проникновение с первого взгляда

Три вида излучения зондируют совершенно разные глубины — практическая причина, по которой они отвечают на разные вопросы:

Пучок Типичный образец Проникновение (порядок величины) Определяется
Рентген (≈8 keV) порошок / монокристалл 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
Электрон (≈200 keV) ПЭМ-фольга 10–100 nm (полезная) упругая MFP + неупругая потеря
Нейтрон (тепловой) объёмный, размером в cm 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

Те же масштабы длины объясняют, почему электроны требуют ультратонких образцов и динамической теории, тогда как нейтроны видят весь объёмный образец в условиях кинематики однократного рассеяния.

См. также