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Attenuazione e trasporto

I fattori di diffusione descrivono un singolo evento di diffusione; questa pagina riguarda ciò che accade al fascio nel suo insieme mentre attraversa il solido — quanto rapidamente viene rimosso, quanto in profondità penetra e (per gli elettroni) come viene rallentato. La fisica rilevante è del tutto diversa per i tre fasci, ed è per questo che la scheda Attenuazioni & trasporto modifica così drasticamente i suoi grafici e le sue tabelle a seconda della radiazione.

Attenuazioni & trasporto — X-ray

Attenuazioni & trasporto — electron

Attenuazioni & trasporto — neutron

Raggi X — assorbimento e rifrazione

Attenuazione di Beer–Lambert

Un fascio di raggi X monocromatico viene rimosso esponenzialmente con la lunghezza del cammino:

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) : il coefficiente di attenuazione di massa (cm²/g) — la grandezza tabulata, indipendente dalla densità.
  • \(\mu\) : il coefficiente di attenuazione lineare (cm⁻¹) alla densità effettiva \(\rho\) del materiale.
  • \(1/\mu\) : la lunghezza di attenuazione (l'intensità scende a \(1/e\)).
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) : lo spessore emivalente.
  • \(T = e^{-\mu t}\) : la trasmissione per un campione di spessore \(t\).

Da cosa è composto \(\mu/\rho\)

L'attenuazione di massa totale è la somma di tre processi, rappresentati separatamente nella scheda:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

Per un composto l'attenuazione di massa è la somma pesata in massa dei valori elementari, mentre il coefficiente lineare somma direttamente le sezioni d'urto atomiche:

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

con \(w_i\) le frazioni in massa e \(n_i\) le densità numeriche. Le tre componenti sono:

  • Fotoassorbimento \(\tau\) — un fotone viene assorbito ed espelle un elettrone legato. Domina alle basse energie, decrescendo all'incirca come \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) tra le soglie. È il termine che espelle l'elettrone di guscio interno la cui rilassazione produce la fluorescenza.
  • Diffusione Rayleigh (coerente) — diffusione elastica sugli elettroni legati, legata al fattore di forma coerente \(F(q)\).
  • Diffusione Compton (incoerente) — diffusione anelastica sugli elettroni debolmente legati, legata alla funzione incoerente \(S(q)\); cresce in importanza relativa alle alte energie. Il fotone diffuso subisce uno spostamento in lunghezza d'onda pari a
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

cosicché un evento Compton rimuove il fotone dal fascio monocromatico (una perdita anelastica).

Le soglie di assorbimento sono i ripidi aumenti di \(\tau\) quando l'energia del fotone supera l'energia di legame di un guscio (\(K\), \(L_3\), …), aprendo un nuovo canale di ionizzazione. Il rapporto di salto è il fattore di cui \(\mu/\rho\) aumenta attraverso la soglia; ReciPro elenca le energie e i salti delle soglie \(K\) e \(L_3\). Il coefficiente di assorbimento di energia di massa \(\mu_\text{en}/\rho\) è la parte di \(\mu/\rho\) che deposita energia localmente (escludendo l'energia trasportata via dai fotoni diffusi e di fluorescenza).

Rifrazione, angolo critico e SLD

L'indice di rifrazione dei raggi X di un solido è leggermente minore di 1, scritto come

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

dove \(n_i\) è la densità numerica dell'elemento \(i\) e \(r_e\) il raggio classico dell'elettrone. Qui \(\mu_\text{abs}\) è la parte assorbitiva dell'attenuazione (legata a \(f''\)); non deve necessariamente essere uguale al \(\mu\) totale visto sopra, che contiene anche la diffusione Rayleigh e Compton. Poiché \(n<1\), i raggi X subiscono una riflessione esterna totale al di sotto di un piccolo angolo critico radente

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

Ciò deriva dalla geometria della rifrazione: per un angolo radente \(\alpha\) il vettore d'onda verticale all'interno del solido è \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\), che raggiunge lo zero per \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\); al di sotto di tale valore l'onda non può propagarsi nel materiale e viene totalmente riflessa. La parte reale della densità di lunghezza di diffusione, \(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\), determina \(\delta\) ed è l'analogo per i raggi X della SLD neutronica usata in riflettometria. ReciPro riporta \(\delta\), \(\beta\), \(\theta_c\) e la SLD dei raggi X nella tabella scalare.

Elettroni — diffusione, rallentamento e portata

Un elettrone veloce in un solido sia diffonde (cambiando direzione) sia perde energia con continuità, cosicché il suo trasporto richiede più di una scala di lunghezza.

Diffusione elastica e libero cammino medio

La sezione d'urto elastica \(\sigma_\text{el}\) misura quanto facilmente un singolo atomo devia l'elettrone. ReciPro usa le sezioni d'urto NIST Mott (una soluzione a onde parziali dell'equazione relativistica di Dirac nel potenziale atomico schermato), valide all'incirca su 50 eV – 36.4 keV; al di fuori di tale intervallo, o per elementi non presenti in tabella, ripiega sull'approssimazione di Rutherford schermata. Le due non devono necessariamente raccordarsi in modo perfettamente liscio al confine. La sezione d'urto totale è l'integrale angolare di quella differenziale,

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

dove il parametro di schermatura \(\eta\) arrotonda la divergenza in avanti della sezione d'urto di Rutherford nuda; il trattamento di Mott include inoltre gli effetti di spin e relativistici che il modello di Rutherford schermato omette. A partire dalla sezione d'urto,

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

forniscono il coefficiente di diffusione macroscopico e il libero cammino medio elastico — la distanza media tra gli eventi elastici.

Potere frenante e perdite anelastiche

L'energia viene persa principalmente per eccitazioni elettroniche (ionizzazione, plasmoni). Il potere frenante è definito come grandezza positiva,

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

dove qui \(s\) è la lunghezza del cammino lungo la traiettoria (la variabile della curva |dE/ds| della scheda), non la variabile di diffusione \(\sin\theta/\lambda\) usata altrove in questa appendice. Il gradiente di energia \(dE/ds\) è negativo, quindi la scheda rappresenta \(S\) verso l'alto. Alle energie del keV segue, concettualmente, la forma di Bethe

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

con \(J\) l'energia media di eccitazione del solido. Questo schizzo non relativistico mostra soltanto lo scaling; ReciPro valuta una forma corretta/empirica (del tipo Joy–Luo) che si mantiene regolare alle basse energie. L'energia del plasmone \(E_p\) nella tabella scalare è una caratterizzazione collegata ma distinta delle stesse eccitazioni elettroniche. Il libero cammino medio anelastico (IMFP) è la corrispondente distanza media tra le collisioni con perdita di energia; ReciPro può valutarlo dalla formula predittiva TPP-2M,

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

con \(E\) in eV, \(\lambda_\text{in}\) in Å e i parametri \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\) costruiti a partire da \(E_p\), dalla densità, dal gap di banda e dal numero di elettroni di valenza.

Due tipi di portata

  • Portata CSDA — l'approssimazione di rallentamento continuo (continuous-slowing-down approximation) integra il potere frenante per fornire la lunghezza totale del cammino percorso prima che l'elettrone si fermi:
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

(In pratica l'integrale scende fino a un valore di taglio a bassa energia \(E_\text{cut}\), al di sotto del quale lo schizzo di Bethe di cui sopra non vale più.)

  • Portata di Kanaya–Okayama — una stima empirica ampiamente usata della profondità di penetrazione (non della lunghezza del cammino), che tiene conto della traiettoria tortuosa e diffusa:
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

Le due rispondono a domande diverse — distanza totale percorsa vs. quanto in profondità nel solido arriva l'elettrone — e perciò differiscono in valore, e ReciPro le riporta entrambe. Queste portate determinano il volume di interazione alla base delle simulazioni delle traiettorie elettroniche e dell'EBSD.

Neutroni — sezione d'urto macroscopica e la legge 1/v

Per i neutroni non esiste una curva di attenuazione dipendente dall'energia; l'interazione è fissata dalle sezioni d'urto nucleari. Il fascio viene attenuato attraverso la sezione d'urto totale macroscopica, a sua volta somma delle parti coerente, incoerente e di assorbimento:

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

con lunghezza di attenuazione \(1/\Sigma_\text{total}\). La parte di assorbimento dipende dalla velocità del neutrone \(v\) (e quindi dalla lunghezza d'onda): per la maggior parte dei nuclidi il tempo trascorso in prossimità del nucleo scala come \(1/v\), dando la legge 1/v

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

Alcuni forti assorbitori (Cd, Sm, Eu, Gd) presentano risonanze a bassa energia che violano il semplice scaling 1/v; ReciPro segnala questi nuclidi. La densità di lunghezza di diffusione coerente, \(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\), è l'analogo neutronico della SLD dei raggi X vista sopra.

La penetrazione a colpo d'occhio

I tre fasci sondano profondità enormemente diverse — la ragione pratica per cui rispondono a domande diverse:

Fascio Campione tipico Penetrazione (ordine di grandezza) Determinata da
Raggi X (≈8 keV) polvere / monocristallo 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
Elettrone (≈200 keV) lamina TEM 10–100 nm (utile) MFP elastico + perdita anelastica
Neutrone (termico) volume, dimensione cm 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

Le stesse scale di lunghezza spiegano perché gli elettroni richiedono campioni ultrasottili e teoria dinamica, mentre i neutroni vedono un intero campione massivo in regime di diffusione singola cinematica.

Vedi anche