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衰減與傳輸

散射因子描述的是單一散射事件；本頁討論的則是射束作為整體穿過固體時所發生的事——它被移除的速度有多快、穿透得有多深，以及（對電子而言）如何被減速。對於三種射線而言，相關的物理機制完全不同，這正是 衰減 & 輸運 索引標籤的圖表與表格會隨射線種類而大幅變化的原因。

衰減 & 輸運 — X-ray

衰減 & 輸運 — electron

衰減 & 輸運 — neutron

X 射線——吸收與折射

Beer–Lambert 衰減

單色 X 射線束隨路徑長度呈指數方式被移除：

\[I(t) = I_0\, e^{-\mu t}, \qquad \mu = \rho\,(\mu/\rho).\]
  • \(\mu/\rho\) ：質量衰減係數（cm²/g）——已表列、與密度無關的量。
  • \(\mu\) ：在材料實際密度 \(\rho\) 下的線性衰減係數（cm⁻¹）。
  • \(1/\mu\) ：衰減長度（強度降至 \(1/e\)）。
  • \(\text{HVL} = \ln 2/\mu\) ：半值層。
  • \(T = e^{-\mu t}\) ：厚度為 \(t\) 的試樣之透射率。

\(\mu/\rho\) 由什麼組成

總質量衰減是三種過程之和，並在索引標籤中分別繪出：

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{total} = \left(\frac{\tau}{\rho}\right)_\text{photo} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Rayleigh} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{Compton}.\]

對於化合物，質量衰減是各元素值的質量加權和，而線性係數則直接累加原子截面：

\[\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_\text{mix} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i, \qquad \mu = \sum_i n_i\,\sigma_i,\]

其中 \(w_i\) 為質量分率，\(n_i\) 為數密度。三個分量為：

  • 光吸收 \(\tau\) ——一個光子被吸收並擊出一個束縛電子。它在低能量時占主導，介於各吸收邊之間大致按 \(\tau/\rho \propto Z^{3\!-\!4}/E^{3}\) 下降。這正是擊出內殼層電子的項，該電子的弛豫會產生螢光。
  • Rayleigh（同調）散射——在束縛電子上的彈性散射，與同調形狀因子 \(F(q)\) 相關。
  • Compton（非同調）散射——在弱束縛電子上的非彈性散射，與非同調函數 \(S(q)\) 相關；其相對重要性在高能量時增加。被散射的光子在波長上移動了
\[\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\varphi),\]

因此一次 Compton 事件會將該光子從單色束中移除（一種非彈性損耗）。

吸收邊是當光子能量越過某殼層（\(K\)、\(L_3\)、…）的束縛能、開啟新的游離通道時，\(\tau\) 出現的陡升。躍變比是 \(\mu/\rho\) 跨越吸收邊時增大的倍率；ReciPro 會列出 \(K\) 與 \(L_3\) 吸收邊的能量與躍變。質能吸收係數 \(\mu_\text{en}/\rho\) 是 \(\mu/\rho\) 中將能量沉積於局部的部分（不含被散射光子與螢光光子帶走的能量）。

折射、臨界角與 SLD

固體的 X 射線折射率略小於 1，寫作

\[n = 1 - \delta + i\beta, \qquad \beta = \frac{\mu_\text{abs}\lambda}{4\pi} = \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,f''_i, \qquad \delta \simeq \frac{r_e\lambda^2}{2\pi}\sum_i n_i\,(Z_i+f'_i),\]

其中 \(n_i\) 是元素 \(i\) 的數密度，\(r_e\) 是經典電子半徑。此處 \(\mu_\text{abs}\) 是衰減中的吸收性部分（與 \(f''\) 相連結）；它不必等於上面的總 \(\mu\)，後者還包含 Rayleigh 與 Compton 散射。由於 \(n<1\)，X 射線在一個微小的掠射臨界角以下會發生全外反射

\[\theta_c \simeq \sqrt{2\delta}.\]

這源自折射幾何：對於掠射角 \(\alpha\)，固體內部的垂直波向量為 \(k_z^2 \simeq k^2(\alpha^2 - 2\delta)\)，在 \(\alpha = \alpha_c = \sqrt{2\delta}\) 時降為零；在此之下，波無法傳入材料而被全反射。散射長度密度的實部，\(\text{SLD} = r_e\sum_i n_i (Z_i + f'_i)\)，決定了 \(\delta\)，並且是反射測量中所用中子 SLD 的 X 射線類比量。ReciPro 在純量表中報告 \(\delta\)、\(\beta\)、\(\theta_c\) 與 X 射線 SLD。

電子——散射、減速與射程

固體中的快速電子既會散射（改變方向），又會持續損失能量，因此其傳輸需要不只一個長度尺度。

彈性散射與平均自由程

彈性截面 \(\sigma_\text{el}\) 量度單一原子使電子偏轉的難易程度。ReciPro 使用 NIST Mott 截面（在遮蔽原子位能中對相對論性 Dirac 方程的分波解），大致在 50 eV – 36.4 keV 範圍內有效；超出此範圍，或對於不在表中的元素，則回退至遮蔽 Rutherford 近似。兩者在邊界處不必完美平滑地銜接。總截面是微分截面的角度積分，

\[\sigma_\text{el} = 2\pi\int_0^\pi \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\Theta\,d\Theta, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{Z^2}{E^2}\,\frac{1}{\big[\sin^2(\Theta/2)+\eta\big]^2},\]

其中遮蔽參數 \(\eta\) 平緩了裸 Rutherford 截面的前向發散；Mott 處理額外納入了遮蔽 Rutherford 所略去的自旋與相對論效應。由截面可得

\[\Sigma_\text{el} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{el},i}, \qquad \lambda_\text{el} = \frac{1}{\Sigma_\text{el}},\]

即巨觀散射係數與彈性平均自由程——彈性事件之間的平均距離。

阻止本領與非彈性損耗

能量主要因電子激發（游離、電漿子）而損失。阻止本領定義為一個正量，

\[S(E) = -\frac{dE}{ds} > 0,\]

此處 \(s\) 是沿軌跡的路徑長度（索引標籤中 |dE/ds| 曲線的變數），而非本附錄其他地方所用的散射變數 \(\sin\theta/\lambda\)。能量梯度 \(dE/ds\) 為負，因此索引標籤將 \(S\) 向上繪出。在 keV 能量下，它在概念上遵循 Bethe 形式

\[S(E) \;\propto\; \frac{Z\rho}{A}\,\frac{1}{E}\,\ln\!\frac{E}{J},\]

其中 \(J\) 是固體的平均激發能。此非相對論性的草圖僅顯示其標度關係；ReciPro 評估的是一個經修正/經驗的形式（Joy–Luo 類型），在低能量時仍保持良好行為。純量表中的電漿子能量 \(E_p\) 是同一類電子激發的一個相關但獨立的特徵量。非彈性平均自由程（IMFP）是相對應的、損失能量的碰撞之間的平均距離；ReciPro 可由 TPP-2M 預測公式評估之，

\[\lambda_\text{in}(E) = \frac{E}{E_p^2\left[\beta_\text{T}\ln(\gamma_\text{T} E) - C/E + D/E^2\right]},\]

其中 \(E\) 以 eV 為單位、\(\lambda_\text{in}\) 以 Å 為單位，參數 \(\beta_\text{T},\gamma_\text{T},C,D\) 由 \(E_p\)、密度、能隙與價電子數構成。

兩種射程

  • CSDA 射程——連續減速近似（continuous-slowing-down approximation）對阻止本領積分，給出電子停下之前所行進的總路徑長度：
\[R_\text{CSDA} = \int_{E_\text{cut}}^{E_0} \frac{dE}{S(E)}.\]

（實務上積分一直向下進行到一個低能量截止值 \(E_\text{cut}\)，在此之下上述 Bethe 草圖不再成立。）

  • Kanaya–Okayama 射程——一個被廣泛使用的穿透深度（而非路徑長度）經驗估計值，考慮了曲折、被散射的軌跡：
\[R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = 0.0276\,\frac{A\,E_0^{1.67}}{\rho\,Z^{0.89}}, \qquad (E_0\ \text{in keV}).\]

兩者回答的是不同問題——所飛行的總距離 vs. 電子伸入固體有多深——因此在數值上不同，ReciPro 兩者皆報告。這些射程決定了電子軌跡與 EBSD 模擬背後的交互作用體積。

中子——巨觀截面與 1/v 定律

對於中子並沒有與能量相關的衰減曲線；其交互作用由核截面所固定。中子束透過巨觀總截面而衰減，後者本身即同調、非同調與吸收三部分之和：

\[\Sigma_\text{total} = \sum_i n_i\,\sigma_{\text{total},i}, \qquad \sigma_\text{total} = \sigma_\text{coh} + \sigma_\text{inc} + \sigma_\text{abs}(\lambda), \qquad T = e^{-\Sigma_\text{total} t},\]

其衰減長度為 \(1/\Sigma_\text{total}\)。吸收部分取決於中子速度 \(v\)（因而取決於波長）：對於大多數核種，在核附近所停留的時間按 \(1/v\) 標度，給出 1/v 定律

\[\sigma_\text{abs}(\lambda) = \sigma_\text{abs}(\lambda_0)\,\frac{\lambda}{\lambda_0}, \qquad \lambda_0 = 1.798\ \text{Å}\ (\text{thermal}, 2200\ \text{m/s}).\]

少數強吸收體（Cd、Sm、Eu、Gd）具有低能量共振，違反了單純的 1/v 標度；ReciPro 會標記這些核種。同調散射長度密度，\(\text{SLD} = \sum_i n_i\, b_{\text{coh},i}\)，是上述 X 射線 SLD 的中子類比量。

穿透深度一覽

三種射線探測的深度差異極大——這正是它們回答不同問題的實務原因：

射線 典型試樣 穿透深度（數量級） 由何決定
X 射線（≈8 keV） 粉末 / 單晶 10–100 µm \(\mu = \rho(\mu/\rho)\)
電子（≈200 keV） TEM 薄膜 10–100 nm（可用） 彈性 MFP + 非彈性損耗
中子（熱中子） 塊體、cm 尺寸 1–10 cm \(\Sigma_\text{total}\)

同樣的長度尺度解釋了為何電子需要超薄試樣與動力學理論，而中子則能在單次散射運動學下看穿整個塊體試樣。

另請參閱