付録 A2. Bloch波法による動力学計算の概要¶

この付録では、ReciProの Crystal Diffraction・CBED・HRTEM/STEM シミュレータが用いる動力学的電子回折理論の概要を解説します。ReciProは Bethe / Bloch波 の定式化に従います。実際の計算手順（光学ポテンシャル・透過係数・強度）は動力学計算（共通コア）で説明します。

結晶中の波動方程式¶

結晶の周期的な静電ポテンシャル中を進む高速電子は、（高エネルギー・定常の）シュレーディンガー方程式に従い、次のように書けます。

\[\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + 4\pi^2\left\{\, k_{vac}^2 + \sum_{\mathbf g} U_{\mathbf g}\, e^{2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r} \right\}\Psi(\mathbf{r}) = 0\]

\(k_{vac}\) : 真空中での電子の波数。
\(U_{\mathbf g}\) : 逆格子ベクトル \(\mathbf g\) に対する結晶ポテンシャルのフーリエ係数。ポテンシャルは格子周期性をもつため、逆格子に関するフーリエ級数で表されます。

Bloch の定理¶

ポテンシャルが結晶格子の周期性をもつため、解は Bloch 波 になります。

\[\Psi(\mathbf{r}) = b\!\left(\mathbf{k}^{(j)}, \mathbf{r}\right) = u(\mathbf{r})\exp\!\left(2\pi i\,\mathbf{k}^{(j)}\cdot\mathbf{r}\right)\]

\(u(\mathbf r)\) : 結晶格子と同じ周期性をもつ関数。逆格子で展開でき、\(u(\mathbf r)=\sum_{\mathbf g} C_{\mathbf g}^{(j)}\exp(2\pi i\,\mathbf g\cdot\mathbf r)\)。
\(\mathbf{k}^{(j)}\) : \(j\) 番目の Bloch 波数ベクトル。
\(C_{\mathbf g}^{(j)}\) : \(j\) 番目の Bloch 波における反射 \(\mathbf g\) の振幅（固有ベクトル成分）。

Bethe の動力学方程式¶

Bloch 波展開を波動方程式に代入すると、各反射 \(\mathbf g\) について 1 本ずつの連立方程式、すなわち Bethe の動力学方程式 が得られます。

\[\left[\,k^2 - \left(\mathbf{k}^{(j)} + \mathbf{g}\right)^2 + i\,U'_{g,g}\right]C_{\mathbf g}^{(j)} + \sum_{h \neq g}\left(U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h}\right)C_{\mathbf h}^{(j)} = 0\]

\(U^C_{\mathbf g}\) : 弾性散乱 に対する結晶ポテンシャル。
\(U'_{\mathbf g}\) : 虚（吸収）ポテンシャル。熱散漫散乱（TDS） を表します。これと Debye–Waller 因子の取り扱いは動力学計算（共通コア）で詳述します。

幾何学的な定義（エワルド球）¶

上式に現れるベクトル・スカラーは、エワルド球上で次のように定義されます。

\(\hat{\mathbf n}\) : 結晶表面の法線方向の単位ベクトル。
\(\mathbf k\) : 入射波数ベクトル（先端はエワルド球上）。\(\mathbf k_{vac}\) は真空中の波数ベクトル。
\(\mathbf g\) : 逆格子ベクトル。\(\mathbf k + \mathbf g\) は逆格子点を指す。
\(\mathbf k^{(j)}\) : \(j\) 番目の Bloch 波数ベクトル。すべての Bloch 波数ベクトルは接線成分が共通（表面での連続性）で、法線 \(\hat{\mathbf n}\) 方向にのみ異なります：\(\mathbf k^{(j)} = \mathbf k + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\)。
\(\gamma^{(j)}\) : \(j\) 番目の固有値（\(\mathbf k^{(j)}\) の \(\hat{\mathbf n}\) 成分を \(\mathbf k\) から測ったもの）。

幾何学的関係から、

\[P_g = 2\,\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf k + \mathbf g), \qquad Q_g = |\mathbf k|^2 - |\mathbf k + \mathbf g|^2 = -\,\mathbf g\cdot(2\mathbf k + \mathbf g)\]

であり、励起誤差 \(S_g\)（逆格子点とエワルド球面との幾何学的距離）と、反射を順位付けする 評価関数 \(R\) は

\[S_g = \frac{\sqrt{P_g^{\,2} + 4Q_g}\; -\; P_g}{2}, \qquad R = |\mathbf g|\,Q_g^{\,2}\]

となります。

固有値問題への帰着¶

\(\mathbf{k}^{(j)} = \mathbf{k} + \gamma^{(j)}\hat{\mathbf n}\) とおき、\(k^2-(\mathbf k+\mathbf g)^2 = Q_g\) と線形近似 \((\mathbf k^{(j)}+\mathbf g)^2 \approx (\mathbf k+\mathbf g)^2 + \gamma^{(j)} P_g\) を用いると、Bethe の方程式は（\(P_g\) で割ることで）標準的な 行列の固有値問題 になります。

\[\mathbf{A}\,\mathbf{C} = \mathbf{C}\,\boldsymbol{\Lambda}, \qquad A_{gh} = \frac{U^C_{\,g-h} + i\,U'_{g,h}}{P_g}\;\;(g\neq h), \qquad A_{gg} = \frac{Q_g + i\,U'_{g,g}}{P_g}\]

\(\mathbf{C}\) の各列が固有ベクトル \(C^{(j)}_*\)（Bloch 波の振幅）です。
\(\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\!\left(\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \dots\right)\) は固有値 \(\lambda^{(j)} = \gamma^{(j)}\) を並べた対角行列です。

明示的に書き下すと（反射を透過波 \(0\)・続いて \(g\), \(h\), … の順に並べると）、次のようになります。

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} (Q_0 + i\,U'_{0,0})/P_0 & (U^C_{-g} + i\,U'_{0,g})/P_0 & (U^C_{-h} + i\,U'_{0,h})/P_0 & \cdots \\ (U^C_{g} + i\,U'_{g,0})/P_g & (Q_g + i\,U'_{g,g})/P_g & (U^C_{g-h} + i\,U'_{g,h})/P_g & \cdots \\ (U^C_{h} + i\,U'_{h,0})/P_h & (U^C_{h-g} + i\,U'_{h,g})/P_h & (Q_h + i\,U'_{h,h})/P_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \\[1.2ex] &\qquad= \begin{pmatrix} C^{(1)}_0 & C^{(2)}_0 & C^{(3)}_0 & \cdots \\ C^{(1)}_g & C^{(2)}_g & C^{(3)}_g & \cdots \\ C^{(1)}_h & C^{(2)}_h & C^{(3)}_h & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{aligned} \]

\(\mathbf{A}\) を対角化すれば、すべての Bloch 波数ベクトルと振幅が一度に求まります。回折波の振幅、ひいては強度は、入射面・出射面での境界条件と試料厚さから定まります。これらの手順、光学（複素）ポテンシャル、Debye–Waller 因子、透過係数 \(T_{\mathbf g}\) については動力学計算（共通コア）を参照してください。

注: 回折シミュレータの Details テーブルに表示される \(V_{\mathbf g}\) は、相対論補正項を掛ける前の数値です。