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HRTEM 像形成

HRTEM 像は、出射面の波動関数（動力学コア で求めた透過係数 \(T_{\mathbf g}\)）を対物レンズに通すことで形成されます。ReciPro は2つのモデルを用意しています：高速な 準コヒーレント近似と、より厳密な 透過相互係数（TCC） モデルです。GUI の説明は HRTEM シミュレータ のページも参照してください。

記号

記号 意味
\(\mathbf R\) 実空間（像面）の X–Y 成分
\(\mathbf K\) 入射波数ベクトルの X–Y 成分
\(\mathbf G, \mathbf H\) 逆格子ベクトルの X–Y 成分
\(\mathbf u\) 空間周波数（例: \(\mathbf K+\mathbf G\)）
\(\chi(\mathbf u)\) レンズ収差関数
\(A(\mathbf u)\) 対物絞り関数
\(\Delta f\) デフォーカス値
\(C_s\) 球面収差係数
\(C_c\) 色収差係数
\(\beta\) 照射半角（有限な光源サイズの効果）
\(\Delta E\) 電子エネルギー揺らぎの \(1/e\) 幅
\(\Delta_0\) デフォーカス広がりの \(1/e\) 幅（ガウス分布）、\(\Delta_0 = C_c\,\Delta E / E\)

レンズ収差関数と絞り

\[\chi(\mathbf u) = \pi\lambda\Delta f\, u^2 + \tfrac{1}{2}\pi\lambda^3 C_s\, u^4 = \pi\lambda u^2\!\left(\Delta f + \tfrac{1}{2}\lambda^2 C_s u^2\right)\]
\[A(\mathbf u) = \begin{cases} 1 & (\mathbf u\ \text{は対物絞りの内側})\\[2pt] 0 & (\mathbf u\ \text{は対物絞りの外側})\end{cases}\]

準コヒーレントモデル

高速な近似です。各回折波にレンズ伝達を掛け、コヒーレンスのエンベロープで減衰させてからコヒーレントに足し合わせます。

\[I(\mathbf R) = |\psi(\mathbf R)|^2\]
\[\psi(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g} T_{\mathbf g}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf K+\mathbf G)\cdot\mathbf R\right]\exp\!\left[-i\chi(\mathbf K+\mathbf G)\right]A(\mathbf K+\mathbf G)\,E_c(\mathbf K+\mathbf G)\,E_s(\mathbf K+\mathbf G)\]

時間コヒーレンス・空間コヒーレンスのエンベロープは

\[E_c(\mathbf u) = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\, u^2\right)^2\right], \qquad E_s(\mathbf u) = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2 u^2\!\left(\Delta f + \lambda^2 C_s u^2\right)^2\right]\]

です。

透過相互係数（TCC）モデル

部分コヒーレンスを厳密に扱うモデルです。すべての波の対 \((\mathbf g, \mathbf h)\) が透過相互係数を通して干渉します。

\[I(\mathbf R) = \sum_{\mathbf g}\sum_{\mathbf h} T_{\mathbf g}\,T_{\mathbf h}^{*}\,\exp\!\left[2\pi i(\mathbf G-\mathbf H)\cdot\mathbf R\right]\mathrm{TCC}(\mathbf K+\mathbf G,\ \mathbf K+\mathbf H)\]
\[\mathrm{TCC}(\mathbf u, \mathbf u') = A(\mathbf u)\,A(\mathbf u')\,\exp\!\left[-i\{\chi(\mathbf u)-\chi(\mathbf u')\}\right]E_c(\mathbf u, \mathbf u')\,E_s(\mathbf u, \mathbf u')\]

混合コヒーレンスのエンベロープは

\[E_c(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\pi\lambda\Delta_0\right)^2\!\left(u^2 - u'^2\right)^2\right]\]
\[E_s(\mathbf u, \mathbf u') = \exp\!\left[-\pi^2\beta^2\left\{\Delta f(\mathbf u-\mathbf u') + \lambda^2 C_s\!\left(u^2\mathbf u - u'^2\mathbf u'\right)\right\}^2\right]\]

です。\(\mathbf u' \to \mathbf u\) の極限で、TCC は上記の準コヒーレントのエンベロープに帰着します。

関連項目