STEM 计算¶
STEM 图像计算从与 CBED 相同的会聚探针表示出发。区别在于可观测量：CBED 显示衍射平面中的盘强度，而 STEM 扫描探针位置，并在每个位置积分进入所选探测器的强度。
可观测量¶
设 \(\mathbf R_0\) 为探针位置，\(\mathbf Q\) 为衍射平面坐标，\(t\) 为样品厚度。若探测器函数 \(D(\mathbf Q)\) 在探测器角度范围内为 1、范围外为 0，则弹性 STEM 强度为
BF、ABF、LAADF 和 HAADF 对应于 \(D(\mathbf Q)\) 中内、外角度的不同选择。因此改变 STEM 探测器角度会改变所积分的物理量；这不仅仅是一项显示设置。
通过傅里叶系数加速¶
直接的实现会对每个被扫描的探针位置 \(\mathbf R_0\) 重新求解动力学问题。会聚探针表达式具有一个有用的结构：对 \(\mathbf R_0\) 的依赖以相位因子的形式出现
这使得 ReciPro 可以先计算图像的二维傅里叶系数，而不必逐点计算 \(I_{\mathrm{STEM}}(\mathbf R_0)\)。从概念上讲，
因此一旦已知系数 \(F_{\mathbf g,\mathbf h}(t)\)，便可通过逆傅里叶变换高效地重建完整的扫描图像。
这是布洛赫波 STEM 对于具有小晶胞的完美晶体的主要优势。它可以比在每个探针位置重复一次多层切片（multislice）计算快得多。
重建为实数图像¶
图像由系数按下式还原：
由于 \(I(\mathbf r)\) 是实数强度，其系数必须严格满足厄米对称性：
而由所有束对生成的 \(\mathbf q\) 集合在 \(\mathbf q\rightarrow-\mathbf q\) 下是封闭的。因此该求和在构造上即为实数，任何残留的虚部都是数值误差而非物理。
实际上确实会残留很小的虚部，因为 \(\mathbf k+\mathbf q\) 处的振幅是在有限的入射方向网格上通过双线性插值得到的（参见探针的角度采样）。这使得 \(I(-\mathbf q)\) 与 \(I(\mathbf q)^{*}\) 相差 \(h^{2}\) 量级，其中 \(h\) 为角度步长。
将求和后的像素写作 \(a+ib\)，把它归约为实数图像的正确做法是取实部 \(a\)。这是向实轴的正交投影，与先将系数对称化
再求和完全等价。而取模 \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\simeq a+b^{2}/2a\) 并不等价，且在四个方面都是错误的：
- 额外项 \(b^{2}/2a\) 恒为正，因而永不抵消——这是偏置而非噪声；
- 在 \(a\) 较小处，即暗像素处，它相对信号最大，因此侵蚀的是图像衬度而非整体亮度；
- 它破坏线性性，由于 \(\lvert z_1+z_2\rvert\neq\lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert\)，合成图像不再等于弹性 + TDS；
- 它掩盖负值像素，而负值正是 \(\mathbf q\) 取样不足的可见征兆，本应作为对用户的警示保留下来。
因此 ReciPro 的弹性、TDS 与 STEM-EDX 图像均由实部重建，并且仅在光源尺寸引起的模糊之后才截断到零，使真正为负的像素在此之前始终可被检出。
Note
4.944 之前的版本对弹性图像与 TDS 图像取模求和。在默认角度网格下，其差异远低于任何可察觉的水平（见下表）；只有在刻意采用粗网格时才会变得可测，且表现形式始终是暗像素略微变亮。
探针的角度采样¶
入射锥在步长为 \(\Delta\alpha\)（STEM 选项中的角分辨率）的方形方向网格上采样，以少量余量覆盖会聚半角 \(\alpha\)。沿一个轴的分割数为
因而方向数——也即需要求解的本征值问题数——按 \(N^{2}\) 增长。该网格与扫描点数无关：它离散化的是探针内部的方向，而非探针的位置。
它也是上述厄米残差的唯一来源，因此该残差可直接用作收敛指标。下列数值测自 SrTiO₃ [001]、200 kV、\(\alpha=25\) mrad、128 束、32×32 扫描点。「残差」为 \(\max_{\mathbf q}\lvert I(\mathbf q)-I(-\mathbf q)^{*}\rvert\) 相对 \(I(\mathbf 0)\) 的值，右侧两列给出取模求和本会在最亮像素上增加的变亮量。
| \(N\) | 方向数 | 弹性残差 | TDS 残差 | 取模偏置（弹性） | 取模偏置（TDS） |
|---|---|---|---|---|---|
| 16 | 256 | 1.2×10⁻³ | 6.1×10⁻³ | 2.4×10⁻⁵ | 1.1×10⁻⁴ |
| 32 | 1024 | 4.1×10⁻⁴ | 2.6×10⁻³ | 1.1×10⁻⁶ | 1.3×10⁻⁵ |
| 64 | 4096 | 5.6×10⁻⁵ | 7.2×10⁻⁴ | 5.8×10⁻⁸ | 4.3×10⁻⁷ |
| 132 | 17424 | 3.8×10⁻⁵ | 1.1×10⁻⁴ | 4.2×10⁻⁸ | 3.6×10⁻⁸ |
默认角分辨率 0.4 mrad 对 \(\alpha=25\) mrad 给出 \(N=132\)，已处于收敛区。另有两点值得注意：
- 在任何网格下，TDS 残差都比弹性残差大约一个量级，因为 TDS 系数还多带了一重探测器选择吸收的厚度积分。
- 残差是对全部 \(\mathbf q\) 取的最大值，因此逐网格略有起伏而非完全平滑下降；其背后的趋势为 \(O(h^{2})\)。
TDS 与探测器选择性吸收¶
在 HAADF-STEM 中，来自热漫散射 (TDS) 的非弹性分量往往是图像衬度的主要来源。ReciPro 将 TDS 处理为从弹性通道中移除并进入所选角度范围的强度，并用吸收势来表示。
对于探测器角度范围 \(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)，探测器选择性吸收散射因子在概念上可写为
将该范围选取为与 BF、ADF 或 HAADF 探测器相匹配，即可计算出进入该探测器的 TDS 贡献。
STEM TDS 强度是探测器选择性吸收的厚度积分：
其中 \(\widehat W_{\mathrm{det}}\) 表示探测器选择性 TDS。一旦已知布洛赫波的本征值和本征矢量，这个 \(z\) 积分便可解析处理。数值切片积分同样可行，ReciPro 会根据计算模式采用合适的方法。
局域吸收与非局域吸收¶
吸收势可以用两种主要方式处理。
| 形式 | 含义 | 特点 |
|---|---|---|
| 局域近似 | 使用仅依赖于位置的吸收势 \(U'(\mathbf r)\)。 | 对宽 ADF / HAADF 探测器通常有效且快速。 |
| 非局域形式 | 使用 \(U'(\mathbf r,\mathbf r')\) 或依赖于入射波与出射波成对组合的矩阵元 \(U'_{\mathbf g,\mathbf h}\)。 | 对窄探测器、重元素或低加速电压更准确，但代价高得多。 |
在局域近似中，矩阵元可由倒易矢量差（如 \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\)）求得。在非局域形式中，每一对 \((\mathbf g,\mathbf h)\) 都需要各自的角度积分，因此计算代价随束数迅速增长。
布洛赫波 STEM 的适用范围¶
布洛赫波 STEM 对于高度周期性的完美晶体很快，非常适合对厚度、欠焦和探测器角度进行系统比较。对于缺陷、大型超胞或非周期性结构，诸如冻结声子多层切片（frozen-phonon multislice）之类的方法可能更合适，因为它们不依赖于相同的小周期胞假设。
在 ReciPro 中，理解 STEM 最简单的方式如下：从与 CBED 相同的会聚波出发，然后将衍射盘可观测量替换为对衍射平面的探测器积分。
实用参数¶
- 探测器角度：BF / ABF / ADF / HAADF 是 \(D(\mathbf Q)\) 与 \(f'_{\kappa}(\mathbf g;\theta_1,\theta_2)\) 的定义。
- 束数：高频图像分量和通道效应对所纳入的束数较为敏感。
- 厚度步长：若使用数值切片积分，请检查将切片厚度减半时的变化。
- 角分辨率：决定探针方向网格 \(N\)（参见探针的角度采样）。计算量按 \(N^{2}\) 增长，因而是左右计算时间的最主要因素。
- TDS 模型：对于 HAADF \(Z\) 衬度，TDS 项与弹性项同等重要。