STEM 計算¶

STEM 影像計算從與 CBED 相同的會聚探針表示出發。差異在於可觀測量：CBED 顯示繞射平面中的盤強度，而 STEM 掃描探針位置，並在每個位置積分進入所選偵測器的強度。

可觀測量¶

設 \(\mathbf R_0\) 為探針位置，\(\mathbf Q\) 為繞射平面座標，\(t\) 為試樣厚度。若偵測器函式 \(D(\mathbf Q)\) 在偵測器角度範圍內為 1、範圍外為 0，則彈性 STEM 強度為

\[I_{\mathrm{STEM}}^{\mathrm{ela}}(\mathbf R_0)= \int D(\mathbf Q)\, \left|\psi(\mathbf Q,t;\mathbf R_0)\right|^2\,d\mathbf Q\]

BF、ABF、LAADF 和 HAADF 對應於 \(D(\mathbf Q)\) 中內、外角度的不同選擇。因此改變 STEM 偵測器角度會改變所積分的物理量；這不僅僅是一項顯示設定。

透過傅立葉係數加速¶

直接的實作會對每個被掃描的探針位置 \(\mathbf R_0\) 重新求解動力學問題。會聚探針表達式具有一個有用的結構：對 \(\mathbf R_0\) 的依賴以相位因子的形式出現

\[\exp(-2\pi i\,\mathbf K\cdot\mathbf R_0)\]

這使得 ReciPro 可以先計算影像的二維傅立葉係數，而不必逐點計算 \(I_{\mathrm{STEM}}(\mathbf R_0)\)。從概念上講，

\[I_{\mathrm{STEM}}^{\mathrm{ela}}(\mathbf q)= \sum_{\mathbf g,\mathbf h} F_{\mathbf g,\mathbf h}(t)\, \delta(\mathbf q-\mathbf g+\mathbf h)\]

因此一旦已知係數 \(F_{\mathbf g,\mathbf h}(t)\)，便可透過逆傅立葉變換高效地重建完整的掃描影像。

這是布洛赫波 STEM 對於具有小晶胞的完美晶體的主要優勢。它可以比在每個探針位置重複一次多層切片（multislice）計算快得多。

TDS 與偵測器選擇性吸收¶

在 HAADF-STEM 中，來自熱漫散射 (TDS) 的非彈性分量往往是影像對比的主要來源。ReciPro 將 TDS 處理為從彈性通道中移除並進入所選角度範圍的強度，並用吸收位能來表示。

對於偵測器角度範圍 \(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)，偵測器選擇性吸收散射因子在概念上可寫為

\[f'_{\kappa}(\mathbf g;\theta_1,\theta_2)= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\,d\theta \int_0^{2\pi} \left|\Delta f_{e,\kappa}(\mathbf g,\theta,\phi)\right|^2\,d\phi\]

將該範圍選取為與 BF、ADF 或 HAADF 偵測器相匹配，即可計算出進入該偵測器的 TDS 貢獻。

STEM TDS 強度是偵測器選擇性吸收的厚度積分：

\[I_{\mathrm{STEM}}^{\mathrm{TDS}}(\mathbf R_0)= \int_0^t \langle\psi(z;\mathbf R_0)|\widehat W_{\mathrm{det}}|\psi(z;\mathbf R_0)\rangle\,dz\]

其中 \(\widehat W_{\mathrm{det}}\) 表示偵測器選擇性 TDS。一旦已知布洛赫波的本徵值和本徵向量，這個 \(z\) 積分便可解析處理。數值切片積分同樣可行，ReciPro 會根據計算模式採用合適的方法。

局域吸收與非局域吸收¶

吸收位能可以用兩種主要方式處理。

形式	含義	特點
局域近似	使用僅依賴於位置的吸收位能 \(U'(\mathbf r)\)。	對寬 ADF / HAADF 偵測器通常有效且快速。
非局域形式	使用 \(U'(\mathbf r,\mathbf r')\) 或依賴於入射波與出射波成對組合的矩陣元 \(U'_{\mathbf g,\mathbf h}\)。	對窄偵測器、重元素或低加速電壓更準確，但代價高得多。

在局域近似中，矩陣元可由倒易向量差（如 \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\)）求得。在非局域形式中，每一對 \((\mathbf g,\mathbf h)\) 都需要各自的角度積分，因此計算代價隨束數迅速增長。

布洛赫波 STEM 的適用範圍¶

布洛赫波 STEM 對於高度週期性的完美晶體很快，非常適合對厚度、欠焦和偵測器角度進行系統性比較。對於缺陷、大型超胞或非週期性結構，諸如凍結聲子多層切片（frozen-phonon multislice）之類的方法可能更合適，因為它們不依賴於相同的小週期胞假設。

在 ReciPro 中，理解 STEM 最簡單的方式如下：從與 CBED 相同的會聚波出發，然後將繞射盤可觀測量替換為對繞射平面的偵測器積分。

實用參數¶

偵測器角度：BF / ABF / ADF / HAADF 是 \(D(\mathbf Q)\) 與 \(f'_{\kappa}(\mathbf g;\theta_1,\theta_2)\) 的定義。
束數：高頻影像分量和通道效應對所納入的束數較為敏感。
厚度步長：若使用數值切片積分，請檢查將切片厚度減半時的變化。
TDS 模型：對於 HAADF \(Z\) 對比，TDS 項與彈性項同等重要。