STEM 計算¶
STEM 影像計算從與 CBED 相同的會聚探針表示出發。差異在於可觀測量：CBED 顯示繞射平面中的盤強度，而 STEM 掃描探針位置，並在每個位置積分進入所選偵測器的強度。
可觀測量¶
設 \(\mathbf R_0\) 為探針位置，\(\mathbf Q\) 為繞射平面座標，\(t\) 為試樣厚度。若偵測器函式 \(D(\mathbf Q)\) 在偵測器角度範圍內為 1、範圍外為 0，則彈性 STEM 強度為
BF、ABF、LAADF 和 HAADF 對應於 \(D(\mathbf Q)\) 中內、外角度的不同選擇。因此改變 STEM 偵測器角度會改變所積分的物理量；這不僅僅是一項顯示設定。
透過傅立葉係數加速¶
直接的實作會對每個被掃描的探針位置 \(\mathbf R_0\) 重新求解動力學問題。會聚探針表達式具有一個有用的結構：對 \(\mathbf R_0\) 的依賴以相位因子的形式出現
這使得 ReciPro 可以先計算影像的二維傅立葉係數，而不必逐點計算 \(I_{\mathrm{STEM}}(\mathbf R_0)\)。從概念上講，
因此一旦已知係數 \(F_{\mathbf g,\mathbf h}(t)\)，便可透過逆傅立葉變換高效地重建完整的掃描影像。
這是布洛赫波 STEM 對於具有小晶胞的完美晶體的主要優勢。它可以比在每個探針位置重複一次多層切片（multislice）計算快得多。
重建為實數影像¶
影像由係數依下式還原：
由於 \(I(\mathbf r)\) 是實數強度，其係數必須嚴格滿足厄米對稱性：
而由所有束對產生的 \(\mathbf q\) 集合在 \(\mathbf q\rightarrow-\mathbf q\) 下是封閉的。因此該求和在構造上即為實數，任何殘留的虛部都是數值誤差而非物理。
實際上確實會殘留很小的虛部，因為 \(\mathbf k+\mathbf q\) 處的振幅是在有限的入射方向格點上以雙線性內插取得的（參見探針的角度取樣）。這使得 \(I(-\mathbf q)\) 與 \(I(\mathbf q)^{*}\) 相差 \(h^{2}\) 量級，其中 \(h\) 為角度步長。
將求和後的像素寫作 \(a+ib\)，把它歸約為實數影像的正確作法是取實部 \(a\)。這是往實軸的正交投影，與先將係數對稱化
再求和完全等價。而取絕對值 \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\simeq a+b^{2}/2a\) 並不等價，且在四個方面都是錯誤的：
- 額外項 \(b^{2}/2a\) 恆為正，因而永不抵消——這是偏差而非雜訊；
- 在 \(a\) 較小處，也就是暗像素處，它相對訊號最大，因此侵蝕的是影像對比而非整體亮度；
- 它破壞線性性，由於 \(\lvert z_1+z_2\rvert\neq\lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert\)，合成影像不再等於彈性 + TDS；
- 它掩蓋負值像素，而負值正是 \(\mathbf q\) 取樣不足的可見徵兆，本應作為對使用者的警示保留下來。
因此 ReciPro 的彈性、TDS 與 STEM-EDX 影像皆由實部重建，且僅在光源尺寸造成的模糊之後才截斷至零，使真正為負的像素在此之前始終可被偵出。
Note
4.944 以前的版本對彈性影像與 TDS 影像取絕對值求和。在預設角度格點下，其差異遠低於任何可察覺的水準（見下表）；只有刻意採用粗格點時才會變得可測，且呈現方式始終是暗像素略微變亮。
探針的角度取樣¶
入射錐在步長為 \(\Delta\alpha\)（STEM 選項中的角解析度）的方形方向格點上取樣，以少量餘裕涵蓋會聚半角 \(\alpha\)。沿一軸的分割數為
因而方向數——亦即需求解的本徵值問題數——按 \(N^{2}\) 增長。此格點與掃描點數無關：它離散化的是探針內部的方向，而非探針的位置。
它也是上述厄米殘差的唯一來源，因此該殘差可直接作為收斂指標。下列數值測自 SrTiO₃ [001]、200 kV、\(\alpha=25\) mrad、128 束、32×32 掃描點。「殘差」為 \(\max_{\mathbf q}\lvert I(\mathbf q)-I(-\mathbf q)^{*}\rvert\) 相對 \(I(\mathbf 0)\) 的值，右側兩欄為取絕對值求和原本會在最亮像素上增加的變亮量。
| \(N\) | 方向數 | 彈性殘差 | TDS 殘差 | 絕對值偏差（彈性） | 絕對值偏差（TDS） |
|---|---|---|---|---|---|
| 16 | 256 | 1.2×10⁻³ | 6.1×10⁻³ | 2.4×10⁻⁵ | 1.1×10⁻⁴ |
| 32 | 1024 | 4.1×10⁻⁴ | 2.6×10⁻³ | 1.1×10⁻⁶ | 1.3×10⁻⁵ |
| 64 | 4096 | 5.6×10⁻⁵ | 7.2×10⁻⁴ | 5.8×10⁻⁸ | 4.3×10⁻⁷ |
| 132 | 17424 | 3.8×10⁻⁵ | 1.1×10⁻⁴ | 4.2×10⁻⁸ | 3.6×10⁻⁸ |
預設角解析度 0.4 mrad 對 \(\alpha=25\) mrad 給出 \(N=132\)，已處於收斂區。另有兩點值得注意：
- 在任何格點下，TDS 殘差都比彈性殘差大約一個量級，因為 TDS 係數還多帶了一重偵測器選擇吸收的厚度積分。
- 殘差是對全部 \(\mathbf q\) 取的最大值，因此逐格點略有起伏而非完全平滑下降；其背後的趨勢為 \(O(h^{2})\)。
TDS 與偵測器選擇性吸收¶
在 HAADF-STEM 中，來自熱漫散射 (TDS) 的非彈性分量往往是影像對比的主要來源。ReciPro 將 TDS 處理為從彈性通道中移除並進入所選角度範圍的強度，並用吸收位能來表示。
對於偵測器角度範圍 \(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\)，偵測器選擇性吸收散射因子在概念上可寫為
將該範圍選取為與 BF、ADF 或 HAADF 偵測器相匹配，即可計算出進入該偵測器的 TDS 貢獻。
STEM TDS 強度是偵測器選擇性吸收的厚度積分：
其中 \(\widehat W_{\mathrm{det}}\) 表示偵測器選擇性 TDS。一旦已知布洛赫波的本徵值和本徵向量，這個 \(z\) 積分便可解析處理。數值切片積分同樣可行，ReciPro 會根據計算模式採用合適的方法。
局域吸收與非局域吸收¶
吸收位能可以用兩種主要方式處理。
| 形式 | 含義 | 特點 |
|---|---|---|
| 局域近似 | 使用僅依賴於位置的吸收位能 \(U'(\mathbf r)\)。 | 對寬 ADF / HAADF 偵測器通常有效且快速。 |
| 非局域形式 | 使用 \(U'(\mathbf r,\mathbf r')\) 或依賴於入射波與出射波成對組合的矩陣元 \(U'_{\mathbf g,\mathbf h}\)。 | 對窄偵測器、重元素或低加速電壓更準確，但代價高得多。 |
在局域近似中，矩陣元可由倒易向量差（如 \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\)）求得。在非局域形式中，每一對 \((\mathbf g,\mathbf h)\) 都需要各自的角度積分，因此計算代價隨束數迅速增長。
布洛赫波 STEM 的適用範圍¶
布洛赫波 STEM 對於高度週期性的完美晶體很快，非常適合對厚度、欠焦和偵測器角度進行系統性比較。對於缺陷、大型超胞或非週期性結構，諸如凍結聲子多層切片（frozen-phonon multislice）之類的方法可能更合適，因為它們不依賴於相同的小週期胞假設。
在 ReciPro 中，理解 STEM 最簡單的方式如下：從與 CBED 相同的會聚波出發，然後將繞射盤可觀測量替換為對繞射平面的偵測器積分。
實用參數¶
- 偵測器角度：BF / ABF / ADF / HAADF 是 \(D(\mathbf Q)\) 與 \(f'_{\kappa}(\mathbf g;\theta_1,\theta_2)\) 的定義。
- 束數：高頻影像分量和通道效應對所納入的束數較為敏感。
- 厚度步長：若使用數值切片積分，請檢查將切片厚度減半時的變化。
- 角解析度：決定探針方向格點 \(N\)（參見探針的角度取樣）。計算量按 \(N^{2}\) 增長，因而是左右計算時間的最主要因素。
- TDS 模型：對於 HAADF \(Z\) 對比，TDS 項與彈性項同等重要。