Расчёт STEM¶

Расчёт STEM-изображения исходит из того же представления сходящегося зонда, что и CBED. Различие — в наблюдаемой величине: CBED отображает интенсивность диска в плоскости дифракции, тогда как STEM сканирует положение зонда и в каждом положении интегрирует интенсивность, попадающую в выбранный детектор.

Наблюдаемая величина¶

Пусть \(\mathbf R_0\) — положение зонда, \(\mathbf Q\) — координата плоскости дифракции, а \(t\) — толщина образца. Если детекторная функция \(D(\mathbf Q)\) равна 1 внутри углового диапазона детектора и 0 вне его, то упругая STEM-интенсивность равна

\[I_{\mathrm{STEM}}^{\mathrm{ela}}(\mathbf R_0)= \int D(\mathbf Q)\, \left|\psi(\mathbf Q,t;\mathbf R_0)\right|^2\,d\mathbf Q\]

BF, ABF, LAADF и HAADF соответствуют разным выборам внутреннего и внешнего углов в \(D(\mathbf Q)\). Поэтому изменение угла STEM-детектора меняет интегрируемую физическую величину; это не просто настройка отображения.

Ускорение через коэффициенты Фурье¶

Прямая реализация решала бы динамическую задачу заново для каждого просканированного положения зонда \(\mathbf R_0\). Выражение для сходящегося зонда обладает полезной структурой: зависимость от \(\mathbf R_0\) входит как фазовый множитель

\[\exp(-2\pi i\,\mathbf K\cdot\mathbf R_0)\]

Это позволяет ReciPro сначала вычислить двумерные коэффициенты Фурье изображения, вместо того чтобы рассчитывать \(I_{\mathrm{STEM}}(\mathbf R_0)\) точка за точкой. Концептуально

\[I_{\mathrm{STEM}}^{\mathrm{ela}}(\mathbf q)= \sum_{\mathbf g,\mathbf h} F_{\mathbf g,\mathbf h}(t)\, \delta(\mathbf q-\mathbf g+\mathbf h)\]

так что после того, как коэффициенты \(F_{\mathbf g,\mathbf h}(t)\) известны, полное сканированное изображение можно эффективно восстановить обратным преобразованием Фурье.

Это главное преимущество STEM методом блоховских волн для идеальных кристаллов с малыми элементарными ячейками. Он может быть гораздо быстрее, чем повторение расчёта multislice в каждом положении зонда.

Восстановление вещественного изображения¶

Изображение восстанавливается из коэффициентов по формуле

\[I(\mathbf r)=\sum_{\mathbf q}I(\mathbf q)\,\exp(2\pi i\,\mathbf q\cdot\mathbf r), \qquad \mathbf q=\mathbf g-\mathbf h\]

Поскольку \(I(\mathbf r)\) — вещественная интенсивность, её коэффициенты обязаны точно удовлетворять эрмитовой симметрии,

\[I(-\mathbf q)=I(\mathbf q)^{*}\]

а множество \(\mathbf q\), порождаемое всеми парами пучков, замкнуто относительно \(\mathbf q\rightarrow-\mathbf q\). Поэтому сумма вещественна по построению, и любая уцелевшая мнимая часть — это численная ошибка, а не физика.

На практике небольшая мнимая часть всё же остаётся, поскольку амплитуда в точке \(\mathbf k+\mathbf q\) получается билинейной интерполяцией на конечной сетке направлений падения (см. Угловая дискретизация зонда). Из-за этого \(I(-\mathbf q)\) и \(I(\mathbf q)^{*}\) различаются на величину порядка \(h^{2}\), где \(h\) — угловой шаг.

Записывая просуммированный пиксель как \(a+ib\), правильный способ свести его к вещественному изображению — взять вещественную часть \(a\). Это ортогональная проекция на вещественную ось, и она тождественна предварительной симметризации коэффициентов,

\[I_{\mathrm{sym}}(\mathbf q)=\tfrac12\left[I(\mathbf q)+I(-\mathbf q)^{*}\right]\]

с последующим суммированием. Взятие модуля \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\simeq a+b^{2}/2a\) не эквивалентно и ошибочно сразу по четырём причинам:

добавка \(b^{2}/2a\) строго положительна и потому никогда не компенсируется — это смещение, а не шум;
относительно сигнала она максимальна там, где \(a\) мало, то есть в тёмных пикселях, и потому бьёт по контрасту изображения, а не по общему уровню;
она нарушает линейность: суммарное изображение перестаёт равняться упругому + TDS, поскольку \(\lvert z_1+z_2\rvert\neq\lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert\);
она скрывает отрицательные пиксели, которые служат видимым признаком недостаточного набора \(\mathbf q\) и иначе предупредили бы пользователя.

Поэтому ReciPro восстанавливает упругое, TDS- и STEM-EDX-изображения из вещественной части и обрезает по нулю только после размытия, связанного с размером источника, так что действительно отрицательный пиксель остаётся обнаружимым вплоть до этого момента.

Note

До версии 4.944 упругое и TDS-изображения суммировались по модулю. На угловой сетке по умолчанию различие лежит далеко ниже любого воспринимаемого уровня (см. таблицу ниже); оно становится измеримым только на намеренно грубой сетке и всегда проявляется как небольшое высветление тёмных пикселей.

Угловая дискретизация зонда¶

Падающий конус дискретизуется на квадратной сетке направлений с шагом \(\Delta\alpha\) (Угловое разрешение в опциях STEM), покрывающей полуугол сходимости \(\alpha\) с небольшим запасом. Число делений вдоль одной оси равно

\[N=\left\lceil\frac{2\alpha\times1.05}{\Delta\alpha}\right\rceil\]

так что число направлений, а значит и решаемых задач на собственные значения, растёт как \(N^{2}\). Эта сетка не связана с числом точек сканирования: она дискретизует направления внутри зонда, а не положения зонда.

Она же является единственным источником описанной выше эрмитовой невязки, что делает эту невязку удобным индикатором сходимости. Приведённые ниже значения измерены для SrTiO₃ [001] при 200 кВ с \(\alpha=25\) mrad, 128 пучками и 32×32 точками сканирования. «Невязка» — это \(\max_{\mathbf q}\lvert I(\mathbf q)-I(-\mathbf q)^{*}\rvert\), отнесённая к \(I(\mathbf 0)\), а последние два столбца дают высветление, которое суммирование по модулю добавило бы к самому яркому пикселю.

\(N\)	Направления	Упругая невязка	Невязка TDS	Смещение модуля, упругое	Смещение модуля, TDS
16	256	1.2×10⁻³	6.1×10⁻³	2.4×10⁻⁵	1.1×10⁻⁴
32	1024	4.1×10⁻⁴	2.6×10⁻³	1.1×10⁻⁶	1.3×10⁻⁵
64	4096	5.6×10⁻⁵	7.2×10⁻⁴	5.8×10⁻⁸	4.3×10⁻⁷
132	17424	3.8×10⁻⁵	1.1×10⁻⁴	4.2×10⁻⁸	3.6×10⁻⁸

Угловое разрешение по умолчанию 0,4 mrad даёт \(N=132\) при \(\alpha=25\) mrad, что уже находится в области сходимости. Стоит отметить два момента:

Невязка TDS примерно на порядок больше упругой на любой сетке, поскольку коэффициенты TDS дополнительно содержат интеграл по толщине от поглощения, отобранного детектором.
Невязка — это максимум по всем \(\mathbf q\), поэтому от сетки к сетке она несколько разбросана, а не убывает идеально гладко; лежащая в основе тенденция — \(O(h^{2})\).

TDS и детекторно-селективное поглощение¶

В HAADF-STEM неупругая составляющая от теплового диффузного рассеяния (TDS) часто является главным источником контраста изображения. ReciPro трактует TDS как количество интенсивности, удаляемой из упругого канала в выбранный угловой диапазон, представленное поглощающим потенциалом.

Для углового диапазона детектора \(\theta_1\leq\theta\leq\theta_2\) детекторно-селективный поглощающий фактор рассеяния можно концептуально записать как

\[f'_{\kappa}(\mathbf g;\theta_1,\theta_2)= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\,d\theta \int_0^{2\pi} \left|\Delta f_{e,\kappa}(\mathbf g,\theta,\phi)\right|^2\,d\phi\]

Выбор этого диапазона в соответствии с детектором BF, ADF или HAADF позволяет оценить вклад TDS, попадающий в этот детектор.

STEM-интенсивность TDS — это интеграл по толщине от детекторно-селективного поглощения:

\[I_{\mathrm{STEM}}^{\mathrm{TDS}}(\mathbf R_0)= \int_0^t \langle\psi(z;\mathbf R_0)|\widehat W_{\mathrm{det}}|\psi(z;\mathbf R_0)\rangle\,dz\]

где \(\widehat W_{\mathrm{det}}\) представляет детекторно-селективное TDS. Если собственные значения и собственные векторы блоховских волн известны, этот интеграл по \(z\) можно вычислить аналитически. Возможно также численное послойное интегрирование, и ReciPro применяет подходящий подход в зависимости от режима расчёта.

Локальное и нелокальное поглощение¶

Поглощающий потенциал можно трактовать двумя основными способами.

Форма	Смысл	Особенность
Локальное приближение	Использует поглощающий потенциал \(U'(\mathbf r)\), зависящий только от положения.	Обычно эффективно и быстро для широких детекторов ADF / HAADF.
Нелокальная форма	Использует \(U'(\mathbf r,\mathbf r')\) или матричные элементы \(U'_{\mathbf g,\mathbf h}\), зависящие от пар входящих и исходящих волн.	Точнее для узких детекторов, тяжёлых элементов или низких ускоряющих напряжений, но значительно затратнее.

В локальном приближении матричные элементы можно вычислять из разностей векторов обратной решётки, таких как \(U'_{\mathbf g-\mathbf h}\). В нелокальной форме каждая пара \((\mathbf g,\mathbf h)\) требует собственного углового интегрирования, поэтому затраты быстро растут с числом пучков.

Область применимости STEM методом блоховских волн¶

STEM методом блоховских волн быстр для высокопериодических, идеальных кристаллов и хорошо подходит для систематических сравнений толщины, дефокусировки и углов детектора. Для дефектов, больших суперъячеек или непериодических структур более подходящими могут быть методы, такие как frozen-phonon multislice, поскольку они не опираются на то же предположение о малой периодической ячейке.

В ReciPro проще всего понимать STEM так: начать с той же сходящейся волны, что и в CBED, а затем заменить наблюдаемую величину дифракционного диска интегрированием по детектору в плоскости дифракции.

Практические параметры¶

Угол детектора: BF / ABF / ADF / HAADF — это определения \(D(\mathbf Q)\) и \(f'_{\kappa}(\mathbf g;\theta_1,\theta_2)\).
Число пучков: Высокочастотные составляющие изображения и каналирование чувствительны к числу учитываемых пучков.
Шаг по толщине: Если используется численное послойное интегрирование, проверьте изменение при уменьшении толщины слоя вдвое.
Угловое разрешение: Задаёт сетку направлений зонда \(N\) (см. Угловая дискретизация зонда). Затраты растут как \(N^{2}\), поэтому это главный рычаг управления временем расчёта.
Модель TDS: Для \(Z\)-контраста HAADF член TDS столь же важен, как и упругий член.