A4.2. Отношения группа–подгруппа¶

Групповые отношения… — браузер отношений максимальных подгрупп / минимальных надгрупп 230 типов пространственных групп, открываемый с панели Параметры окна Сведения о симметрии. В отличие от статической таблицы, каждое показываемое отношение вычисляется во время выполнения непосредственно из операций симметрии текущей пространственной группы (см. A4.1), поэтому его можно перепроверить операция за операцией, а не просто принимать на веру как перепись International Tables, Vol. A1.

Эта страница объясняет теоретико-групповую терминологию браузера, а затем последовательно разбирает каждую его вкладку.

Теорема Германа: t-, k- и изоморфные подгруппы¶

Подгруппа \(H<G\) максимальна, если ни одна подгруппа \(G\) не лежит строго между \(H\) и \(G\). Теорема Карла Германа (Carl Hermann, 1929) утверждает, что для табулируемых здесь трёхмерных пространственных групп каждая максимальная подгруппа пространственной группы \(G\) относится к одному из двух видов:

translationengleiche (t-) подгруппа — «равная по трансляциям»: \(H\) сохраняет все трансляции \(G\) (ту же решётку, ту же ячейку), но имеет меньшую точечную группу. Индекс \([G:H]\) (число смежных классов \(H\) в \(G\)) равен индексу точечных групп \([P_G:P_H]\).
klassengleiche (k-) подгруппа — «равная по классу»: \(H\) сохраняет тот же геометрический кристаллический класс (тип точечной группы), что и \(G\), но лишь подрешётку трансляций \(G\) — более крупную условную ячейку и/или меньшее число векторов центрирования. Индекс равен индексу решёток трансляций \([T_G:T_H]\).

Изоморфные подгруппы — особый, важный случай k-подгрупп, когда \(H\) вдобавок принадлежит тому же типу пространственной группы, что и сама \(G\) (лишь с большей ячейкой — отношение, которое повторяется неограниченно, поэтому изоморфные подгруппы образуют бесконечную серию, индексируемую размером ячейки, в отличие от конечного числа t- и неизоморфных k-подгрупп данной \(G\)). Для максимальной изоморфной подгруппы индекс всегда есть степень простого числа (\(p\), а в трёх измерениях изредка \(p^2\) или \(p^3\)); какая именно степень встречается, зависит от того, как конечная фактор-решётка разлагается как модуль под действием точечной группы. Заметьте также, что смена базиса подрешётки может нести настоящую замену базисных векторов и сдвиг начала координат, а не просто равномерное увеличение ячейки вдоль одной оси.

Поскольку любое отношение подгруппы конечного индекса (максимальной или нет) достижимо как цепочка максимальных шагов, перечислить одни лишь максимальные подгруппы (а в обратную сторону — минимальные надгруппы) достаточно, чтобы описать полную сеть отношений подгрупп конечного индекса, — именно поэтому ITA Vol. A1, как и этот браузер, табулирует только максимальные/минимальные отношения.

Видов только два — изоморфные являются подклассом, а не третьим видом

В обиходе часто говорят о «t-, k- и изоморфных подгруппах», как будто это три равноправных вида, и дерево в этом браузере действительно для удобства организовано в три ветви. Формально же теорема Германа — это разбиение на два вида (t против k); изоморфные подгруппы — просто те k-подгруппы, которые воспроизводят тип пространственной группы самой \(G\).

Индекс как число смежных классов¶

Поскольку пространственные группы бесконечны (они содержат трансляции), «индекс» здесь всегда означает число смежных классов \(H\) в \(G\), а не отношение порядков \(|G|/|H|\) (оба порядка бесконечны) — для конечных групп оба понятия совпадают, но для пространственных групп смысл имеет только определение через подсчёт смежных классов. Дерево и вкладка «Матрица» показывают этот индекс, например, как t, index 2 или k, index 3.

Сопряжённые подгруппы и класс сопряжённости¶

Данное абстрактное отношение подгруппы часто может быть реализовано внутри \(G\) несколькими геометрически различными способами — различающимися ориентацией или положением, а не типом: например, зеркальное отражение зеркальной плоскости или винтовая ось вдоль иначе ориентированного, но симметрично-эквивалентного направления. Две такие реализации \(H\) и \(H'\) сопряжены внутри \(G\), если \(H' = gHg^{-1}\) для некоторого \(g\in G\); браузер объединяет все такие \(G\)-сопряжённые копии одного отношения в одну запись и сообщает их число как размер класса сопряжённости. Это строго более тонкое понятие, чем группировка подгрупп по (более грубой) эквивалентности относительно евклидова или аффинного нормализатора \(G\) — классификации, которую сама ITA иногда использует вместо этой, — поэтому подгруппы одного типа и индекса не обязаны автоматически принадлежать одному классу сопряжённости: они могут распадаться на несколько.

Навигация по браузеру¶

Дерево (левая панель) имеет два корня — Максимальные подгруппы и Минимальные надгруппы, — каждый из которых разделён на ветвь t — translationengleiche, ветвь k — klassengleiche и ветвь изоморфные (серия). Несопряжённые классы с одинаковым типом потомка и индексом иначе получили бы одинаковые подписи, поэтому они различаются суффиксом · класс n. В ветви изоморфные максимальных подгрупп классы сопряжённости, эквивалентные относительно аффинного нормализатора \(G\), дополнительно объединяются в одну строку-орбиту («… — m классов (эквивалентны по нормализатору)») — та же детализация, что и у записей IIc в ITA Vol. A1, — а граница перечисления задаётся счётчиком Изоморфные подгруппы: индекс ≤ на панели инструментов (2–27, по умолчанию 4; большие границы вычисляются в фоне).
Вкладка Диаграмма рисует упрощённый скелет в стиле Бэрнигхаузена (Bärnighausen): текущая группа в середине (выделена), её минимальные надгруппы сверху, максимальные подгруппы снизу — t-, k- и изоморфные отношения наравне, поскольку каждое из них — один «максимальный шаг». Каждое ребро подписано своим видом и индексом (t2, k3, i3) и раскрашено: синим для t, бирюзовым для k, оранжевым для изоморфных. Символы узлов набираются как настоящие кристаллографические символы — с нижними индексами винтовых осей и чертой над инверсионными поворотами. Несопряжённые классы с одинаковыми целевым типом, видом и индексом сливаются в один узел, ребро которого несёт счётчик классов (например k2 ·2 кл.); рассмотреть каждый класс по отдельности по-прежнему можно в дереве. Когда в ряд попадает больше отношений, чем умещается по ширине окна, узлы уменьшаются на один шаг, а остаток собирается в пунктирный узел +N (не кликается — полный список смотрите в дереве); в углу появляется маленькое напоминание i: только индекс ≤ 4, когда показаны изоморфные рёбра, и k: вычисляется…, пока обратный поиск k-надгрупп ещё строится. Когда вы двойными щелчками спускаетесь по подгруппам, цепочка групп, через которые вы прошли (ваша выбранная ветвь), рисуется фиолетовым вертикальным столбцом над текущей группой — многоуровневым деревом Бэрнигхаузена вашего собственного пути переходов (например \(Pm\bar3m \rightarrow P4/mmm \rightarrow Pmmm \rightarrow \ldots\)), где каждое ребро подписано отношением, по которому вы прошли; переход вверх или нажатие Назад соответственно подрезает ветвь, а цепочки длиннее трёх предков сокращаются приглушённой пометкой ⋮ +N. Здесь показан только теоретико-групповой скелет: полное дерево Бэрнигхаузена в смысле структурных родств несёт на каждом ребре ещё и преобразования ячейки, расщепление позиций Уайкоффа и соответствия атомных координат — всё это живёт в других вкладках, описанных ниже, а не на самой диаграмме.
Одинарный щелчок (по узлу дерева или узлу Диаграммы) выбирает отношение и заполняет вкладки деталей внизу. Двойной щелчок перемещает: он перестраивает весь браузер вокруг этой пространственной группы, так что можно шаг за шагом идти от группы к подгруппе и далее к её подгруппе.
Назад / Вперёд / Домой листают историю переходов; Домой всегда возвращает к пространственной группе кристалла, из которого браузер был фактически открыт.
Строка пути (вверху) показывает отображаемую в данный момент пространственную группу (символ HM (No. n)); контекстная строка под ней становится зелёной («Показана пространственная группа текущего кристалла.»), когда группа совпадает с вашим кристаллом, или янтарной («Показано … — не текущий кристалл (…).»), когда вы перешли в другое место, — напоминание о том, что просмотр подгруппы не изменяет ваш кристалл.

Вкладка «Матрица»¶

Показывает смену базиса и сдвиг начала координат между установкой родителя и установкой потомка в соглашении ITA: новые базисные векторы — \((\mathbf a',\mathbf b',\mathbf c')=(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)\cdot P\), а координаты точки в установке родителя — \(\mathbf x_{\text{parent}} = P\,\mathbf x_{\text{child}} + \mathbf p\). Матрица \(3\times3\) \(P\) и сдвиг начала \(\mathbf p\) печатаются в виде дробей.

Если вы пришли к этому отношению из Максимальных подгрупп, \(P\) и \(\mathbf p\) показываются напрямую (в направлении родитель → потомок).
Если же вы пришли из Минимальных надгрупп, вкладка показывает \(P^{-1}\) (и соответственно обращённый сдвиг) с подписью «получено из таблицы подгрупп самой надгруппы» — браузер всегда хранит отношение с точки зрения большей группы и обращает его по требованию, а не ведёт две независимые копии.
Сопряжённых подгрупп в классе: \(n\) сообщает размер класса сопряжённости, описанного выше.
Таблица генераторов перечисляет каждый представитель смежного класса с пометкой сохранено (всё ещё присутствует в \(H\)) или утрачено (присутствует в \(G\), но не в \(H\) — именно эти операции и отвечают за нарушение симметрии), каждый — со своим символом Зейтца и описанием геометрического типа из A4.1.
Если целевой тип пространственной группы кандидатного отношения не удалось отождествить по каталогу ReciPro, вкладка прямо сообщает об этом, не гадая, и показывает только символ точечной группы.

Вкладка «Расщепление орбит»¶

Показывает, как каждая позиция Уайкоффа родительской группы расщепляется при понижении симметрии до \(H\): одна строка на родительскую позицию, с кратностью/буквой/симметрией позиции родителя, результирующими кратностями/буквами потомка (соединёнными знаком +, если орбита распадается более чем на одну), числом частей и различными симметриями позиций потомка.

Это вычисляется фактической подстановкой одной фиксированной общей (generic) пробной точки в операции обеих групп и сравнением полученных орбит — численно выборочное расщепление, а не полностью символьный формализм расщепления позиций Уайкоффа (как в инструментах вроде WYCKSPLIT); именно поэтому вкладка сознательно называется «Расщепление орбит», а не «расщепление Уайкоффа»: полностью символьная трактовка в принципе могла бы отследить каждое совпадение при специальных значениях параметров, тогда как выборочный подход сообщает лишь расщепление, наблюдаемое в одной общей точке, и сам по себе не заметил бы совпадения, возникающего только при специальных значениях \(x,y,z\).

Для k- или изоморфного отношения тот же выборочный подход применяется к огрублённой решётке трансляций: вкладка показывает, как каждая родительская орбита расщепляется по мере потери трансляций решётки, а кратности потомков считаются в увеличенной ячейке подгруппы (так что при увеличении ячейки с индексом \(n\) кратности частей в сумме дают \(n\)-кратную кратность родителя).

Вкладка «Домены и двойники»¶

Когда кристалл переходит из \(G\) в подгруппу \(H\), каждый из \([G:H]\) смежных классов \(H\) в \(G\) соответствует одному возможному доменному состоянию: опорное состояние — единичный смежный класс, а каждый другой смежный класс — представленный одной «утраченной» операцией с вкладки «Матрица» — порождает ещё одно доменное состояние, связанное с опорным этой операцией.

Именно для t-подгруппы решётка трансляций не меняется (\(T_G=T_H\)), поэтому с точки зрения теории групп антифазных (трансляционных) доменов здесь не бывает: каждое доменное состояние отличается от опорного настоящей операцией точечной группы и никогда — голым сдвигом. Поэтому вкладка всегда сообщает антифаза = 1 и ориентация = Всего, т. е. все \([G:H]\) доменных состояний — ориентационные домены.

Для k- или изоморфного перехода ситуация в точности обратная: точечная группа не меняется, поэтому ориентационное состояние всего одно, а утраченные трансляции решётки порождают антифазные (трансляционные) домены — вкладка сообщает ориентация = 1 и антифаза = Всего. Каждая утраченная трансляция перечисляется как чисто трансляционный символ Зейтца вместе с соответствующим антифазным вектором, выраженным в ячейке подгруппы. Поскольку все антифазные домены имеют одну и ту же ориентацию, их фундаментальные отражения совпадают точно; лишь сверхструктурные отражения (см. вкладку Новые отражения) несут разность фаз через антифазную границу.

Закон двойникования для пары ориентационных доменов — это матричная часть утраченной операции (вращение или отражение, действующее на прямую или обратную решётку), переводящая ориентацию решётки одного домена в ориентацию другого. Для перехода в t-подгруппу эта операция по построению является симметрией решётки родительской группы \(G\), поэтому если фактическая метрика низкосимметричной структуры всё ещё обладает этой решёточной симметрией, обратные решётки двух доменов после операции двойникования совпадают точно, и их дифракционные картины накладываются полностью — идеализированный случай мероэдрического двойникования, который и описывает эта вкладка. В реальном переходе низкосимметричная фаза обычно приобретает малую спонтанную деформацию, лишь приближённо сохраняющую метрику родителя, поэтому на практике перекрытие часто оказывается лишь приблизительным (псевдомероэдрическое двойникование); вкладка сообщает теоретико-групповой закон двойникования при точной метрике, а не меру того, насколько близко к нему подходит конкретный реальный кристалл.

Вырожденный случай с пустым списком смежных классов сообщается как (один домен) (индекс 1 никогда не показывается как отношение).

Вкладка «Новые отражения»¶

Для перехода в t-подгруппу перечисляет отражения, которые становятся разрешёнными симметрией в \(H\), хотя были систематически погашены в \(G\), — т. е. отражения, которые запрещены условиями отражения родителя (со вкладки Условия), но не условиями \(H\). Окно поиска задаётся счётчиком Окно поиска на вкладке: по умолчанию \(|h|,|k|,|l|\le4\), настраивается от 2 до 8 (большие границы могут дать значительно больше строк).

Поскольку t-подгруппа никогда не увеличивает элементарную ячейку, это не сверхструктурные отражения с дробными индексами — они остаются целочисленными \((h,k,l)\) родительской ячейки и лишь становятся разрешёнными, потому что плоскости скользящего отражения или винтовой оси, прежде обращавшей их в нуль, больше нет. (Настоящие сверхструктурные отражения с дробными родительскими индексами возможны лишь тогда, когда увеличивается сама ячейка, — а это происходит для k-подгруппы, не для t-подгруппы.) Появившееся здесь отражение лишь допущено симметрией; будет ли оно действительно наблюдаться, по-прежнему зависит от структурного фактора реальной, менее симметричной структуры.

Для k- или изоморфного отношения вкладка перечисляет новые отражения, индексированные в увеличенной ячейке подгруппы (снова в пределах окна поиска), и классифицирует каждое из них в последнем столбце:

сверхструктурные отражения отображаются в дробные родительские индексы, показанные в скобках (например (1/2 0 1)), — они появляются исключительно из-за увеличения ячейки;
освобождённые отражения целочисленны и в родительской ячейке, но были запрещены условием отражения родителя, которое подгруппа снимает, — вместо этого показано снятое родительское правило (сюда входит и потеря трансляций центрирования, например когда \(I\)-центрированный родитель теряет условие чётности \(h+k+l\)).

Отражения, разрешённые и в родителе, и в потомке (фундаментальные отражения), не перечисляются. Если тип пространственной группы потомка не удалось отождествить, условия отражения потомка неизвестны, и вкладка сообщает, что предсказание невозможно.

Текущие ограничения¶

Механизмы поиска t- и k-подгрупп, обратные поиски t- и k-надгрупп и классификация изоморфных (IIc) подгрупп реализованы полностью и независимо проверены по таблицам операций пространственных групп, а вкладки Расщепление орбит, Домены и двойники и Новые отражения работают для отношений всех видов. Оставшиеся ограничения показываются явно, а не замалчиваются:

Изоморфные подгруппы перечисляются до границы, заданной счётчиком (по умолчанию индекс ≤ 4, максимум 27). Изоморфная серия продолжается неограниченно к более высоким индексам, поэтому серая заметка на ветви всегда указывает текущую границу, а не делает вид, что список полон. Объединение в орбиты по нормализатору опирается на ограниченный поиск генераторов нормализатора; для проверенных случаев оно сверено с ITA A1, но формальное доказательство полноты для каждой группы — задача на будущее: в худшем случае орбита может быть показана разбитой на несколько строк, но никогда не будет ошибочно объединена.
k-надгруппы вычисляются в фоне при первом использовании (обратному поиску нужны таблицы k-подгрупп всех типов того же кристаллического класса); пока он не готов, дерево ненадолго показывает серый узел «вычисляется…» (а Диаграмма — угловую заметку «k: вычисляется…»).

Глоссарий¶

Термин	Значение
Максимальная подгруппа / минимальная надгруппа	Подгруппа (надгруппа), между которой и \(G\) нет строго промежуточного отношения подгруппы
Индекс \([G:H]\)	Число смежных классов \(H\) в \(G\)
translationengleiche (t-)	Та же решётка трансляций, меньшая точечная группа; индекс = индексу точечных групп
klassengleiche (k-)	Тот же тип точечной группы, подрешётка трансляций (большая ячейка); индекс = индексу решёток
Изоморфная подгруппа	k-подгруппа, вдобавок принадлежащая тому же типу пространственной группы, что и \(G\)
Класс сопряжённости (внутри \(G\))	Множество \(G\)-сопряжённых (\(gHg^{-1}\)) реализаций одного отношения подгруппы
Ориентационный домен	Доменное состояние, связанное с опорным операцией точечной группы
Антифазный (трансляционный) домен	Доменное состояние, связанное с опорным только утраченной трансляцией (возможно для k-, но не t-переходов)
Закон двойникования	Матричная часть утраченной операции, переводящая решётку одного ориентационного домена в решётку другого

См. также¶

2. Сведения о симметрии — руководство по GUI, теорию которого раскрывает это приложение.
A4.1. Символы пространственных групп и диаграммы симметрии — словарь символов Зейтца и геометрических типов, используемый на вкладках «Матрица» и «Домены и двойники».
Приложение A4. Симметрия и пространственные группы